《圓錐曲線與方程》教學探究

沈瑜

[摘 要]《圓錐曲線與方程》是解析幾何的核心內容，也是高考數學的命題重點.其教學策略有：問題引領，激發興趣;抓住重點，明確目標;優化算法，提升能力.

[關鍵詞]圓錐曲線;方程;教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0011-02

《圓錐曲線與方程》是解析幾何的核心內容，也是高考數學的命題重點.與《直線和圓的方程》相比，它的計算量與難度直線上升.那么，教師如何從教材和學生的實際出發，抓住重點，開展有效的教學活動？本文結合具體的教學實際談幾點認識，供同仁參考.

一、問題引領，激發興趣

在《圓錐曲線方程》的起始課上，教師可以讓學生思考下面三個有趣的問題.

問題1： 據報道，1997年1月，地處南京紫金山天文臺發布了一個關于天體運動的消息，從那年2月起，一顆名為海爾·波普的彗星將慢慢靠近地球，而過了4月后，它又將漸漸遠離地球.專家預測三千年后，這顆彗星還會與地球擦肩而過.那年的2月至3月期間，許多人有幸目睹了這個三千年一遇的天文奇觀.同學們，你知道天文學家是如何預測的嗎？

問題2：給你圖釘、筆和拉鏈，請你將拉鏈拉開一部分，在拉開的兩邊上各選取一點，分別固定在[F1]、[F2]上，[F1]到[F2]的長為[2a（a>0）].把筆尖放在[M]處，隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線，畫出來的這條曲線叫什么？

問題3：喬丹，國際籃球巨星.38歲時復出，神勇不減當年.當全場比賽只剩最后一秒的那個瞬間，華盛頓奇才仍落后于紐約尼克斯于2分，關鍵時刻，巨星在三分線外出手了！（此時喬丹與籃框中心在地面的投影相距6.25米）已知籃球的飛行軌跡是拋物線，喬丹出手高度為2.37米，籃框的高度為3.05米，籃球在飛行了4米（水平距離）后達到最高3.37米（如圖1），喬丹此次能否力挽狂瀾呢？

上面三個問題，或許學生現在無法回答，但教師可以告訴學生：等學完了本章內容后，相信同學們一定會回答出來.其實，這里我要告訴大家的是上述三個問題分別對應三種曲線：橢圓、雙曲線和拋物線，它們統稱為圓錐曲線.隨著現代科學技術的發展，圓錐曲線的知識和解析幾何的思想方法越來越得到社會的重視.今天，在學習平面解析幾何初步的基礎上學習本章內容，我們將學習橢圓、雙曲線和拋物線的方程和幾何性質，再次感受幾何問題代數化的神奇與美妙，感受方程思想和數形結合思想在解析幾何中的魅力.

二、抓住重點，明確目標

作為教師，必須抓住教學重點，實現教學目標.那么本章教學中教師應抓住哪些重點呢？

1. 要教會學生把握圓錐曲線定義

圓錐曲線有個統一定義，我們如何理解統一定義中體現的橢圓、雙曲線和拋物線的共同特征？書本知識是前人的經驗總結，只有自己真正理解了才能內化為自己的知識，才能在解題時做到應用自如.圓錐曲線是平面解析幾何的重要內容，透徹地理解圓錐曲線定義對本章的學習非常重要.

點評：求曲線的方程首先要研究曲線上動點的幾何特征，抓住特征、揭示內涵，特別注意橢圓軌跡定義的應用.

2.要教會學生用數形結合思想分析問題

我國著名數學家華羅庚有首膾炙人口的七言詩：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，割裂分家萬事休.” 這首詩告訴了我們“數”與“形”各自的特點和不足，從而強調了數形結合的重要性. 因此在解析幾何的學習過程中，我們始終都要注意運用數形結合的思想和方法去分析問題、解決問題.

點評：解法一注重代數運算，解題過程十分煩瑣，而解法二注重拋物線的定義和圖形的幾何性質，解題過程簡潔明了.

3. 要讓學生通過聯想與類比發現問題

在學完了圓錐曲線后，教師可以引導學生站在一定的高度整體地看圓錐曲線，看看它們的共同點，探探它們的不同點，運用類比與推理的手段，發現它們相似卻不完全一樣的有關性質.

所以（1）、（2）兩式就是橢圓、雙曲線與圓類似的結論.

點評：通過探究，讓學生知道，這一結論是有“心”二次曲線的“共同特征”.而拋物線沒有中心，所以它沒有這種類似的結論.

在圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間相互類比，是理解圓錐曲線的重要方法.例如，從命題“以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切”出發，我們可以類比出下面“驚人相似”的兩個命題：1.以橢圓焦半徑為直徑的圓一定與以長軸為直徑的圓相內切;2.以雙曲線焦半徑為直徑的圓一定與以實軸為直徑的圓相切.

三、優化算法，提升能力

學習《圓錐曲線與方程》的終極目標是提高學生的邏輯推理能力和數學運算素養.我們時常會發現，有的學生面對實際問題雖然能說出解決問題的辦法，卻算不出結果來.其根本原因就在于選擇方法不當或計算不過關.因此，在教學中，我們不僅要培養運算能力，還要重視滲透算法的意識，如設而不求的應用、點差法的應用、如何處理定點定值問題、如何處理最值與取值范圍問題等，以提升學生的分析問題與解決問題的能力和數學運算的素養.

（責任編輯 黃桂堅）