基于多元表征，實現單元整合

吳緒益?崔道國

[摘要] 基于北師大版小學數學六年級下冊“正比例與反比例”單元教學，在學生原生態認識的基礎上整合單元內容，通過拓展認知領域、建構表格表征、建構圖像表征、培養數學能力、建構算式表征，利用“三表、三圖、三式”等研究載體，實現學生對正反比例的深度認知。

[關鍵詞] 單元整合;多元表征;深度學習;正反比例

著眼于學科核心素養，探尋小學數學教材中“正比例與反比例”單元的教學價值，進行單元整合，并充分利用圖、表、符號等數學表征實現學生對正反比例的多元認知，達成指向深度學習的單元整合教學。

一、教材分析

本單元共三個部分，“變化的量”教學意圖：生活中存在大量相互依存的變量，用列表或畫圖刻畫兩個變量之間的關系?！罢壤苯虒W意圖：從熟知的數量關系中，探尋變與不變的規律，建構正比例模型;利用圖像直觀刻畫正比例的兩個量樣態。“反比例”教學意圖：從熟知的數量關系中，探尋變與不變的規律，建構反比例模型，進一步提升比較分析、歸納概括的能力。我們在教材分析的基礎上，對158名學生進行前測，要求呈現正反比例表征形式。

反比例：采用圖像式20%，采用解析式10%，采用表格式15%;

正比例：采用圖像式68%，采用解析式為0，采用表格式29%。

由此看來，學生對于圖像表征最喜歡，而對解析式表示相對較弱，尤其是解析式表示正比例更無人涉及。而總體采用率的分布為圖像式>表格式>解析式。

二、課程呈現

1.拓展認知領域

讓學生在“變化”過程中主動探究“不變”的規律，即前期的常量學習到今天的變量研究。比如，教師出示蘋果的總價與數量關系表（如表1），引導學生研究從數量到數量關系的轉變。

師：仔細觀察，你們有什么發現？

生：單價都是一樣的。

師：這里沒有單價呀？

生：總價除以數量等于單價，如10÷2=5。

師：同學們，這個表格中誰在變化？誰沒有變化？

生：總價和數量在變化，單價沒有變化。

師：省略號什么意思？

生：表示無窮無盡。

師：能不能利用非常簡潔的數學方式把省略號、變與不變的含義都表示出來？

生1：正比例關系。

生2：N÷X=5。

[設計意圖]在表格背景下，學生再次感受具有正比例關系的兩個量之間的本質特征，由靜態的單價常量研究到動態視角下的變量探索。

2.建構表格表征

函數的核心是事物變量之間有一種依存關系。教師通過兩張表格之間的對比，突出數量之間依存的重要性，從而加深學生對正反比例概念的本質理解。

師：仔細觀察下面的表2“崔老師開車的速度與時間”，有什么發現？

生：上一張表1是一個量隨著另一個量的增加而增加，他們的商不變;而這張表2是一個量隨著另一個量的增加而減少，但它們的乘積不變。

師：太好了。對兩個表格進行了對比，表述也很完整。那么，如何用簡潔的方式把表2的數量關系表示出來？

生：N×X=120，反比例關系。

師：用同樣的方法分析，你能從表3“吳老師身高和年齡”找到關系式嗎？

生：找不到關系。

師：為什么？

生：身高和年齡兩個數量的變化沒有規律。

師：這樣也就是說，兩者之間并不具備絕對的相互依存關系。

[設計意圖]此環節是基于學生對數量關系描述缺乏完整性而設計的。通過對數量關系的分析，讓學生從宏觀的、動態的角度感受反比例的本質特征，從而為他們進一步建構表格表征正反比例關系。

3.建構圖像表征

數學學科表征數量關系的方式有列表和圖像等，在圖像中找出變量之間的對應關系是實現數量關系與空間形式統一的切入點。以“體驗”為保證展現表征過程，以“畫圖”為突破促進知識內化。

