基于ARMAX模型和稀疏正則化的結構損傷識別方法

于 虹，朱宏平，翁 順，宋曉東，楊國靜，顏永逸，袁萬城，黨新志

(1. 華中科技大學 土木與水利工程學院， 湖北 武漢 430074； 2. 中鐵二院工程集團有限責任公司，四川 成都 610031； 3. 同濟大學 土木工程學院， 上海 200092)

大型工程結構是人們工作和交通的載體，其健康服役對社會正常運轉極其重要。工程結構在服役過程中受到材料老化和自然災害等因素影響，會發生不同程度的損傷，因此識別結構中的損傷對于保障大型工程結構的健康服役具有十分重要的意義[1,2]。近年來，國內外學者對基于振動信號的損傷識別方法進行了大量研究[3]，其中基于時間序列模型的結構損傷識別方法受到廣泛關注。Sohn等[4]選取自回歸模型的系數作為損傷敏感特征，并利用統計過程控制方法識別出結構中損傷的發生。朱軍華和余嶺[5]利用自回歸模型殘差的高階統計矩判斷結構是否發生損傷。杜永峰等[6]將損傷前后自回歸模型殘差的方差之比作為損傷敏感特征，實現了對結構損傷的定位。上述基于時間序列模型的方法通常采用統計手段進行損傷識別，由于難以建立統計指標與結構損傷之間的直接關系，這些方法一般僅可以識別損傷的發生，難以提供與損傷位置或程度相關的信息[7]。

結構損傷通常只發生在整個結構的一小部分構件中，因此除了與損傷位置相對應的元素之外，損傷向量中的絕大部分元素都為零，即損傷向量具有稀疏性。近年來，有學者將稀疏正則化算法引入結構健康監測領域，早期主要應用于無線傳感網絡的數據壓縮[8]和數據恢復[9]。此后，Lai和Nagarajaiah[10]利用稀疏正則化算法識別出線性結構的物理參數，并將結構損傷視為結構中的恢復力變化。駱紫薇等[11,12]在基于靈敏度分析的損傷識別求解過程中加入稀疏約束條件，顯著提高了損傷識別的精度。

本文提出了一種基于有外源輸入的自回歸滑動平均模型(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous inputs，ARMAX)和稀疏正則化的結構損傷識別方法，實現了對結構損傷的定位和定量分析。該方法首先建立與結構運動方程相對應的ARMAX模型，將作用在結構上的外力視為模型的輸入，將結構各自由度的加速度響應視為模型的輸出。然后利用ARMAX模型的自回歸系數對結構的固有頻率和振型進行估計，并將結構的固有頻率和振型作為損傷敏感特征。最后建立包含損傷前后結構模態參數變化和剛度折減參數的求解方程，并使用稀疏正則化算法對方程進行求解，解向量中的非零元素能夠反映損傷的位置和程度。通過一個六層集中質量剪切結構試驗，并與傳統損傷識別方法進行比較，驗證了方法的有效性和準確性。

1 結構ARMAX模型

在外部激勵作用下，任一線性結構的運動方程可以表示為：

(1)

y(t)=P1y(t-1)+P2y(t-2)+Q0u(t)+
Q1u(t-1)+Q2u(t-2)+e(t)+
H1e(t-1)+H2e(t-2)

(2)

2 利用ARMAX模型識別結構固有頻率和振型

在對ARMAX模型的參數進行估計之后，可以用ARMAX模型的自回歸系數組集一個矩陣G，矩陣G可以表示為：

(3)

式中：I表示尺寸為nd×nd的單位矩陣，nd為結構自由度的個數。結構的固有頻率和振型可以分別通過矩陣G的特征值和特征向量進行估計。將矩陣G的第k階特征值和特征向量分別表示為λk和ψk，λk和ψk滿足：

Gψk=λkψk

(4)

(5)

(6)

振型中各測點對應元素的幅值為相對值，在不同尺度下對兩個振型向量進行比較可能會導致錯誤的結果。因此，由矩陣G識別出的結構振型要通過式(7)進行標準化處理：

(7)

式中：φk為標準化處理之后結構的第k階振型。

將復數特征值λk寫成ak+ibk形式，結構的固有頻率可以表示為[14]：

(8)

(9)

