大離軸量非球面反射鏡的加工方法

陳寶華，吳泉英*，唐運海，范君柳，王 軍，孫 毅

（1. 蘇州科技大學物理科學與技術學院，江蘇蘇州215009；2. 蘇州蘇大明世光學股份有限公司，江蘇蘇州215028）

1 引 言

離軸非球面反射鏡是先進光學系統朝著小型化和高性能方向發展必不可少的組成部分之一。其應用有效避免光學系統中心遮攔并改善相應的衍射問題提高成像質量，特別是大離軸量反射鏡能夠增加工作焦距和光路折轉角度，在空間光學成像和激光切割應用等領域中起著關鍵性作用［1-2］。

目前，國內外對于口徑不大且偏離光軸中心的中小型離軸量非球面反射鏡，通常借助由直線進給軸—X軸和Z軸，加上一個旋轉主軸C軸組成的單點金剛石車床（SPDT）常規回轉車削實現［3］，例如國外索雷博光學元件公司，國內的長春光學精密機械與物理研究所、天津大學和蘇州大學等。為了達到更高的面型精度，一種子母同體的離軸非球面反射鏡加工方式被提出［3］，將待加工的小子鏡嵌入大的母鏡中一同車削。對于大離軸量反射鏡，受限于車床加工口徑限制，一般需要通過定制夾具將反射鏡中心與旋轉主軸中心重合，配合三軸SPDT 下的慢刀伺服技術完成。而加工那種兩端矢高差與其直徑比值接近1，光路折轉角度為90°的大離軸量反射鏡，易造成Z軸在一個周期內的振動幅度較大，產生大的跟蹤誤差，且刀具后角易與光學面觸碰，破壞面型，降低反射鏡的加工精度。為此，有人提出通過角度變換的方式旋轉待加工反射鏡［4］，使得邊緣矢高差與其直徑的比值降至最低，隨之利用夾具與旋轉主軸中心重合后車削加工，這樣雖能解決上述問題，但難以避免角度定位誤差，增加了后期的裝調難度。

為了改進大離軸量非球面反射鏡的加工方式，本文提出一種高效率、低誤差，適用于任意離軸量且不受車床加工口徑限制的反射鏡車削及刀具路徑規劃方法。此方法以坐標平移變換代替角度旋轉，減小后期的裝調誤差；平移變換后的反射鏡以主軸中心為原點，多個與之相同的反射鏡均勻分布在圓周上，一次加工即可車削多個，效率高；同時提出一種基于樣條與正弦混合插值的刀具路徑規劃方法，解決斷續光學面刀具路徑不平滑、切削速度不連續問題，相對于現有技術，加工質量和效率均得到提高。

2 模型建立

如圖1，在笛卡爾x-y-z坐標系中，二次離軸非球面反射鏡a1的方程可由式（1）定義；

圖1 離軸非球面反射鏡模型Fig.1 Off-axis aspheric machining model

其中：c=1/R，R是非球面鏡的頂點曲率半徑，k是圓錐系數，Δz是非球面沿光軸Z的移動距離，由離軸反射鏡a1的設計厚度決定，D是反射鏡a1的直徑，l+L是離軸量，O是坐標原點，O1是非球面頂點，r是a1邊緣與原點O之間的距離。

設車床極限加工口徑為d，當2r＞d時，以旋轉對稱車削方式無法完成反射鏡a1的加工，此時將a1沿著x軸平移L距離得到離軸反射鏡a，此方程可表述為［5］：

其中：l是反射鏡a中心與原點O之間的距離，且l＜d/2。

為了合理地規劃刀具路徑，并兼顧效率及主軸的動平衡，以原點O為中心，l為旋轉半徑，將反射鏡a在加工區域對稱分布，如圖2 所示的是離軸反射鏡在x-y平面上的投影，設反射鏡陣列個數為N，l需滿足式（3），以確保子鏡之間不重疊：

從圖2 可以看出，在相鄰的切削區之間存在一定的過渡區域，切削區的面型特征可由公式（2）轉換得到。

過渡區刀具路徑需要采用人工方式補償，切削區與未補償的過渡區矢高不一致，在慢刀伺服工作模式下，運行曲率有突變的邊緣交界處Z 軸存在劇烈跳變，造成C軸瞬間停頓，此處面形粗糙度較大，影響精度。為了保證整個加工區域刀具軌跡圓滑連續，Z軸和C軸相對切削速度連續和加速度無突變，首先在慢刀伺服工作模式下根據已知切削區面型矢高特征Za，結合樣條和正弦混合插值建立第n圈刀具路徑刀具軌跡方程［6］，設：

