地下鏟運機鏟裝軌跡數學建模與仿真*

□ 趙曉燕 □ 郭 鑫,2 □ 姜 勇 □ 高澤宇 □ 張元清

1.礦冶科技集團有限公司 北京 100160 2.北京科技大學 機械工程學院 北京 100083

1 研究背景

地下鏟運機是地下金屬礦山開采中的重要運輸設備,地下金屬礦山的智能化開采是當今行業發展的必然趨勢,地下鏟運機的自動鏟裝是智能化開采的關鍵技術之一[1-2]。地下鏟運機在鏟裝工作中,通過控制動臂油缸和轉斗油缸的伸縮量來調整鏟斗位姿,從而完成鏟裝作業。筆者選取合適的鏟裝方式和常見的料堆形狀輪廓后,規劃出理想鏟裝曲線。根據地下鏟運機工作裝置的運動學分析,完成鏟斗斗刃位置與動臂油缸伸縮量和轉斗油缸伸縮量的函數關系,實現鏟斗斗刃的軌跡曲線數學計算。利用仿真軟件模塊對地下鏟運機工作裝置進行機構學建模,完成目標鏟裝軌跡曲線與仿真鏟裝軌跡曲線的誤差分析,為后續的控制器設計提供仿真模型。

2 鏟裝方式

在地下鏟運機自動鏟裝過程中,需要對鏟斗軌跡進行跟蹤控制。鏟斗軌跡的跟蹤控制是建立在鏟斗軌跡規劃基礎上的。對地下鏟運機鏟斗軌跡進行規劃,需要結合地下鏟運機鏟裝過程中采取的不同鏟裝方式及料堆的形狀輪廓,為此需要對不同的鏟裝方式和料堆形狀輪廓進行分析。在確定鏟裝方式和料堆形狀輪廓的基礎上,對鏟裝軌跡進行規劃處理。

經查閱文獻,現有地下鏟運機的鏟裝方式主要有三種[3]。

(1) 一次鏟裝法。地下鏟運機向前行駛,推動鏟斗鏟入料堆,直至鏟斗后壁和料堆接觸。此時,地下鏟運機停止前進,翻轉鏟斗或者舉升鏟斗完成鏟裝。這種鏟裝方式需要地下鏟運機提供很高的功率來克服阻力,常用于煤炭、黃沙等松散物料的鏟裝。

(2) 配合鏟裝法。在地下鏟運機向前行駛的同時,配合轉斗油缸或動臂油缸的動作進行鏟裝作業,提升動臂并且翻轉鏟斗。這種鏟裝方式的目的是使鏟斗斗刃的軌跡與料堆形狀輪廓大致平行,承受較小的鏟裝阻力,提高鏟裝效率。

(3) 分段鏟裝法。地下鏟運機采用分段鏟入和舉升的方法,鏟斗鏟入一定深度后,地下鏟運機停止前進,翻轉鏟斗使料堆回落,然后再次鏟入、翻轉鏟斗以保證滿斗率。這種鏟裝方式易損壞鏟斗零件,對工作裝置的強度有較高要求。

針對以上三種鏟裝方式,由鏟裝對象及優缺點分析可知,采用配合鏟裝法,能夠鏟裝大塊料堆,減小鏟裝過程中受到的阻力,符合現有地下鏟運機的鏟裝特性。為此,筆者以配合鏟裝法為主進行分析。

3 料堆形狀輪廓

對料堆形狀輪廓進行研究歸納,主要有三種,如圖1所示[4-5]。

▲圖1 料堆形狀輪廓

料堆由于堆積方式的特殊性,造成曲線C1外凸,料堆在上層相對擠壓。曲線C2是現有普遍狀態下的料堆形狀輪廓,坡度近似為40°～45°料堆安息角。料堆由于粒度太小造成下滑,導致曲線C3凹陷,這種情況存在但較少。為適應現有條件下的鏟裝方式,選取具有普遍代表性的曲線C2進行理想鏟裝曲線的規劃分析。

4 理想鏟裝曲線規劃

在選取合適鏟裝方式及普遍存在的料堆形狀輪廓后,以曲線C2為例,對料堆進行理想鏟裝曲線規劃。

(1) 確定地下鏟運機鏟斗斗刃坐標。建立斗刃坐標系,以斗刃與料堆的接觸點為原點,地下鏟運機前進方向為X軸正向,豎直方向為Y軸。

(2) 確定插入深度。根據對應的鏟裝曲線確定相應的插入深度。

(3) 根據地下鏟運機鏟斗特性,確定鏟裝曲線與料堆形狀輪廓的包圍面積S,由此設定鏟裝曲線為二次曲線,建立方程:

