基于方差最小化的直覺模糊語言多屬性決策方法*

陳 晶，王中興，姚 陳

(1.湖南交通工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，湖南衡陽 421001；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧 530004；3.南華大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，湖南衡陽 421001)

0 引言

自1998年Delgado等[1]提出用模糊語言表示評(píng)價(jià)結(jié)果以來，語言型決策理論與方法已引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Herrera等[2]為處理離散的模糊語言在集成時(shí)出現(xiàn)信息失真的問題，提出了模糊語言的二元語義分析法。王欣榮和樊治平[3]將二元語義引入傳統(tǒng)TOPSIS中，提出基于二元語義信息處理的TOPSIS模糊語言決策方法。王曉等[4]針對(duì)屬性權(quán)重完全未知的模糊語言多屬性群決策問題，提出一種基于離差最大化的屬性權(quán)重客觀賦權(quán)方法。劉勇等[5]提出一種以多階段群體評(píng)價(jià)差異最小化為目標(biāo)的模糊語言群決策模型。Bapi等[6]針對(duì)屬性信息相互關(guān)聯(lián)的模糊語言多屬性決策問題，提出一類二元語義分區(qū)Bonferroni加權(quán)平均算子，并研究算子的相關(guān)性質(zhì)。王中興等[7]擴(kuò)展Archimedean S模，給出對(duì)屬性權(quán)重進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整的二元語義擴(kuò)展Archimedean S模集成算子，并將其應(yīng)用于模糊語言多屬性決策。Liang等[8]基于多粒度區(qū)間二元語義廣義距離測(cè)度，給出一種處理區(qū)間二元語義信息的交互式多準(zhǔn)則(TODIM)群決策方法。黃魯成等[9]將集對(duì)分析思想引入TOPSIS中，運(yùn)用聯(lián)系向量的垂面距離，構(gòu)建VASP-TOPSIS多屬性決策模型。Song和Li[10]給出求解決策方案優(yōu)先權(quán)重的目標(biāo)規(guī)劃模型及群體一致度的自動(dòng)迭代算法，并將兩者應(yīng)用于多粒度二元語義群決策。

然而，模糊語言僅考慮準(zhǔn)則隸屬度，不能直觀地表達(dá)人們思維的猶豫、模糊特征。如對(duì)汽車配置測(cè)評(píng)時(shí)，經(jīng)檢測(cè)汽車在許多方面都達(dá)到“優(yōu)”的標(biāo)準(zhǔn)，但也存在一些方面未達(dá)到“優(yōu)”的標(biāo)準(zhǔn)；此時(shí)，采用“優(yōu)”“良”等模糊語言評(píng)價(jià)均不符合實(shí)際。為克服模糊語言存在的這種不足，文獻(xiàn)[11,12]將直覺模糊集的思想引入模糊語言集，先后定義了直覺模糊語言、直覺模糊二元語義，以準(zhǔn)確地描述準(zhǔn)則隸屬度或非隸屬度雙方面評(píng)價(jià)。如上述對(duì)汽車配置的測(cè)評(píng)，可用直覺模糊語言<很高,稍低>細(xì)膩表達(dá)，其意義為該汽車配置達(dá)到優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)“很高”，而未達(dá)優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)“稍低”。相對(duì)于模糊語言，直覺模糊語言增加了準(zhǔn)則非隸屬度描述，能更全面、細(xì)致、真實(shí)地描述決策者的偏好信息，廣泛適合于軍事系統(tǒng)效能評(píng)估、供應(yīng)商評(píng)估與選擇、人力資源管理等實(shí)際決策問題。

在研究語言型決策問題時(shí)，往往需要對(duì)語言型評(píng)價(jià)信息進(jìn)行運(yùn)算或集成。直覺模糊語言的提出改進(jìn)了模糊語言缺少準(zhǔn)則非隸屬度描述的局限，使得評(píng)價(jià)結(jié)果更符合人們的直覺，但仍未能避免模糊語言運(yùn)算[1,2,7,13]不滿足封閉性的不足。為此，本文采用方差最小化模型定義克服越界現(xiàn)象的直覺模糊語言運(yùn)算新方法，并對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)討論,以及給出直覺模糊語言期望值、精確值的定義，通過比較期望值和精確值給出直覺模糊語言序關(guān)系。最后，將所提方法應(yīng)用于直覺模糊語言多屬性決策中，為解決語言型決策問題提供新方法。