師：仔細觀察下面一張圖，請點評這個圖像。

生：格子均勻，數字工整，描點光滑。

師：最關鍵的是這張圖充滿想象。憑借現有的數學經驗，你們能講述一對數量關系嗎？

生1：媽媽買了3斤蘋果用了6元錢。

生2：速度為3千米/時，路程為6千米。

師：好！為縱軸和橫軸賦予一定的現實背景，但此圖像還有一點遺憾，你們發現了嗎？

生：應該用“數對”來確定點的位置。

師：橫軸上的8與誰對應？縱軸上的8與誰對應？

生：縱軸上的8與4對應;橫軸上的8與16對應。

師：請看下面第二張圖，你們能在這個圖像里找到變與不變的量嗎？

生：數對的乘積不變，都是60。

師：這個圖像缺少一點什么？

生：缺少“量”。

師：誰能賦予縱軸和橫軸一定的數學意義？

生：縱軸代表長方形的長，橫軸代表長方形的寬，不變的是他們的面積。

師：真棒！如果橫軸是15，那么，縱軸對應的點是多少？

生：因為12×5=60，60÷15=4，所以15對應的數是4。

師：怎樣找到此圖像的關系式？

生：分析對應點的數。

[設計意圖]此環節根據前測中學生不能完整呈現圖像中元素而設計。學生在經歷了表格式表征以后，利用圖像表征對比實現對本質屬性的直觀認識，感受到正反比例表現方式的多元，認識到對圖像中數量關系分析是判斷正反比例關系的基本方法。

4.培養數學能力

培養學生的數學關鍵能力是小學數學教師關注的核心點。圖像表征基于學生立場，立足學生已有數學水平與活動經驗，是培養他們數學能力的載體之一。

例題1：如下圖所示，請準確計算兩個動物18分鐘時間各跑了多少千米？

學生展示如下：從圖像上看，馬和獵狗奔跑的時間與路程成正比例。觀察發現，馬在第10分鐘正好對應12千米，而獵狗在第25分鐘正好對應24千米。所以，馬跑的路程：12÷10=1.2（千米/分），1.2×18=21.6（千米）;獵狗跑的路程：24÷25=0.96（千米/分），0.96×18=17.28（千米）。

[設計意圖]通過此題，培養學生觀察圖像的能力，從圖像中讀取有效數量關系的能力，對數量關系進行分析判斷的能力，根據有效數對的計算發展推理能力。同時，在數據和圖像的對比中滲透斜率思想。

5.建構算式表征

在達到表格與圖像表征的深度認知后，進一步對正比例和反比例進行數學模型抽象，即用算式表征。下面的練習就是著眼于此要點而設計的。

例題2：有a、b、c三個相關聯的量，并有ab=c。

當c一定時，a與b成（ ）比例關系;

當a一定時，b與c成（ ）比例關系;

當b一定時，a與c成（ ）比例關系。

（學生完成過程略）

師：數學學習不僅要埋頭于當下，更要抬起頭來眺望遠方。正反比例并非全新的知識，本質上是對“兩個量之積等于第三個量”進行形態變化而已。

[設計意圖]在前測中我們發現，學生采用解析式表示正反比例甚少，這可能是解析式表征的抽象性對他們有較大難度。但是，在表格和圖像這兩種直觀表征得以充分認知后，學生再進行數學模型的抽象，用算式表征，就水到渠成了。

三、總結與拓展

1.統整單元內容，緊扣表征素材

在學生局部認知正反比例的基礎上，如何提煉思想從而實現單元內容整體感知呢？本課例運用“三表、三圖、三式”——“三表”從數量關系變化的角度引導學生感受正反比例的特點，“三圖”從數形結合的角度感受正反比例特征，“三式”則抽象出正反比例的數學模型，打通不同表征之間的內在關聯，實現認識的再提升。通過在表格中抽象出關系式、圖像中抽象出關系式等，貫穿對數量關系的整體分析。

2.立足兒童視角，逆向設計問題

根據正反比例的數學本質，設計挑戰性問題，引發學生廣泛參與、深度思考。要充分利用學生前測中“原生態”作品（殘缺的正反比例圖像）作為引發思考的著力點，按照教材的邏輯順序進行教學設計。本節課立足學生的元認知，讓學生經歷逆向思維的學習，并在此基礎上進行思辨，努力實現認知的自我修復和提升。

由此，我們可以得到單元整合課教學的基本經驗：對于學生已經掌握的內容，采用前測來獲取學生的原認知，找準學生的認知順序;通過對單元的整合提煉文本的邏輯順序，實現有機鑲嵌，達到學生對數學本質的深度理解。