式中：Δt為結構響應的采樣間隔；ωk為結構的第k階固有圓頻率。

3 利用稀疏正則化進行損傷識別

(10)

式中：ne為結構中單元的個數。剛度折減系數γl的取值范圍為-1～0，γl=0表示第l個單元沒有發生損傷，γl=-1表示第l個單元完全損壞。

結構損傷識別是一種典型的結構動力學反問題，通過損傷狀態與未損傷狀態損傷敏感特征的變化來識別損傷?；诮Y構模態參數的損傷識別求解方程可以表示為：

Sγ=ΔR=RD-RU

(11)

式中：RD，RU分別為未損傷狀態和損傷狀態下的結構模態參數，RD，RU可以通過上文基于ARMAX模型的方法從測得的結構響應和輸入力中提取得到；S表示結構模態參數對剛度折減系數的靈敏度矩陣。本文同時使用結構的頻率和振型進行損傷識別，結構模態參數向量R可以表示為：

(12)

式中：nk為獲取的模態個數。

式(11)中S可以表示為：

(13)

式中：Sω，Sφ分別為結構固有頻率和振型對剛度折減系數的靈敏度矩陣，Sω，Sφ可以通過傳統方法計算得到，如Nelson方法[16]。

結構損傷單元的數量通常遠小于整個結構中的單元個數，即損傷向量具有稀疏性，因此損傷識別問題可以轉化為求式(11)的稀疏解。式(11)的稀疏解可以通過稀疏正則化算法得到，稀疏正則化算法的目標函數J可以表示為：

(14)

τmax=‖2STΔR‖∞

(15)

式中：‖2STΔR‖∞為向量2STΔR的l∞范數。正則化參數τ的取值對式(14)的解有較大影響，本文取τ=0.01τmax。

將式(14)改寫為：

(16)

式中：ωk為結構的第k階固有頻率；φjk為結構的第k階振型在測點j處的值；np為測點個數。在式(16)中，將固有頻率殘差除以未損傷狀態下的結構固有頻率，使固有頻率殘差項標準化；將頻率殘差項、振型殘差項和正則化項分別除以各自向量的長度(分別為nk，nk×np，ne)，使各項具有可比性。式(16)中的優化問題可以通過截斷牛頓內點法[17]進行快速求解，解向量γ中的非零元素反映結構損傷的位置和程度。

在傳統的損傷識別方法中，通常使用Tikhonov正則化算法對式(11)進行求解。與稀疏正則化相比，Tikhonov正則化的目標函數中正則化項為解向量γ的l2范數：

(17)

式中：‖γ‖2為解向量γ的l2范數。式(17)中的優化問題存在解析解，采用奇異值分解法進行求解[18]。對于Tikhonov正則化，解向量γ中每個元素在正則化項‖γ‖2中的權重相同。而對于稀疏正則化，解向量γ中元素在正則化項‖γ‖1中的權重與該元素的大小成反比，即γ中的元素越小其權重越大[18]。于是在稀疏正則化中，只有γ中可以顯著減小殘差的元素被保留，而剩余的元素趨于零。因此，由稀疏正則化算法得到的解向量具有稀疏性，而由Tikhonov正則化算法得到的解向量中通常包含大量非零元素。

4 試驗驗證

4.1 試驗簡介

為了驗證所提出結構損傷識別方法的有效性，對一個六層集中質量剪切結構進行試驗研究，如圖1所示[19]。該結構有六個相同的樓層，每一層的高度為210 mm，寬度為260 mm。柱子的截面尺寸為50 mm×1.27 mm，每一層的集中質量(包含塑料梁、鋼塊和螺栓)為2.17 kg。首先在未損傷狀態下對結構進行測試，然后通過將損傷樓層的柱子更換為厚度更薄的鋼板來模擬結構損傷，損傷樓層的剛度折減為20%左右。表1列出了六層集中質量剪切結構的損傷工況，在三種單損傷工況(工況1～工況3)中，結構第四、五、六層的剛度分別折減20%。在多損傷工況(工況4)中，結構第四和第六層的剛度同時折減20%。

