難道變量分離法用錯了嗎

俞新龍

(浙江省紹興市柯橋區越崎中學 312050)

一、一個教學片斷

在變量分離法教學時，我先讓同學們做了下面這道

綜上，a≤1-2ln2，從而實數a的最大值為1-2ln2．

上面每一種情況的討論不能出任何差錯，否則必將前功盡棄！但如果我們用變量分離的方法解該題，則將容易得多．

我們知道變量分離法解決一些求參數范圍的問題效果非常好，如上面的引例．正是基于對變量分離法解決參數范圍問題的信心，所以我們大都對它情有獨鐘，在遇到求參數范圍問題時，一般都會先試著用變量分離法嘗試做一下．接著我讓同學們做了下面這道題：

題1若函數f(x)=x3+x2-ax-4在區間(-1,1)上恰有一個極值點，則實數a的取值范圍為____．

原問題等價于f′(x)=3x2+2x-a在區間(-1,1)上有一個根，解決方法和答案集中在如下兩種：

解法2(函數零點存在定理)：f′(-1)f′(1)=(1-a)(5-a)<0，解得1

題2若函數f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為____．

該題同學們用兩種方法給出了相同答案．

從對比題的解答情況看，大家形成2點共識：題1的情況不是一元二次函數問題因素造成的，也不是變量分離法造成的．雖然原因還沒找到，但大家一致認為應該往極值方面找原因．看來離真相不遠了．于是我讓同學們繼續完成下面問題．

題3已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則a+b=____．

上述做法得到部分同學的反對，這些同學指出當a=-3，b=3時，f′(x)=3(x-1)2≥0，所以x=1處函數f(x)無極值．出現了與題1相同的情況！此時，同學們都做恍然大悟狀，大家都知道了題1錯誤的原因是：f′(x0)=0是函數y=f(x)在x=x0處取到極值的必要而不充分條件，即存在函數滿足：在某點導數為0，但不是這個函數的極值點，如題1、題3等．當然，題1的導數是一元二次函數也起到了推波助瀾挖坑的作用，因為在有關極值問題中，兩個等根不應該視為一個根．

問題雖然解決了，但我們知道，在高中數學中類似的情況還有許多，于是，我又讓同學們歸納總結、整理了一些易錯的或易忽略的知識點，如空集、函數定義域等等，并課堂練習如下習題：

練習結束后我還向學生補充以下解法：

二、由此引起的一些教學思考

教學是一項系統工程，如何開展教學比較好，沒有固定的模式，也不可能產生模式，因為每一次教學都會隨著學生的不同、教學內容的不同、教學情境(情況)的不同而變化，即每次教學都是新的，但教師應努力追求一種最適合學生的教學方法，讓他們在充滿“趣味性”的教學情境或教學載體中獲得知識．數學家哈爾斯說過：“問題是數學的心臟．” 著名數學家波利亞還說過：“一個專心、認真備課的老師往往能夠拿出一個有意義但又并不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門，把學生引入一個完整的理論領域．”這就要求教師平時必須做一個有心人，要留意哪些問題能成為幫助學生尋找到“更多周圍蘑菇”的“蘑菇”．

在教學中常會遇到“講過做過的數學問題、方法”學生又做錯了或不會了的情況，那么如何來保障教學的有效性和長效性呢？我們知道，只有當知識在學生最近發展區并符合認知規律時才易于被學生接受而內化為他(她)自己的知識，類似本文情況實際上就是教師教學中缺少讓學生主動建構知識造成的，所以教師應根據知識掌握的不同要求采用講授式、體驗式、矛盾式等多種教法讓學生經歷頭腦風暴，并根據遺忘規律“三天小提醒七天大提醒”的形式開展教學．

每次教學隨時會出現意料之外的情況，具有不可預測的可變性，時時刻刻考驗著上課者的生成性教學能力．這就要求教師在平時備課時要多預設可能發生的情況，提前做好各種預案，“臺上一分鐘，臺下十年功”.教師只有深入題海，才能了解問題出現的各種可能情況和處理方式，才能冷靜思考、處變不驚的處理好生成教學．