基于改進鯨魚算法和模態柔度的兩階段結構損傷識別

楊雨厚，成希豪，朱志剛，羅 金，黃民水

(1. 廣西北部灣投資集團有限公司, 廣西 南寧 530029； 2. 廣西大學 土木建筑工程學院, 廣西 南寧 530004；3. 廣西交科集團有限公司, 廣西 南寧 530007； 4. 武漢工程大學 土木工程與建筑學院, 湖北 武漢 430074)

結構健康監測主要目的是持續跟蹤和評估可能影響結構運行、可用性或安全可靠性的退化或損壞癥狀[1]。那么損傷識別的基礎是，通常結構損傷是由于結構的截面積、質量等這些物理參數發生改變所引起的，這些變化會使得結構的剛度矩陣和質量矩陣等發生改變，進而影響到結構動態特性[2]。在實際結構中，通常結構的動態特性較于物理參數更易獲取而且更精確，因此可以通過現在采集的實際結構動態特性結合有限元分析計算出來的數據對該結構健康狀況進行評估。在基于結構模態參數進行損傷識別的這類問題中，首先需要設置損傷工況，然后根據這些損傷工況記錄結構模態參數[3,4]的變化情況，其中最重要的是選取損傷識別指標對其進行損傷定位，最后根據優化方法計算出相應的損傷程度[5,6]。

本文結合模態柔度方法在定位損傷位置上的優勢和鯨魚優化算法在求解優化問題上的高效、準確性，將損傷識別問題劃分成兩個問題：損傷位置的確定以及量化其對應的損傷程度。首先，本文對基本的模態柔度方法進行了改進，提出了疊加模態柔度差曲率指標用于定位結構發生損傷的位置；其次，將削弱板結構“臨近效應”的方法[7,8]引入到該指標；最后，通過改進的鯨魚優化算法迭代求解損傷位置相對應的損傷程度。

1 改進模態柔度方法

無阻尼自由系統，其微分方程式表示為：

(1)

式中：M和K分別為系統的質量矩陣和剛度矩陣；x為位移向量。

將質量矩陣和剛度矩陣進行正交化：

φTKφ=Λ

(2)

φTMφ=I

(3)

式中：φ為整體結構的振型；Λ為系統特征值的對角矩陣；I為單位矩陣。

對式(2)做一次變換，可將剛度矩陣K表示為：

K=φ-TΛφ-1=(φΛ-1φT)-1

(4)

柔度矩陣D與剛度矩陣K的關系由式(5)表示：

D=K-1

(5)

將式(4)代入式(5)中，可以得到：

(6)

式中：φi為第i階振型；ωi為第i階固有頻率。 本文基于現有的柔度差曲率矩陣法[9](Flexibility Curvature Matrix Based on Mode，FCMD)、模態柔度改變率(Rate of Modal Flexibility，RMF)、模態柔度改變率曲率[10](Rate of Modal Flexibility Curvature，RMFC)，提出了疊加模態柔度差曲率(Superposition of Modal Flexibility Curvature，SMFC)。

該方法由結構的柔度矩陣入手，由于低階模態所包含的模態信息較多，可通過相加的方式來擴充其信息。而且，在結構損傷區域附近，柔度值會有較大的改變，通過對坐標位置的二階導數作用即求柔度曲率。最后對損傷前后的曲率求差，即疊加模態柔度差曲率，其變化的程度將會變得更加明顯，計算得到的局部極值可直接用于識別損傷位置。

計算步驟如下：

(1)對模態柔度矩陣逐行相加

Fu=sum(Du,2)
Fd=sum(Dd,2)

(7)

式中：D為結模態柔度矩陣；上標u和d分別表示損傷前和損傷后；sum(D,2)表示對矩陣的各行元素求和。

(2)計算SMFC指標

利用中心差分理論計算上步中兩個列陣的曲率MFC：

(8)

式中：i對應于模型的第i個節點；d為相鄰節點的距離，即為單元的長度。

最后，對兩者作差計算得出SMFC的值：

SMFC=MFuC-MFdC

(9)

該指標的損傷位置判別方式是，損傷處的SMFC值會產生突變，突變位置即是結構中發生損傷的位置。其工作基礎是：當結構中存在損傷時，會導致結構的剛度減小，由式(5)可知，結構的柔度增大，依據SMFC指標的計算方法，結構中損傷位置的SMFC會隨之增大，因此所繪制的SMFC(i)曲線中，曲線的突變處即為損傷的區域。

