負縮鏡片設(shè)計方法對比

項華中，張 露，高健東，李念寧，鄭 剛，2

（1. 上海理工大學(xué)醫(yī)療器械與食品學(xué)院教育部醫(yī)用光學(xué)技術(shù)與儀器重點實驗室，上海200093；2. 上海理工大學(xué)上海市介入醫(yī)療器械工程研究中心，上海200093）

1 引 言

屈光不正是眼睛的軸向長度和光度不匹配的結(jié)果，會造成視力模糊。世界衛(wèi)生組織將屈光不正列為全球視力受損的主要原因之一，約占比為44%［1］。未矯正的屈光不正是導(dǎo)致中、重度視力損害的主要原因。全世界有1.012 億人患有失明，其中視力低于0.05 的有680 萬人［2］。過去60年，中國年輕人的近視患病率從10%～20%發(fā)展到90%，約19.5%為高度近視［3］。高度近視的特點是眼軸長度的延長，而眼球后側(cè)后眼壁的伸長會引起各種并發(fā)癥，包括白內(nèi)障、視網(wǎng)膜脈絡(luò)膜的萎縮、黃斑裂孔伴或不伴視網(wǎng)膜脫離、近視中央凹或視神經(jīng)頭改變等。這些并發(fā)癥對視力構(gòu)成威脅，并會導(dǎo)致不可逆的視網(wǎng)膜光感受器損傷，從而喪失中樞視力［4-5］。

配戴光學(xué)框架眼鏡是近視矯正最常見的方法之一。傳統(tǒng)的球面鏡片邊緣厚度會隨著近視度數(shù)的增加而變得越來越厚，鏡片的質(zhì)量也隨之增加。高度近視患者長時間佩戴會增加鼻梁的壓迫感，同時影響美觀。負縮鏡片可以有效地減少鏡片邊緣厚度，減輕鏡片的質(zhì)量，實現(xiàn)鏡片的精密加工，提升高度近視患者佩戴的舒適度。傳統(tǒng)光學(xué)制造強國在負縮透鏡設(shè)計領(lǐng)域有著深入的研究。Jalie 等［6］在設(shè)計非球面鏡片時采用多項式設(shè)計鏡片表面面形，此方法至今仍被廣泛使用。Juan 等［7］在透鏡邊緣設(shè)計混合區(qū)域，在連接處混合區(qū)域保證可導(dǎo)并連續(xù)，且兩個表面的導(dǎo)數(shù)在混合點處匹配。同時，他還提出了適當(dāng)縮小直徑可以減薄鏡片邊緣厚度。我國在負縮鏡片設(shè)計和加工領(lǐng)域也進行了相關(guān)研究。唐瓦等［8］提出采用多項式構(gòu)建鏡片面形，陳利等［9］通過控制幾何移心量和選擇不同的折射率來減薄負縮鏡片的厚度，但設(shè)計方法距國外技術(shù)水平還有一定的差距。

本文對比了雙三次樣條插值法、高階多項式和幾何構(gòu)造法3 種負縮鏡片設(shè)計方法。其中，雙三次樣條插值法針對設(shè)計的目標(biāo)厚度與原來矢高之間的函數(shù)變化進行插值，以提高函數(shù)的光滑性［10］，實現(xiàn)鏡片表面平滑連接；高階多項式［11］在鏡片不同位置設(shè)定不同的減薄量，通過解減薄量和高階多項式的關(guān)系，根據(jù)該關(guān)系表達式重新構(gòu)建鏡片后表面面形；幾何構(gòu)造法在鏡片邊緣構(gòu)建相切圓，因為相切圓的導(dǎo)數(shù)值在切點處相同［12］，可以通過兩個相切圓的連接保證鏡片在連接處導(dǎo)數(shù)相等且連續(xù)。在得到3 組負縮鏡片面形的基礎(chǔ)上，對比了3 組負縮鏡片的仿真光焦度和矢高分布，分析了不同設(shè)計方法下鏡片光學(xué)性能的差異。最后加工了3 組鏡片，并將仿真和測量結(jié)果進行對比，結(jié)果表明幾何構(gòu)造法得到的鏡片性能最佳。

2 負縮鏡片設(shè)計方法

人眼的舒適視域為60°，故鏡片的常用區(qū)域為20 mm 半徑范圍內(nèi)［13］。負縮鏡片參數(shù)如表1所示，負縮鏡片中心定焦區(qū)為40 mm，40 mm 以外為邊緣減薄區(qū)，如圖1 所示。