圖1 六層集中質量剪切結構試驗照片

圖1所示的試驗模型安裝在振動臺上，在模型的基底輸入有限帶寬白噪聲激勵。在每個樓層的鋼質量塊上安裝一個加速度傳感器，測量結構水平方向的加速度響應。在模型的基座上安裝一個加速度傳感器，記錄基底加速度響應。加速度傳感器的靈敏度約為100 mV/g。采用VIBPILOT數據采集系統采集結構的加速度響應，截止頻率設置為15 Hz。對于所有工況，采樣頻率設置為400 Hz，加速度響應時長為300 s。圖2給出了一條典型的通過測量得到的結構頂部加速度響應時程曲線。

表1 六層集中質量剪切結構損傷工況

圖2 典型結構頂部加速度響應時程曲線

4.2 結構固有頻率和振型識別結果

將結構基底的加速度響應視為輸入，六個樓層處的加速度響應視為輸出，可以建立與剪切結構對應的ARMAX模型。參照式(3)，利用ARMAX模型的自回歸系數構建矩陣G。試驗剪切結構中的自由度個數為6，因此矩陣G的尺寸為12×12。并通過矩陣G的特征值和特征向量識別結構的固有頻率和振型。

表2列出了識別的未損傷狀態和損傷狀態下剪切結構的固有頻率，與未損傷狀態(工況0)相比，結構中發生損傷時，結構的固有頻率減小。四種損傷工況的頻率下降平均值分別為-1.90%，-1.79%，-1.95%，-3.53%。未損傷工況下剪切結構的振型識別值和理論值如圖3所示。從圖中可以看出，振型識別值與理論值吻合較好，表明利用ARMAX模型自回歸系數可以準確識別出結構的振型。使用模態保證準則(Modal Assurance Criteria，MAC)值表示未損傷結構和損傷結構振型的相關性，MAC值的定義為：

(18)

圖3 未損傷工況下剪切結構振型識別結果

表2 剪切結構固有頻率及振型MAC值識別結果

4.3 結構損傷識別結果

利用識別出的結構固有頻率和振型建立式(11)。對于所有損傷工況，試驗結構中僅有1層(工況1～工況3)或2層(工況4)發生損傷，而試驗結構共有6層，即試驗結構中的損傷具有稀疏性。因此可以通過稀疏正則化算法對式(11)進行求解，得到能夠反映損傷位置和程度的解向量。三種單損傷工況(工況1～工況3)的損傷識別結果分別如圖4a～4c所示，SRF識別值在實際損傷樓層處較為明顯，而在其它樓層處為零或接近于零。對于工況1～工況3，實際損傷樓層處的SRF識別值分別為-0.2115，-0.2141，-0.1956，與實際損傷程度-0.20相比誤差分別為5.75%，7.03%，2.18%。圖4d給出了多損傷工況(工況4)的損傷識別結果，在第四和第六層處的SRF識別值比較明顯，在其它樓層處的SRF識別值接近于零，這與工況4的損傷位置相吻合。在第四層處的SRF識別值為-0.2153，與實際值-0.20相比誤差為7.67%；在第六層處的SRF識別值為-0.2022，與實際值-0.20吻合很好。從圖4中的損傷識別結果可以看出，利用稀疏正則化識別出的損傷樓層與實際損傷樓層吻合，且識別出的損傷程度與實際值十分接近。

為了說明稀疏正則化相比傳統Tikhonov正則化的優勢，也使用Tikhonov正則化識別圖1所示剪切結構中的損傷，識別結果如圖5所示。盡管利用Tikhonov正則化識別出的損傷位置接近實際損傷位置，但是識別出的SRF值與實際值存在較大差異，而且識別出的SRF值分布于多個樓層。比較圖4和圖5中的識別結果可以看出，稀疏正則化的識別精度要明顯優于Tikhonov正則化。

圖4 稀疏正則化損傷識別結果

圖5 Tikhonov正則化損傷識別結果

5 結 論

本文提出一種基于時間序列ARMAX模型和稀疏正則化的結構損傷識別方法。從對一個六層集中質量剪切結構的試驗分析結果，可以得到以下結論：

(1)利用時間序列ARMAX模型的自回歸系數可以識別出結構的固有頻率和振型。

(2)提出的基于ARMAX模型和稀疏正則化的損傷識別方法能準確識別出結構中損傷的位置和程度。

(3)提出的基于稀疏正則化的損傷識別方法，其識別精度相比傳統的損傷識別方法有明顯提高。