1 預(yù)備知識(shí)

模糊語言集L={l0,l1,l2,…,l2τ}(τ為正整數(shù))是一個(gè)非空離散的集合。模糊語言li是預(yù)先定義好的評(píng)價(jià)短語，如“好”“一般”“差”等。其中l(wèi)0,l2τ分別為模糊語言集的下界與上界。2τ+1為模糊語言集的粒度。例如，一個(gè)七粒度模糊語言集可表示為L(zhǎng)={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很差,差,較差,一般,較好,好,很好}。模糊語言集L通常有如下定義[1,2]：

①有序性：i

②語言取小(∧)、取大(∨)運(yùn)算：若lilj，則li∧lj=li，li∨lj=lj。

③語言否定(┐)運(yùn)算：┐li=lj，j=2τ-i。

①lα⊕lβ=lα+β；②λ?lα=lλα。

特別的，對(duì)于直覺模糊語言，若┐lμ=l2τ-μ=lν，則直覺模糊語言退化為模糊語言。

(1)

直覺模糊語言關(guān)于定義1中的運(yùn)算法則存在以下問題:例如，對(duì)于上述七粒度模糊語言集L，若取直覺模糊語言h1=,h2=∈H，則由文獻(xiàn)[1,2,13]中方法有h1⊕h1=,即“較差”與“較差”運(yùn)算結(jié)果為“較好”，這讓人不易接受；又如h1⊕h2=(l8?L),即“較差”與“很好”運(yùn)算結(jié)果可能不在模糊語言集中，出現(xiàn)越界的現(xiàn)象。

定義2[11]設(shè)H為直覺模糊語言集，h1=,h2=為H中的直覺模糊語言，則h1與h2的距離為

(2)

2 直覺模糊語言決策理論與方法

2.1 直覺模糊語言運(yùn)算新方法

在實(shí)際的決策問題中，決策專家針對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象各評(píng)價(jià)指標(biāo)所給出的評(píng)價(jià)往往存在差異。為得到評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合評(píng)價(jià)，需要對(duì)各指標(biāo)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行運(yùn)算或集成。考慮到綜合評(píng)價(jià)作為決策專家對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象意見的綜合反映，其與各指標(biāo)評(píng)價(jià)之間的方差應(yīng)盡可能小。基于此思想，下面給出直覺模糊語言方差的定義。

(3)

其中，直覺模糊語言he=∈H為直覺模糊語言hj(j=1,2,…,n)的集成結(jié)果。

而對(duì)于權(quán)重信息完全未知的情形，方差(Var)可定義為

設(shè)hj=(j=1,2,…,n)為決策者關(guān)于第j(j=1,2,…,n)個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)所給出的評(píng)價(jià)，則綜合評(píng)價(jià)he=與各評(píng)價(jià)指標(biāo)間的方差應(yīng)最小，即綜合評(píng)價(jià)he=為目標(biāo)優(yōu)化模型

(4)

s.t.hx=〈lμx,lνx〉∈H，hj=〈lμj,lνj〉∈H，

證明：由定義2、定義3可得

根據(jù)以上分析，下面定義直覺模糊語言運(yùn)算新方法。

對(duì)于前面給出的直覺模糊語言h1=,h2=∈H，則由定義4有h1⊕h1=，即“較差”與“較差”運(yùn)算結(jié)果仍為“較差”；以及h1⊕h2=，即“較差”與“很好”運(yùn)算結(jié)果為“較好”；兩種情形均容易讓人接受，且運(yùn)算結(jié)果仍然屬于定義中的集合。

2.2 直覺模糊語言序關(guān)系

為對(duì)直覺模糊語言進(jìn)行比較或排序，下面首先給出直覺模糊語言期望值的定義。

定義5對(duì)于直覺模糊語言h=

lν(h)>∈H，期望值為

(5)

由(5)可知，期望值愈大，直覺模糊語言愈優(yōu)。但僅用期望值作為排序指標(biāo)，則無法比較期望值相同的兩個(gè)直覺模糊語言的大小。例如，給定七粒度模糊語言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,較低,一般,較高,高,很高}，若取直覺模糊語言h1=,h2=,h3=，則有E(h1)=l4，E(h2)=l4，E(h3)=l3，故h1=h2?h3，顯然直覺模糊語言h1與h2無法通過期望值來比較大小。為此，下面給出直覺模糊語言精確值的定義。