2 鯨魚優化算法

2.1 基本鯨魚算法

(1)追蹤獵物階段

根據鯨魚優化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)算法這個名稱可知，該算法是模擬鯨魚的捕食過程來追蹤捕食獵物。但是理論與實際往往存在出入，在面對實際問題時，需要假定WOA算法中的當前種群的目標獵物為實際問題的最優解，那么種群中的所有個體將向著捕食該目標獵物進行移動改變自身位置，其數學表達式下：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：Max_iter為最大迭代次數。

(2)捕食獵物階段

WOA算法的捕食獵物階段同樣類似于鯨魚捕食行為。首先計算鯨魚與獵物之間的距離：

(15)

然后，用對數螺旋方程來表示鯨魚和獵物之間的位置，如式(16)所示。

(16)

式中：b是一個常量，用來確定螺旋的形狀；l為-1～1的隨機數。

而且為了模擬鯨魚捕食行為的兩種方式，假設在更新個體位置時按照式(15)或(16)進行，兩種方式運行的可能均相同，其數學模型如下：

(18)

式中：p為算法選擇式(15)或(16)兩種方式更新的概率。

(3)尋找獵物階段

(19)

(20)

2.2 改進的鯨魚優化算法(EWOA)

基本WOA算法并不是完美無缺的，它也存在著容易陷入局部最優，計算效率不高等不足，本文針對這些缺點在基本WOA算法的基礎上提出了增強型的鯨魚優化算法。

(20)

式中：ωmax為最大非線性權重；ωmin為最小非線性權重。

(21)

(22)

(23)

為了針對基本鯨魚優化算法易陷入局部最優這一缺點，引入了微分擾動因子λ，可以使種群個體更易跳出局部最優實現全局最優求解。

(24)

式中：F為擾動常量。

因此，式(21)可更新為：

(25)

然而，式(23)中的對數螺旋方程可能不是最好的更新方式[12]，如果螺旋步長的范圍過大，基本的WOA算法將無法對整個尋優空間進行搜索。本文將式(23)中的對數項改為常數項，式(23)更新如下：

(26)

綜上所述，改進后的WOA算法的具體數學模型為：

(27)

2.3 算法性能評價

引入常見的測試函數，將EWOA算法與WOA算法進行對比來展現EOWA算法的優劣。

相關測試函數為：

(28)

(29)

(30)

(31)

設種群大小為100，最大迭代次數為500次，取最大非線性權重和最小非線性權重分別為ωmax=0.9，ωmin=0.4，擾動常量F=0.6。圖1為測試函數計算迭代圖。

例如，教師在向學生演示了水果中維生素C的還原性實驗后，鼓勵學生在掌握實驗原理和步驟的基礎上，對生活中的水果的其他元素進行實驗探究，不僅能讓學生在生活中鞏固化學理論知識，更能讓學生在實踐中鍛煉實驗操作技能，提高學生的化學實驗水平。學生在高中階段面臨著巨大的學習壓力，教師如果能在教學過程中將理論知識與生活結合起來，既能加快學生對知識的理解與接受效率，又能適當緩解學生的學習難度，讓學生在相對輕松的環境中進行學習，從而提高學生的學習效率。

從圖1可知，EWOA算法與WOA算法相比能夠跳出局部最優，實現全局最優求解，在計算效率上能更快地計算出最佳值。

圖1 測試函數計算迭代圖

3 損傷識別流程

3.1 目標函數

通過測量柔度矩陣[13,14]與用數值模型計算的相應柔度矩陣之間的差異來建立目標函數。

(32)

式中：F為柔度矩陣，通過式(6)求得其上標E和A分別表示損傷模型和數值模型；x=(x1,…,xN)∈[0,1]N為設計變量，表示剛度折減系數。

3.2 損傷識別步驟

本文所提方法的主要步驟如下：

(1)運用SMFC指標判斷結構損傷：1)計算整個結構的SMFC值；2)計算削弱“臨近效應”后改進的SMFC值。

(2)運用改進鯨魚優化算法(EWOA)對目標函數進行若干次優化迭代，從而計算出上步定位出的損傷位置程度。

4 損傷識別

4.1 數值算例

簡支梁全長5 m(圖2)，結構彈性模量為30 GPa，橫截面面積為0.072 m2，材料密度為2360 kg/m3，截面慣性矩為8.64×10-5m4。用剛度矩陣的折減來表示結構損傷，并虛設了單點和多點兩種損傷工況，見表1。其損傷定位結果與上節所述FCMD，RMF，RMFC指標進行對比，見圖3。