(1)

式中:xO、xA、xB依次為鏟裝起點水平位置、水平插入終點水平位置、鏟裝階段終點水平位置;fC2、fOA、fAB依次為料堆形狀輪廓曲線、水平插入曲線、鏟裝階段曲線。

二次曲線在A點取極小值。

(4) 根據求解結果,生成地下鏟運機鏟斗斗刃的運行軌跡曲線。

結合KCY-2型地下鏟運機,對理想鏟裝曲線進行分析。建立一個鏟裝軌跡計算坐標系,將地下鏟運機鏟斗放平,以鏟斗斗刃剛碰到料堆時動臂的固定鉸點為坐標原點O0,前進方向為X0軸正方向,垂直地面向上為Y0軸正方向,如圖2所示。經實際測量,鏟斗斗刃O2的坐標為(3.291 9 m,-1.283 1 m)。

▲圖2 鏟裝軌跡計算坐標系

為確保自動化操作的連貫性,鏟裝軌跡曲線應連續且光滑,由此設計鏟裝軌跡曲線,如圖3所示。

▲圖3 鏟裝軌跡曲線

在直線OA階段,動臂油缸和轉斗油缸保持不動,鏟斗接近水平,地下鏟運機以速度v1勻速推動鏟斗鏟入料堆,插入深度一般為30%～50%鏟斗斗底長度。OA長度經計算為0.306～0.510 m,為方便計算,取中間值0.4 m。

在曲線AB鏟取階段,地下鏟運機以速度v2勻速推進鏟斗,并開始舉升動臂和翻轉鏟斗。根據鏟斗容量1.6 m3和寬度1 800 mm,得到鏟斗的鏟裝截面積為0.82 m2。根據40°～45°堆料安息角,得到料堆的坡度為45°。

令二次曲線AB方程為:

y=k(x-a)2+b

(2)

A點為二次曲線的極值點,面積S為0.82 m2。

根據上述條件,可列出以下方程組:

(3)

式中:xO2為鏟裝起點;yA為水平插入終點豎直位置;fO2B、fO2A分別為料堆形狀輪廓曲線、水平插入曲線。

根據計算出的數值解得k為2.468 2,a為3.691 9,b為-1.283 1。由此可得,地下鏟運機鏟裝軌跡方程為:

(4)

5 數學建模

地下鏟運機工作裝置的執行機構為鏟斗,為獲取準確的鏟斗運行軌跡,對鏟斗斗刃進行運動軌跡分析。為了方便對鏟斗斗刃進行運動學計算,將工作裝置中的前車架、動臂、鏟斗組成一個樹形分枝[6-8],其坐標系如圖4所示。

鏟斗斗刃P點在參考基坐標系中的位置可以用相鄰兩剛體連體基坐標系之間的齊次坐標變換矩陣來描述。設A1為地下鏟運機前車架在參考基坐標系中的運動位置,A2為動臂相對前車架的位置,A3為鏟斗相對動臂的位置,AP為點P相對鏟斗的位置,于是地下鏟運機工作裝置各連桿相對于參考基坐標系的位置可表示為:

(5)

利用多剛體運動學旋轉變換矩陣理論,結合各剛體間的位置關系,進行矩陣變換:

(6)

(7)

(8)

(9)

聯立式(5)～式(9),得到鏟斗斗刃P點在參考基坐標系中的位置變換式:

RTP=A1A2A3AP=

(10)

式中:Si=sinθi;Ci=cosθi;Sij=sin(θi+θj);Cij=cos(θi+θj);Sijk=sin(θi+θj+θk);Cijk=cos(θi+θj+θk);Lij為鉸鏈i、j之間的距離;θi為Xi+1與Xi之間的扭角,如果Zi的方向滿足從Xi+1到Xi的右手螺旋定則,那么取正角度,否則取負角度。

在式(10)中,θ2、θ3分別為動臂油缸行程、轉斗油缸行程的函數。考慮各樹形分枝機構自身并不相互獨立,列出相互之間的約束方程:

RTF=RT11T22TF=RT88T77TF

(11)

RTD=RT66T55TD=RT11T22T33T44TD

=RT11T22T99TD

(12)

式中:iTj為坐標系{j}原點在坐標系{i}中的坐標。

利用運動學方程的逆解進行求解,已知鏟斗斗刃P點的位置,反求工作油缸的行程。設定鏟斗的位置已知,則有:

(13)

式中:(nx,ny,nz)、(ox,oy,oz)、(ax,ay,az)依次為連體基坐標系的三個坐標軸在參考基坐標系R中的坐標;(px,py,pz)為連體基坐標系原點在參考基坐標系R中的坐標。