定義6對(duì)于直覺模糊語言h=

lν(h)>∈H，精確值為

Q(h)=lμ(h)+ν(h)。

(6)

期望值相等的兩個(gè)直覺模糊語言，精確值愈大，包含的決策信息愈完整、愈準(zhǔn)確，其評(píng)價(jià)也就愈高。對(duì)于上述直覺模糊語言h1=與h2=，分別計(jì)算精確值有Q(h1)=l6，Q(h2)=l4，因而h1?h2。

基于以上分析，下面給出直覺模糊語言的序關(guān)系。

定義7對(duì)于直覺模糊語言h1,h2∈H，設(shè)E(h1)與E(h2)分別為h1、h2的期望值，Q(h1)與Q(h2)分別為h1、h2的精確值，則

①若E(h1)?E(h2)，則h1優(yōu)于h2，即h1?h2。

②若E(h1)=E(h2)，當(dāng)Q(h1)?Q(h2)，則h1優(yōu)于h2，即h1?h2；當(dāng)Q(h1)=Q(h2)，則h1無差異于h2，即h1=h2。

2.3 直覺模糊語言多屬性決策方法

模糊語言在表達(dá)模糊決策信息方面具有局限性，而直覺模糊語言同時(shí)考慮正、反雙方面評(píng)價(jià)，可以更加完整、細(xì)膩地描述事物的模糊本質(zhì)，因而在表達(dá)決策不確定信息時(shí)，直覺模糊語言更具表現(xiàn)力和實(shí)用性。為此，本文采用直覺模糊語言來表達(dá)決策信息，提出一種基于直覺模糊語言信息處理的多屬性決策方法。

Step 1 根據(jù)決策者給出的正、反雙方面模糊語言評(píng)價(jià)，得到直覺模糊語言決策矩陣R=[rij]m×n。

Step 2 對(duì)決策矩陣R=[rij]m×n進(jìn)行規(guī)范化處理。

成本型屬性評(píng)價(jià)可通過否定運(yùn)算(neg)轉(zhuǎn)化為收益型評(píng)價(jià)；收益型屬性評(píng)價(jià)則無需轉(zhuǎn)化。為方便敘述，轉(zhuǎn)化后的決策矩陣仍記為R=[rij]m×n，

neg(rij)=neg()=。

(7)

Step 3 利用定義4中集成方法對(duì)決策矩陣R=[rij]m×n中第i行的決策信息進(jìn)行集成，得到?jīng)Q策者對(duì)方案Ai的綜合評(píng)價(jià)zi,(i=1,2,…,m)，

(8)

Step 4 根據(jù)定義5和定義6計(jì)算zi的期望值E(zi)與精確值Q(zi),(i=1,2,…,m)。

Step 5 根據(jù)各方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值和精確值，按定義7對(duì)各方案進(jìn)行比較與排序。

3 數(shù)值實(shí)例

考慮對(duì)某大型企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)業(yè)投資，共有4個(gè)備選方案：智能手機(jī)業(yè)(A1)，房地產(chǎn)業(yè)(A2)，家電業(yè)(A3)和互聯(lián)網(wǎng)業(yè)(A4)可供選擇。現(xiàn)從4個(gè)指標(biāo)(屬性)：技術(shù)創(chuàng)新(G1)，市場(chǎng)走勢(shì)(G2)，政策扶持(G3)，資金回籠(G4)對(duì)各方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。決策者根據(jù)實(shí)際需要選取七粒度模糊語言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,較低,一般,較高,高,很高}，對(duì)這些方案的各項(xiàng)屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中，屬性的權(quán)重向量為w=(0.25,0.3,0.15,0.3)T。由于問題的復(fù)雜性以及人們思維的模糊性，決策者難以用模糊語言準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)，于是采用直覺模糊語言進(jìn)行評(píng)價(jià)。

例如，該企業(yè)對(duì)投資智能手機(jī)業(yè)(A1)關(guān)于公司自身的技術(shù)創(chuàng)新(G1)水平的評(píng)價(jià)為，即企業(yè)認(rèn)為智能手機(jī)業(yè)(A1)具有技術(shù)創(chuàng)新(G1)的可能性很低，而不具有技術(shù)創(chuàng)新(G1)的可能性一般。企業(yè)對(duì)是否具有創(chuàng)新性保留著一定的猶豫不確定性。

