懸臂澆筑掛籃主桁受力分析及構造優化

劉良成

（中鐵四局集團第三建設有限公司，天津300163）

懸臂澆筑法由于操作簡便、結構輕盈、施工效率高，被廣泛應于大跨度預應力混凝土連續梁橋施工中。掛籃是懸臂澆筑梁體時用于承受梁體自重及施工荷載并能逐段向前移動、經特殊設計的專用設備[1]，主桁是其主要承力構件。掛籃主桁根據桿件的夾角可分為菱形、三角形等且各桿件長度、夾角等設計也根據受力需要各不相同。李斌等[2]以掛籃主桁上弦桿與水平面的夾角為控制參數，指出在夾角為9°時的楔形掛籃主桁架為最優的結構形式；葉清鋒[3]指出主桁上弦桿與水平面的夾角θ在8°≤θ≤16°時，主桁架的綜合性能最佳。吳載清[4]通過建立主桁有限元模型，指出掛籃異形三角主桁的最優夾角為8°～12°。上述對掛籃主桁受力的研究主要采用了固定變量單因素的分析方法，未考慮在多因素作用下主桁的綜合受力性能。

鑒于相同材料的結構拓撲優化規律及平面靜定桁架的內力求解唯一性[5～6]，本文建立掛籃主桁的任意結構參數模型，導出主桁內力理論計算公式，探討掛籃主桁在各設計參數影響下的受力特性及規律，進而探究合理且最優的主桁構造形式。

1 模型建立及公式推導

掛籃主桁桿件之間均采用鉸接，均為拉壓桿（三角掛籃的主縱梁除外），將其簡化為平面靜定桁架的力學模型。掛籃主桁結構由兩個共邊的三角形組成。見圖1。

圖1 掛籃主桁任意結構模型

當前端上弦桿與水平面平行即α=90°時，即為標準菱形掛籃；當上弦桿前端節點D下降并與水平面成一定夾角即∠0°＜(90°-α)＜∠CDB時，即為非標準菱形掛籃，也稱楔形掛籃；當上弦桿前端節點下降至與下弦桿位于同一水平面即α=90°-∠CDB時，形式上等同于三角形掛籃[7]。

掛籃主桁通過前上橫梁承受底籃系統、內外導梁等作用的荷載F，見圖2。

圖2 掛籃主桁任意結構力學計算模型

不考慮材料及構件非線性的影響，根據整體隔離體平衡方程

根據式（2）和式（3）可得，掛籃主桁前、后支點的反力分別為

根據結點法[8]，取節點D為隔離體，列平衡方程，計算前斜桿BD的內力（壓力）FN1和上弦桿CD的內力（拉力）FN2。同理分別取節點A、C為隔離體，列相應的平衡方程，分別計算出下弦桿AB的內力（壓力）FN4、后斜桿AC的內力（拉力）FN5和豎桿BC的內力（壓力）FN3。

對節點D，列平衡方程式

式（6）中α'即為∠CBD，根據正弦和余弦定理，則有cosα'=cos∠CBD

聯解式（6）～（8），得

同理，對節點A、C列平衡方程式

常規的掛籃主桁結構，下弦桿與水平面平行，即β=90°，式（11）～（13）可簡化為

為簡化計算，掛籃主桁各桿件均按等截面直桿考慮，FN2和FN5均為拉桿。由式（10）和式（16）得出，當α=90°即菱形掛籃時，FN5＞FN2，后斜桿為最不利的拉桿。根據拉桿的強度校核條件，最大拉應力σ拉max應小于材料的許用拉應力[σ]，即

式中：A為主桁桿件的截面面積。

FN1、FN4和FN3均為壓桿，由式（9）和式（15）得出，FN1≥FN4，當且僅當，此時前斜桿與下弦桿為等強度桿件，是一種受力較優的結構。

式中：φ為主桁桿件的壓桿穩定因素，與桿件的柔度有關。

2 掛籃主桁內力多因素分析

利用Maple軟件深入分析各因素取值對主桁內力變化規律的影響。

2.1 菱形掛籃

對于菱形掛籃主桁，有α=90°，β=90°；為計算簡便，取F=1；菱形掛籃主桁FN5＞FN2、FN1＞FN4，以最不利的前斜桿FN1、豎桿FN3、后斜桿FN5作為分析對象。令討論菱形掛籃主桁各桿件長度之比對內力值的影響。

2.1.1 前斜桿內力

菱形掛籃主桁前斜桿內力（壓力）隨m值增加呈非線性關系減小且自m＞1后曲線趨于平緩、非線性影響不顯著。見圖3。

圖3 菱形掛籃主桁前斜桿內力變化規律

故當0.8≤m≤1.5，菱形掛籃主桁前斜桿內力相對較小，為合理且較優的設計構造。

2.1.2 豎桿內力

菱形掛籃主桁豎桿內力（壓力）隨n值增加呈非線性關系減小且自n＞1之后曲線趨于平緩、非線性影響較不明顯。見圖4。

圖4 菱形掛籃主桁豎桿內力變化規律

故當0.8≤n≤1.2，菱形掛籃主桁豎桿內力相對較小，為合理且較優的設計構造。

2.1.3 后斜桿內力

菱形掛籃主桁后斜桿內力可表示為

菱形掛籃主桁后斜桿內力隨m、n值增加均呈現非線性關系減小，自m＞1、n＞1后曲面趨于平緩、非線性影響較不顯著且m、n值對主桁后斜桿內力的非線性變化關系影響一致。當（C為常數）時，主桁后斜桿的內力為定值。見圖5。

