兩種空氣凈化設備效能的數學建模

李雨 張文彬

摘?要：空氣凈化器和新風機是常用的兩種空氣凈化設備，二者都是利用物理的方法吸附或者除去空氣中的顆粒物，但具體原理有所不同：空氣凈化器是封閉循環方式凈化室內空氣，而新風機是開放循環方式，不斷吸收新鮮空氣并且排出室內舊空氣。除了換氣效果之外，新風機在凈化能力上是否比空氣凈化器更勝一籌呢？本文利用微分方程建立了二者的數學模型，以數學的方法給出了這個問題的一個嚴謹答案。

關鍵詞：空氣凈化器;新風機;微分方程;數學模型

1?原理分析

如下圖1所示，空氣凈化器采用閉循環工作模式，經過凈化后的空氣在室內循環，被空氣凈化器吸入后再次進行凈化，室內是一個封閉的整體。新風機的原理是，它不斷地從室外吸入空氣，經凈化后吸入室內，同時，在壓力作用下，等體積的室內空氣被排出到室外。室內與室外始終是交互的。

2?空氣凈化器建模

假設空間密封良好，與外界沒有連通。假設房間的體積為v0，時刻t0=0時，空氣中含有顆粒物質量為m，空氣中顆粒物濃度為ρ=ρ（t），并且有ρ（0）=m/v0。假設現有一臺空氣凈化器，其單位時間內可以過濾的空氣體積為v，過濾效率為λ，為了用微積分的方法建立微分方程，考慮在一個微小的時間Δt內，房間內的顆粒物質量變化是：

3?新風機建模

假設房間不密封。新風機單位時間內從室外吸收體積為v，并且將同體積的空氣排出室外。假設吸入空氣濃度恒定等于初始濃度mv0，而排出空氣濃度等于房間內當前濃度ρ（t）。考察時刻t時一小段時間Δt內房間內空氣中所含顆粒物質量變化值：應該等于吸入空氣過濾后所含顆粒物減去排出室外的空氣中所含顆粒物，其等式如下：

4?對兩種理想情況的分析

4.1?效果

假設v0=1，此設房間內顆粒物初始濃度為m。令t→+可得，ρ1=0，ρ2=（1-λ）mv0，這說明，新風機不能將空氣內顆粒物濃度降低到0，其最大極限是1-λ，如果凈化效率是90%，那么終值便是10%。而空氣凈化器，則可以將顆粒物濃度降低到0（假設濾芯可以吸附任意尺寸顆粒物）。因此，在效果比拼上是空氣凈化器勝出。

4.2?速度

同上，令v0=1，令φ（t）=ρ1-ρ2=me-λvt-（1-λ）m-λme-vt，則：

由于λ<1，因此φ′（t）<0，所以φ（t）單調遞減，因此當t>0時，φ（t）<φ（0）=0，因此ρ1<ρ2是恒成立的。

4.3?數據仿真

假設單位時間內能后凈化的空氣占空間體積0.4%，空氣凈化器和新風機的凈化效率λ分別取0.9，仿真結果如下圖2所示。

仿真結果顯示，在凈化速度上，空氣凈化器也較新風機更快一些。

5?非理想狀況下的空氣凈化器建模

以上建模是基于房間完全密封的理想狀況，而在實際中房間通常不是完全密封的。房間不密封對于新風機沒有影響，因為新風機的原理就是會排出空氣，但是對空氣凈化器有影響。現在我們假設房間存在著和外界的空氣交換過程，并且假設單位時間內的交換量為kv，其中k<1。像在（二）中一樣，考察從t到t+Δt內一小短時間內室內顆粒物質量變化，重新建立方程如下：

當k=1-λ時，ρ3=ρ2，此時凈化器與新風機效果相同，當k>1-λ時，ρ3>ρ2，此時凈化器的效果不如新風機。一個典型的仿真結果如下圖3所示，取λ=0.9，k=0.15>1-λ。

6?總結

結合以上的數學分析和仿真結果，可以發現：空氣凈化器和新風機的效果優劣很大程度上取決于房間密封的情況。對于能夠良好密封的房間，空氣凈化器的效果明顯好于空氣凈化器;而對于非密封房間，則空氣凈化器效果可能反而不如新風機。但是完全密封的房間，可能導致人缺氧、二氧化碳中毒等問題，因此，作者認為新風機是更好的選擇，特別是在人員比較密集的學校、商場等公共場所，更是如此。

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