表1 負縮鏡片的光學(xué)參數(shù)Tab.1 Optical parameters of negative lenticular lens

圖1 負縮鏡片示意圖Fig.1 Illustration of negative lenticular lens

2.1 高階多項式設(shè)計法

采用高階多項式設(shè)計鏡片時，計算公式為［14-15］：

式中：R為非球面頂點處的曲率（半徑的倒數(shù)），k為二次曲面的圓錐系數(shù)，y為非球面上任一點到光軸的距離，B，C，D，E等為高階項系數(shù)，通過改變高階項系數(shù)來減薄邊緣的厚度。

在鏡片邊緣定義4 個不同的位置y1，y2，y3，y4及厚度減薄量z1，z2，z3，z4，得到：

中心定焦區(qū)以內(nèi)y1（y1=20 mm）為球鏡，因此z1=0。y1～y4為減薄區(qū)。在已知4 個厚度減薄量的情況下，根據(jù)方程組（2）可以求得B，C，D，E，得到負縮鏡片后表面的面形。

2.2 雙三次樣條插值法

圖2 為雙三次樣條插值法矢高設(shè)計示意圖。

圖2 雙三次樣條插值法矢高設(shè)計示意圖Fig.2 Illustration of sagitta design with bicubic spline interpolation method

根據(jù)球面矢高計算公式［8］可得前表面矢高為：

后表面原矢高為：

其中：r1為前表面的半徑，y為鏡片半徑，R為內(nèi)表面的曲率半徑，k為二次曲面的圓錐系數(shù)。

由圖2 可知：

其中：d為中心厚度，te為邊緣厚度。設(shè)減薄的厚度比上邊緣的厚度為減薄的倍數(shù)N，重新構(gòu)建后的邊緣矢高為：

如圖2 所示，定義A點為鏡片邊緣新矢高（即為z），B點橫坐標(biāo)為中心定焦區(qū)的半徑20 mm，在A點和B點之間使用雙三次樣條插值法構(gòu)建樣條曲線，得出圓弧AB，可以得到邊緣減薄區(qū)矢高，從而得到整個鏡片的面形。

2.3 幾何構(gòu)造法

圖3 幾何構(gòu)造法矢高設(shè)計示意圖Fig.3 Illustration of sagitta design with geometric construction method

利用分段函數(shù)分段構(gòu)建圖3 中曲線，分段函數(shù)如公式（7）所示，通過旋轉(zhuǎn)此曲線得到一個曲面。通過改變半徑r2，r3和相切位置x1，x2，可以改變負縮鏡片的減薄量。

3 結(jié)果與分析

3.1 仿真分析

圖4 三種方法光焦度仿真結(jié)果Fig.4 Photometric simulation results for three methods

采用Optotech GmbH OMM-60 仿真軟件（明月鏡片股份有限公司）對3 組-10 m-1負縮鏡片進行仿真，其中心到邊緣的光焦度分布結(jié)果如圖4 所示。由仿真結(jié)果可知，高階多項式法和雙三次樣條插值法設(shè)計的負縮鏡片在邊緣20 mm附近且位于中心定焦區(qū)內(nèi)，屈光焦度有明顯的梯度變化。幾何構(gòu)造法設(shè)計的負縮鏡片在20 mm定焦區(qū)以內(nèi)，光焦度無明顯的梯度變化，但光焦度變化不平坦。其中，幾何構(gòu)造法和雙三次樣條插值的中心定焦區(qū)半徑約為18 mm，高階多項式法的中心定焦區(qū)半徑約為16 mm。因此，幾何構(gòu)造法的鏡片中心定焦區(qū)面積與雙三次樣條插值法相同，比高階多項式大20.99%。同時，還對鏡片矢高進行了對比。

圖5 三種方法的矢高對比Fig.5 Comparison of sagitta of three methods

由圖5 可知，在孔徑40 mm 以內(nèi)3 種設(shè)計方法的矢高幾乎一致。在半徑20～30 mm 處，3 種設(shè)計方法的邊緣矢高均發(fā)生了變化，有不同程度的減薄。

由圖6（a）和6（b）可知，幾何構(gòu)造法一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的變化量均小于另外兩種方法，高階多項式法一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的變化量均大于另外兩種方法。由圖4（a）可知，高階多項式法導(dǎo)數(shù)變化較大時，光焦度梯度變化也較大。由圖4（b）可知，雙三次樣條插值法的導(dǎo)數(shù)變化程度優(yōu)于高階多項式法，其光焦度梯度變化也較小。由圖4（c）可知，幾何構(gòu)造法的導(dǎo)數(shù)變化程度最小，其光焦度不存在明顯的梯度變化。但由于導(dǎo)數(shù)在20 mm 和30 mm 處均發(fā)生跳變，光焦度圖在20 mm 處的變化明顯不平坦。其原因在于幾何構(gòu)造法采取分段函數(shù)構(gòu)建矢高分布，跳變發(fā)生點為分斷點，這種現(xiàn)象可能會導(dǎo)致加工困難。