對地下鏟運機實際鏟裝過程中鏟斗斗刃等數據采樣,利用式(11)和(12),得到100個對應的工作油缸行程值。經過計算處理后,進行曲線擬合,得到工作油缸的驅動函數。

轉斗油缸和動臂油缸的驅動函數分別為:

(14)

(15)

式中:y1為轉斗油缸相對于初始位置的長度;y2為動臂油缸相對于初始位置的長度;t為鏟裝時間。

對地下鏟運機鏟裝插入過程進行速度取樣,地下鏟運機的速度規劃為:

6 仿真分析

在鏟斗斗刃與油缸行程函數關系已知的情況下,應用MATLAB/Simulink軟件進行仿真計算,并對理想鏟裝軌跡曲線與仿真曲線進行分析。

以地下鏟運機鏟裝前的狀態為初始狀態,仿真鏟裝過程鏟斗斗刃的運動軌跡。可以將鏟裝過程分為三個階段:

(1) 鏟斗已下放至鏟裝狀態,地下鏟運機前進,推動鏟斗到達料堆;

(2) 鏟斗在地下鏟運機的推動下鏟入料堆,鏟裝一定深度,然后舉升鏟斗和翻轉鏟斗;

(3) 地下鏟運機開始后退,駛離料堆。

對于多剛體系統而言,各剛體之間是通過接頭與運動副的方式連接起來的。筆者在導入地下鏟運機工作裝置的計算機輔助設計文件后,加上必要的驅動、約束和檢測模塊,完成系統的模型構建。地下鏟運機工作裝置各部件之間的運動副關系見表1。

仿真模型的建立除了需要機構之間的裝配約束,還需要對前車架剛體和路面剛體建立驅動,這時需要單獨添加的驅動模塊。此外,還需要定義機械環境條件,如重力、加速度作用方向等。結合基于鏟斗斗刃與油缸行程位置關系而得到的地下鏟運機動臂油缸和轉斗油缸驅動方程,建立鏟斗的運動仿真模型,并與理想鏟裝軌跡曲線進行對比。

表1 地下鏟運機部件之間運動副關系

獲得仿真數據后,在MATLAB軟件中繪制鏟斗斗刃軌跡曲線,如圖5所示。鏟斗鏟入料堆一定深度后,工作油缸和地下鏟運機配合動作,完成鏟裝作業,然后地下鏟運機駛離料堆。

▲圖5 鏟斗斗刃軌跡曲線

從圖5中可以看出,兩條軌跡曲線的趨勢相同,但存在一定誤差。從X值大于3 700 mm對理論鏟裝曲線和仿真鏟斗鏟裝曲線進行豎直位移殘差分析,如圖6所示。

▲圖6 豎直位移殘差分布

從圖6中可以看出,豎直方向位移的殘差最大值為22.80 mm,殘差呈現非線性遞增規律,說明其中存在非線性系統誤差。造成鏟斗軌跡豎直方向系統誤差的原因主要有兩個。第一,建立運動學數學模型時所使用的設計尺寸與地下鏟運機實際尺寸之間存在加工誤差。第二,在地下鏟運機仿真建模時,某些約束設置太過理想化,參數選取不夠準確。

針對豎直方向的系統誤差,除改進仿真模型參數設置外,還應采用修正法來進行誤差消除。針對殘差呈現非線性的特點,可以采用使系統誤差隨機化的組合測量法,或通過最小二乘法進行非線性系統數學模型構造,并進行實驗回歸統計分析,對系統誤差進行補償和修正。通過補償修正后的鏟斗斗刃軌跡曲線對比如圖7所示,豎直位移殘差分布如圖8所示。可以看出,理想鏟裝曲線與仿真鏟裝曲線基本吻合,殘差很小,對于地下鏟運機的控制而言,誤差可以接受。

▲圖7 補償修正后鏟斗斗刃軌跡曲線

▲圖8 補償修正后豎直位移殘差分布

7 結束語

筆者在選定鏟裝方式和料堆形狀輪廓后,規劃出地下鏟運機理想鏟裝曲線,利用多剛體系統分析方法,建立地下鏟運機工作裝置的運動學模型,推導鏟斗斗刃位置與動臂油缸行程和轉斗油缸行程之間的函數關系,解算出對應的動臂油缸和轉斗油缸驅動方程。建立工作裝置的MATLAB仿真模型,完成目標鏟裝曲線與仿真鏟裝曲線的誤差分析,利用非線性回歸分析進行補償和修正,在誤差允許范圍內實現目標鏟裝曲線。所做研究對后續地下鏟運機自主鏟裝控制器的設計具有指導意義。