決策者給出各方案關(guān)于各屬性的評(píng)價(jià)見表1。

表1 決策者給出各方案關(guān)于各屬性的評(píng)價(jià)

下面采用本文決策方法，確定最佳的投資產(chǎn)業(yè)。

Step 1 根據(jù)決策者的評(píng)價(jià)，得到直覺模糊語言決策矩陣R=[rij]4×4,

R=

Step 2 4個(gè)指標(biāo)均為收益型屬性，屬性評(píng)價(jià)信息無需轉(zhuǎn)化。

Step 3 根據(jù)式(8)對(duì)決策矩陣R中第i行決策信息進(jìn)行集成，得到方案Ai(i=1,2,3,4)的綜合評(píng)價(jià)值z(mì)i,

Step 4 計(jì)算zi的期望值E(zi)與精確值Q(zi),(i=1,2,3,4),

Step 5 依據(jù)期望值E(zi)與精確值Q(zi)(i=1,2,3,4)，對(duì)各方案排序有A3?A4?A2?A1。故該企業(yè)投資的最佳產(chǎn)業(yè)是家電業(yè)(A3)。

結(jié)合決策矩陣中的數(shù)據(jù)及其權(quán)重進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)方案A3關(guān)于4個(gè)指標(biāo)的評(píng)價(jià)比其他方案高，利用本方法得到的結(jié)果與其一致。比較方案A4、A2和A1，易知A4優(yōu)于A1，A2優(yōu)于A1。比較方案A4和A2，可以發(fā)現(xiàn)G1和G3兩個(gè)指標(biāo)下的評(píng)價(jià)A4優(yōu)于A2，G2指標(biāo)下的評(píng)價(jià)A2優(yōu)于A4，綜合得方案A4優(yōu)于A2。

4 對(duì)比與分析

在本小節(jié)中，將文獻(xiàn)[7,10,12]方法與本文方法進(jìn)行比較，具體如表2所示。

表2 不同決策方法對(duì)比與分析

從表2可知，本方法與已有方法存在明顯的不同之處。本方法通過方差最小化模型，客觀地集成評(píng)價(jià)信息，適用于權(quán)重值為實(shí)數(shù)或未知且屬性值為直覺模糊語言的多屬性決策問題，較文獻(xiàn)[7,10]中模糊語言決策方法，能更完整地描述決策者的偏好信息，減少?zèng)Q策信息的丟失。其次，本文基于最優(yōu)化理論與方法，提出直覺模糊語言新型運(yùn)算，避免了現(xiàn)有語言型運(yùn)算[7,13]存在越界或違反直覺的不足。再者，文獻(xiàn)[12]中決策方法通過直覺模糊語言決策形式背景及規(guī)則提取模型，得到各方案的加權(quán)相似度，與本文基于方差最小化模型集成群體評(píng)價(jià)信息的方法，均適合處理屬性評(píng)價(jià)信息包含不確定性的情形。但本方法運(yùn)算更簡(jiǎn)單，且結(jié)論部分更容易讓人理解。文獻(xiàn)[14]基于目標(biāo)規(guī)劃模型與群共識(shí)迭代算法確定群體一致度，與本文通過距離測(cè)度構(gòu)建的偏差最小化模型均適應(yīng)于群體意見分歧較大的群決策問題，但文獻(xiàn)[13]中方法需要決策者事先給出群體一致度閾值ε、群體共識(shí)度η，因而決策的主觀性較大，實(shí)際處理起來往往更為繁瑣且復(fù)雜。

5 結(jié)論

直覺模糊語言同時(shí)考慮正、反雙方面評(píng)價(jià)，能全面地表達(dá)決策者的偏好信息，因而較模糊語言更符合人們猶豫、不確定性的表述習(xí)慣。本文在直覺模糊語言集概念的基礎(chǔ)上，給出直覺模糊語言方差的定義，并通過方差最小定義了直覺模糊語言新型運(yùn)算，以及給出直覺模糊語言期望值、精確值和直覺模糊語言序關(guān)系定義，進(jìn)而給出一種直覺模糊語言決策新方法。該方法在一定程度上克服了現(xiàn)有語言型決策僅依靠準(zhǔn)則隸屬度描述決策者偏好的局限，也避免了語言型決策運(yùn)算存在著越界或不符合人們直覺的不足。