3.2 測量結(jié)果分析

本文采用自由曲面加工機床對3 組鏡片進行加工，每組加工1 片，鏡片成品如圖7 所示，1 號為雙三次樣條插值法設(shè)計的鏡片，2 號為高階多項式設(shè)計的鏡片，3 號為幾何構(gòu)造法設(shè)計的鏡片。

采用VM2000 自由曲面檢測儀（明月鏡片股份有限公司）檢測鏡片面形。此自由曲面測量儀由法國Briot-Visionix 公司生產(chǎn)，基于Shack-Hartmann 偏折法原理，測量精度為0.02 m-1。通過輸入鏡片前后表面的曲率半徑、中心厚度和折射率等參數(shù)進行測量，得到光焦度分布。本文主要測量了3 組鏡片，檢測直徑為30 mm，檢測結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可知，高階多項式法的中心定焦區(qū)小于另外兩種方法，且鏡片邊緣區(qū)域存在明顯的光焦度變化，最大變化量為-4.0 m-1；雙三次樣條插值法和幾何構(gòu)造法在孔徑30 mm 以內(nèi)的光焦度分布較為均勻，變化量為-0.5 m-1。幾何構(gòu)造法由于邊緣變化陡度較大，檢測儀器有部分未測出，但整體光度良好。

圖6 三種方法的一階和二階導(dǎo)數(shù)對比Fig.6 Comparison of first and second derivatives of three methods

圖7 鏡片成品對比Fig.7 Comparison of lenticular lenses

圖8 基于不同方法設(shè)計的鏡片球鏡測量結(jié)果對比Fig.8 Comparison of measurement results of lens sphere designed using different methods

表2 基于不同方法制備的鏡片的測量結(jié)果Tab.2 Measurement results of lens sphere using different methods

由表2 可知，雙三次樣條插值法的中心光焦度為-9.94 m-1，與仿真差值為0.06 m-1，幾何構(gòu)造法差值為0.11 m-1，高階多項式差值為0.15 m-1；幾何構(gòu)造法鏡片的最大厚度和邊緣厚度均小于另外兩種方法。其中，幾何構(gòu)造法的最大厚度較高階多項式法薄0.7%，比雙三次樣條插值法薄13.26%；其邊緣厚度較高階多項式法薄80.3%，比雙三次樣條插值法薄92.42%。在控制最大邊厚接近的情況下，幾何構(gòu)造法的邊緣厚度遠遠小于另外兩種方法，因此在減薄鏡片邊緣方面，幾何構(gòu)造法優(yōu)于另外兩種方法。

4 結(jié) 論

本文針對高度近視患者佩戴傳統(tǒng)球面框架鏡片邊緣較厚，佩戴不舒適和不美觀等問題，分析比較了雙三次樣條插值法、高階多項式和幾何構(gòu)造法3 種優(yōu)化負縮鏡片的設(shè)計方法。在相同的光學(xué)參數(shù)下，設(shè)計了3 組-10 m-1的負縮鏡片，比較了仿真光焦度和矢高分布圖，完成了負縮鏡片加工，并比較3 種設(shè)計鏡片的中心定焦區(qū)、最大厚度和邊緣厚度。結(jié)果表明，3 種方法均有一定程度的減薄。其中，幾何構(gòu)造法的鏡片中心定焦區(qū)面積與雙三次樣條插值法相同，比高階多項式大20.99%。雙三次樣條插值法的中心光焦度為-9.94 m-1，與仿真差值為0.06 m-1，幾何構(gòu)造法差值為0.11 m-1，高階多項式差值為0.15 m-1；幾何構(gòu)造法的最大厚度和邊緣厚度均小于另外兩種方法，幾何構(gòu)造法的最大厚度較高階多項式法薄0.7%，比雙三次樣條插值法薄13.26%；邊緣厚度較高階多項式法薄80.3%，比雙三次樣條插值法薄92.42%。因此，幾何構(gòu)造法滿足加工容易，質(zhì)量減輕和佩戴美觀的設(shè)計需求。同時，幾何構(gòu)造法還可以擴展到其他類型光學(xué)元件的加工，具有一定的應(yīng)用前景。