圖2 簡支梁結構簡圖

表1 簡支梁損傷工況

根據SMFC曲線的突變處來確定結構中的損傷位置。從圖3a～3c中可以看出FCMD和RMF中的最大值即是結構中的損傷位置，但是其臨近單元的指標值相比于其他未損傷單元而言同樣也很大，那么當損傷很小時就會影響損傷單元的判斷；而RMFC只能粗略地定位出結構中的損傷位置。

綜上所述，SMFC指標可以有效地識別出結構損傷區域位置，現有指標FCMD，RMF，RMFC也能夠識別出損傷位置，但還是劣于SMFC指標。

圖3 工況1與工況2下簡支梁損傷識別參數對比情況

采用EWOA算法對上述兩個數值進行迭代求解時，其相關參數：種群大小為100，最大迭代次數為50次，最大非線性權重ωmax=0.9，ωmin=0.4，擾動常量F=0.6。將本文中第三部分所提出的兩步法和直接法進行對比，結果如圖4，5和表2所示。

圖4 四邊簡支板模型/m

圖5 簡支梁損傷識別結果

表2 四邊簡支板的損傷識別結果

由最終量化損傷程度的結果可知，對于單點及多點損傷，該方法能在準確定位出損傷位置的同時也能精確地量化出對應的損傷大小。在單點損傷情況下，直接法對梁結構的損傷識別有1.14%的誤差，對板結構的識別效果較好，在多點損傷情況下，直接法均不能得出較好的識別效果，最高誤差高達2.5%。

4.2 簡支梁試驗

簡支梁全長為5 m，共劃分為10個單元，每個單元長0.5 m，所用單元為2結點6自由度單元。結構的彈性模量為30 GPa，橫截面面積為0.072 m2,材料密度為2360 kg/m3，截面慣性矩為8.64×10-5m4。如圖6所示，本試驗采用加質量塊方式來模擬損傷。質量塊的重量為20 kg，長0.3 m，寬0.2 m，厚0.15 m。通過增加梁質量百分比來估計真實損傷程度[15]。

以簡支梁模型為例，假設其約束條件不變，考慮質量變化對其自振頻率的影響，簡支梁第n階無阻尼自振頻率的數學表達式為：

(33)

式中：l，b，h分別為簡支梁的跨度、寬度與高度；E為混凝土彈性模量；M為簡支梁質量。

由式(33)可知，當質量越大時，簡支梁的自振頻率越小。用加質量塊方式來模擬損傷，當加的質量塊越重時，其損傷程度也就越大。

圖6 試驗設置

本試驗設置了3種損傷工況，見表3。加質量塊的位置選在距離左端支座2.5 m處。從表3可知，頻率隨著損傷程度加劇而減小，本試驗選取前四階測量頻率與振型進行損傷識別。

表3 結構損傷工況

將損傷工況1～3的損傷數據分別引入基準有限元模型，并與基準有限元模型計算的模態數據相結合形成目標函數，通過改進的鯨魚算法對SMFC指標所判斷出的可能損傷單元進行識別，并與直接法(即不用疊加模態柔度差曲率指標進行損傷定位，直接運用改進的鯨魚算法對簡支梁共10個單元進行損傷識別)進行比較，損傷識別結果如圖7所示。

圖7 損傷識別

與直接法相比，本文提出的方法(兩步法)可以大大減少識別出的損傷單元數，并能準確識別損傷的嚴重程度。對于損傷工況1～3而言，采用兩步法時，其識別最大誤差為0.82%，而直接法的最大誤差為4.87%。因此，采用兩階段方法對結構進行損傷識別時具有更準確的特點。

5 結 論

根據數值算例的結果，可以得出以下結論：

(1)提出了SMFC指標來確定梁結構和板結構的損傷位置。與FCMD，RMF，RMFC指標相比，SMFC指標可以更好地定位出梁結構中的損傷單元。同時，提出了一種減少“臨近影響”引起板結構虛假報警的方法，以進一步改進SMFC。

(2)通過四個基本測試函數證明了EWOA算法在計算效率與計算精度上均有一定的改善，其收斂速度加快且能夠跳出局部最優，實現全局尋優求解。

(3)數值算例結果表明本文方法能夠有效識別出二維梁結構和板結構的損傷位置及其對應程度。

(4)用簡支梁試驗來驗證了本文所提出方法的有效性，為實際結構的損傷識別提供了一種新思路。