圖5 菱形掛籃主桁后斜桿內力變化規律

2.1.4 綜合受力分析

為確定菱形掛籃主桁綜合受力的最佳指標，構建與m、n值相關的菱形掛籃主桁內力評價函數。

式中：ψ1、ψ2、ψ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內力占綜合受力指標的權值，與桿件的受力特性、特殊要求有關，為計算方便，可取ψ1+ψ2+ψ3=1。

代入式（9）、式（14）和式（16），可得

移項歸列，得

根據式（21），菱形掛籃主桁內力評價函數f(m，n)隨m、n值增加均呈非線性關系減小，f(m，n)的梯度和散度隨m、n值增加均呈非線性關系減小且梯度和散度變化速率分別與權值ψ1+ψ3、ψ2+ψ3成正相關。

根據式（22），若f(m，n)=C（C為常數）呈以為長半軸和短半軸的橢圓曲線；當ψ1=ψ2時，為圓曲線。

菱形掛籃主桁實踐設計應用時，先擬定內力評價函數的目標值（C0），合理選取ψ1、ψ2、ψ3，在滿足式（23）的條件下，根據工程實際需要，選取合理且最優的m、n值。

2.2 楔形掛籃

2.2.1α角度

對于楔形掛籃主桁，有∠（90°-∠CDB）＜α＜90°。當L2=L3sinα，有FN5=FN2和FN1=FN4，是受力較優的結構。分別代入式（9）～（10）和式（15）～（17）中可得

由式（24）可知，FN3恒為2F，FN1和FN4內力相等且與α角度呈非線性正相關，FN5和FN2內力相等且與α角度呈非線性正相關。

事實上，當L1=L3cosα時，形狀上類似三角掛籃。但由于三角掛籃主桁桿AB和BD為壓彎桿件的主縱梁，在B點處為剛接，與本文按桁架計算的邊界條件不一致，故上述公式不適用于三角掛籃主桁內力的計算，應另作討論。

由于實際工程設計時，L1可以進行調整，L2與掛籃主桁安裝所需長度相關（一般不大于0#塊箱梁長度的一半）；因此在L2=L3sinα的條件下，仍以最不利的FN1、FN3、FN5作為分析對象，討論楔形掛籃主桁α角度值、m值對內力值的影響。

2.2.2 前斜桿內力

楔形掛籃主桁前斜桿內力隨m值增加呈非線性關系增加，隨α值增加近似呈非線性關系增加且非線性變化關系受m值影響較α值更為顯著。見圖6。

圖6 楔形掛籃主桁前斜桿內力變化規律

2.2.3 豎桿內力

楔形掛籃主桁豎桿內力隨m、α值增加呈現非線性關系減小；在α值較小時，受m值影響較為顯著，隨著α值增大，受m值影響的顯著性降低。見圖7。

圖7 楔形掛籃主桁豎桿內力變化規律

在0.6≤m≤1.5時，主桁豎桿內力較小，為合理且較優的設計構造。

2.2.4 楔形掛籃主桁后斜桿內力

楔形掛籃主桁后斜桿內力隨m值增加呈現非線性關系減小，隨α值增加呈非線性關系增加且非線性變化關系受m值影響較α值更為顯著；在m值較小時，受α值影響較為顯著，隨著m值增大，受α值影響的顯著性降低。見圖8。

圖8 楔形掛籃主桁后斜桿內力變化規律

2.2.5 綜合受力分析

為確定楔形掛籃主桁綜合受力的最佳指標，定義與m、α值相關的楔形掛籃主桁內力評價函數。

式中：ξ1、ξ2、ξ3分別為FN1、FN3、FN5桿件內力占綜合受力指標的權值，與桿件的受力特性、特殊要求有關，為計算方便，可取ξ1+ξ2+ξ3=1。

若f(m，α)=常數，可視為以為變量的二元二次方程

二次項系數A、B、C不為零且x、y均是不為零的正實數，則式（26）存在無窮個正實數解析解。

楔形掛籃主桁設計應用時，先擬定內力評價函數的目標值，合理選取ξ1、ξ2、ξ3，根據工程實際需要，選取合理且最優的m、α值。

需要指出的是，根據上述思路，還可將楔形掛籃主桁內力評價函數定義為三元二次方程分析m、n、α值對楔形掛籃主桁的前斜桿、豎桿、后斜桿及綜合受力評價函數的影響。

3 結論

1）菱形和楔形掛籃主桁為平面靜定桁架結構，各桿件均為拉壓桿，通過結點法和隔離體平衡方程可推導出任意結構主桁各桿件的內力公式。

2）掛籃任意結構主桁中，后斜桿的內力不小于上弦桿的內力，前斜桿的內力不小于下弦桿的內力，受力最不利的主桁桿件為后斜桿（拉桿）、前斜桿（壓桿）和豎桿（壓桿）。

3）菱形掛籃主桁內力值與豎桿和上弦桿的長度比、下弦桿和上弦桿的長度比呈非線性變化關系；主桁內力值的非線性變化關系較不明顯時，相對應的豎桿和上弦桿的長度比、下弦桿和上弦桿的長度比區間范圍較優且為合理的設計構造。

4）楔形掛籃主桁內力值與豎桿和上弦桿的長度比、豎桿和上弦桿的夾角值呈非線性變化關系；主桁內力值的非線性變化關系較不明顯時，相對應的豎桿和上弦桿的長度比、豎桿和上弦桿的夾角值區間范圍較優且為合理的設計構造。

5）構建菱形或楔形掛籃主桁內力評價函數，擬定內力評價函數的目標值并求解評價函數的最優解，根據工程實際需要，可選取合理且最優的設計構造，實現受力、構造雙優化。