圖2 離軸反射鏡投影Fig.2 Off-axis aspheric mirror projection

若同一路徑圈內ρ1和ρ2相等，則ρnT=ρ1；而按照阿基米德螺線漸變時，

ρnT由如式（5）所示定義：

在一個切削-過渡-切削區域內，待求系數Ani和B的求解需滿足如下邊界條件：

其中(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)是切削區-過渡區邊緣切削點（刀具軌跡）在x-y面上的投影極坐標。

通過公式（6）約束切削區-過渡區邊緣切削點，使兩者矢高相等，保證整個加工區域平滑。在實際加工過程中，車床Z軸與C軸聯動方式具有以下特點，設車床C軸旋轉角速度為ω，車床Z軸的進給速度νz可表示為：

其中：τ為時間，由于在公式（7）中約束過渡區和切削區邊緣處導數相等，因此當角速度ω恒定時，車床Z 軸的進給速度νz在過渡區和切削區都是一條連續的曲線，這樣可以使切削相對速度連貫。

同樣地，設車床Z軸的進給加速度αz為：

公式（8）中約束過渡區和切削區邊緣處二階導數（即進給加速度αz）相等，因此其加速度αz在整個路徑圈內也是一條連續的曲線，保證慢刀伺服工作模式下主軸C的轉速平穩，提高效率和切削精度。

SPDT 加工刀具為單晶圓弧車刀，因此在加工之前需要對每個路徑圈上的各個切削點作刀具曲率半徑補償。圖3 是補償方式示意圖，刀具安置在車床Z軸，刀尖圓弧位于x-z平面。對于切削區，其上的任意切削點P（x，y，z），對應的刀具中心刀位點P1（x1，y1，z1）可由如式（11）計算得出：

圖3 刀具半徑補償Fig.3 Tool radius compensation

3 實驗及分析

為了分析整個加工區域的刀具路徑、切削時的Z 向速度和加速度，設定離軸非球面反射鏡的各項參數如表1 所示。反射鏡陣列個數為4，截取極徑ρn=50 mm 路徑圈上的Z向路徑，在未對過渡區處理的情況下，切削區的路徑分布如圖4所示。圖4（b）中的橫坐標為C軸轉動的角度（°）。縱坐標為矢高Z（mm）。切削區面上的路徑分布類似半個周期的正弦曲線，由于過渡區未作補償處理，在C軸轉動角度30°～70°之間時路徑缺失，無法完成加工。在補償時可以選擇多種插值方式，例如直線插補，拋物線插補等。以直線插補為例，采用直線插補的過渡區矢高基本保持不變，而切削區矢高類似正弦波動，這種插值方式的過渡-切削端面處存在明顯的突變，導致交界處Z軸劇烈跳動，造成此處面形粗糙度較大，不利于切削穩定和精度保證。結合上述公式（4）～公式（8），采用樣條和正弦混合插值的形式，補全過渡區，如圖5。補全后的過渡區和切削區完整結合在一起，交界處平滑連續，在一個過渡-切削周期內，Z軸的振動幅度大約9 mm，此時的極徑ρn接近反射鏡中心位置，因此整個加工過程中Z軸的振動幅度不超過10 mm，極大減少車床運行過程中的跟蹤誤差，圖5（b）是三維圖。

表1 離軸非球面反射鏡各項參數Tab.1 Parameters of off-axis aspheric surface

如圖6（a），橫坐標同樣是C軸轉動的角度，縱坐標是Z向切削速度。在離軸反射鏡中心位置，即當C軸轉動接近0°，90°等角度時，其矢高Z變化最緩，切削速度接近0；而在30°和70°左右位置的反射鏡邊緣處，矢高變化較為劇烈，切削速度最大。在一個路徑周期內，根據公式（7）條件約束，外加本文提出的過渡區路徑為連續的初等函數，因此車床Z軸的Z向切削速度Vz在整個加工區域連續無突變。車床Z軸切削加速度與C軸轉動角度的關系曲線如圖6（b）所示，圖中橫坐標單位為度，縱坐標單位為加速度a。其中30°～70°附近的轉角區間曲線是過渡區的Z向切削加速度，70°～110°附近的轉角區間曲線是切削區的Z向切削加速度，其最大值約為0.02 mm/（°）。在一個周期的切削-過渡路徑期間，車床Z軸切削加速度呈現為一個兩端點連續且對稱分布的平滑曲線，有利于車床平穩運行。圖7 是整個加工區域未作刀具曲率補償前的刀具路徑和反射鏡模型的三維圖，圖8 是補償后刀具路徑。

