直角三角形的邊角關(guān)系在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

趙巖

（北京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 100000）

一、換元積分法

二、三角換元求換元積分

鑒于這個(gè)例子的分析，可以給學(xué)生總結(jié)出，利用直角三角形求這類(lèi)換元積分的方法：

1.變量代換去根號(hào)（把關(guān)于x的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于新的變量t的不定積分）；

2.求出關(guān)于新變量t的原函數(shù)；

3.利用變量代換，構(gòu)造出直角三角形，表示出不定積分結(jié)果中出現(xiàn)的三角函數(shù)表達(dá)式（把關(guān)于t的結(jié)果回代為關(guān)于 的結(jié)果）。得出關(guān)于原變量x的不定積分。

這個(gè)小的練習(xí)，一方面讓學(xué)生熟悉由已知三角函數(shù)畫(huà)出相應(yīng)的直角三角形的過(guò)程，另一方面也讓學(xué)生注意到，如果已知三角函數(shù)值不是分式，而是整式的時(shí)候，要把它看作是一個(gè)分母為1 的分式，畫(huà)圖的時(shí)候要注意把相應(yīng)的邊長(zhǎng)記為1，再按歸納的步驟求不定積分。

當(dāng)然這里也可以利用 sin2t+cos2t=1來(lái)求解cost。可以鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維的練習(xí)。