圖4 第ρn圈刀具路徑Fig.4 Tool path under current polar ρn

圖5 補全后的第ρn圈刀具路徑Fig.5 Complemented tool path under current polar ρn

圖6 Z 向切削速度和加速度Fig.6 Z-direction cutting speed and acceleration

圖7 刀具曲率半徑補償前的刀具路徑Fig.7 Complete tool path before compensation

圖8 刀具曲率半徑補償后的刀具路徑Fig.8 Complete tool path after compensation

為了研究該方法在實際慢刀伺服車削中的可行性及精度情況，以離軸反射銅鏡為例［7］，設定表1 中的陣列個數N=3，其余參數不變。加工車床為美國Moore250UPL，極限加工口徑300 mm。加工時的切削參數如表2，刀具曲率半徑r=0.8 mm，相鄰路徑間隔Δl=10 μm，采用等角度離散加工，角度采樣間隔Δθ=0.5°，切削深度Δs=2.5 μm，車床加工速度RPM=46 r/min 左右，整個加工過程中刀具運動的最大矢高Sagmax=7.8 mm。

圖10 是采用ZYGO 干涉儀配合無像差點法檢測加工完成的離軸反射面面型［8-9］，測量時去除Pistion，Tilt 和Power 得到的PV 值是0.41 波長@632.8 nm，這是刀具路徑多次修正補償后的結果［10］，其中去Power 的實質是擬合反射鏡的曲率半徑，達到輕微的離焦效果，而光學設計中的公差分析允許曲率有一定程度上的上下浮動，去Power 的曲率擬合誤差小于此浮動值。

表2 切削參數Tab.2 Cutting parameters

圖9 實物加工Fig.9 Machining structure

圖10 干涉圖Fig.10 Interferometer detection

在實際刀具路徑規劃中，可以先對切削區完成刀具曲率半徑補償，再結合方程（4），補全過渡區，這樣一來可以消除刀具曲率半徑補償帶來的Z向切削速度不連續。由于過渡區不存在，刀具在切削-過渡區運動時受力不均會產生輕微的震刀現象，外加慢刀伺服本身C軸轉速慢，切削線速度遠小于常規回轉車削，因此波面圖存在明顯的刀紋，難以避免粗糙度在一定程度上的降低。震刀現象幾乎存在于所有的非圓對稱光學面加工，一般與反射鏡材料、邊緣厚薄、切削速度和刀具鋒利程度等相關，本文中的震刀現象應該是刀具使用時間過長，不夠鋒利導致。為了減少實驗時間，本文選取的路徑間隔是10 μm，其粗糙度是間隔5 μm 的4 倍，適用于紅外成像或照明光學系統。若想提高表面粗糙度，可以通過減小路徑間隔，后期作表面拋光則為更好的選擇。

4 結 論

本文以實際大離軸量非球面反射鏡樣品的加工為例，選取合適的反射鏡平移距離減小刀具離軸，無需角度變換，降低裝調誤差，優化加工工藝；分析建立的樣條和正弦混合形成的過渡區刀具路徑，從理論和實驗上證明過渡區路徑和切削區路徑能夠平滑銜接，在整個加工區域，刀具的Z向切削速度和加速度連續無突變，滿足Z軸和C軸平穩運行。最后通過光學無像差點法的干涉檢測，加工精度達PV0.41 波長@632.8 nm 且一次加工可完成多個反射鏡，效率高。此外，此方法還可以補全其它斷裂面車削問題，例如一體鏡（要求主反射鏡和次反射鏡位于同一母鏡，一次加工成型）。當然也存在一定的不足之處，例如反射鏡平移的距離不宜過大，即加工區域過小，容易造成刀具后角干涉，觸碰光學面；但平移距離小，加工區域又會變大，同樣會造成較大的加工誤差，因此合適地選擇平移距離對加工精度的提高有重要作用。另外，在刀具曲率半徑補償時，由于整個加工區域是陣列的，其面型在一個周期內變換多次，造成曲率半徑補償后的X軸周期性進給，而X軸是承重軸，這會帶來不小的跟蹤誤差，雖可以通過補償Z軸，達到X軸線性移動的目的，但也會導致程序繁瑣，難以保證實際精度，對最終的加工精度有一定的影響。