無鉸鏈柔順機構拓撲優化設計

喬赫廷 蔡高源

摘?要：本文基于SIMP拓撲優化方法，提出了一種新的拓撲優化模型，用于無鉸鏈柔順機構的拓撲優化設計。目的在于使機構在保證傳輸效率的同時具有更高的穩定性。根據目標函數相對于設計變量的變化，推導出其靈敏度。基于得到的靈敏度數值進行迭代計算，直到達到最優拓撲。最后，以反向位移機構為例，驗證了本文提出的模型對于無鉸鏈柔順機構設計的有效性。

關鍵詞：柔順機構;拓撲優化;靈敏度分析

1?介紹

柔順機構是通過其自身材料的彈性變形實現力或位移從輸入端到輸出端傳遞的整體式結構[1]。與傳統的剛性機構相比，柔順機構因其無須裝配與潤滑而具有運動無噪聲、摩擦磨損小、可靠性高、易小型化等優點。因此柔順機構被廣泛應用于生物醫療器械、超精密定位、航空航天等高新技術領域中，成為機械設計行業熱點之一[2]。

目前，柔順機構主流的構型設計方法為拓撲優化方法（Topological?optimization?approach）。Ananthasuresh[3]于1994年首先基于拓撲優化的思想設計柔順機構，為柔順機構的設計開辟了一條新的道路。隨后，許多學者針對柔順機構的拓撲優化設計進行了探索性的研究。Euihark?Lee等[4]針對柔順機構局部應變高的問題提出了一種基于應變約束的拓撲優化方法。Daniel?M.De?Leon等[5]采用vonMises應力P范數近似最大應力的方式，將應力約束引入到柔順機構拓撲優化模型中。Xiaojun?Wang等[6]在考慮各種不確定因素基礎上提出一種基于運動誤差的柔順機構魯棒性拓撲優化方法。隨著結構拓撲優化理論與方法的不斷完善，柔順機構拓撲優化的模型和與之相應的求解方法也日趨成熟。然而，基于傳統優化模型所獲得的最優拓撲形式通常存在虛鉸（兩個構件僅僅采用一個實體單元相連接的構型方式，如圖1所示），導致柔順機構具有偽剛體變形模式，即整體機構的變形集中于虛鉸附近。

因此，如何避免柔順機構中虛鉸的出現就成了柔順機構拓撲優化設計中的研究熱點。G.H.Yoon等[7]利用多尺度小波拓撲優化公式設計柔順機構以避免虛鉸的產生。Luo等[8]提出了一種新的混合濾波方案來解決數值不穩定性問題，既能有效地消除棋盤格和網格依賴性，又能在一定程度上防止虛鉸的產生。Luo等[9]通過控制結構中構件的尺寸，提出了無鉸鏈式柔順機構水平集方法。Zhang等[10]將制造性約束引入到優化模型中，來消除柔順機構中難以制造的虛鉸。

然而，在保證柔順機構輸出最大化的同時，其剛度無法進行有效的保障，具有較大的隨機性。因此，提出一種具有理想剛度的無鉸鏈柔順機構設計方法就顯得尤為重要。

本文以實現柔順機構拓撲優化設計為研究對象，避免最優拓撲形式出現虛鉸鏈為目標。提出了一種新的目標函數，旨在找出無鉸鏈柔順機構的柔度和剛度之間較為合適的平衡點，設計一種具有理想剛度的無鉸鏈柔順機構拓撲形式。

2?優化問題與優化模型設計

2.1?基于SIMP方法的傳統拓撲優化模型

基于SIMP方法的傳統拓撲優化模型以柔順機構輸出端的位移為目標函數，通過優化迭代計算使其最大化。具體的拓撲優化模型如下：

式中，目標函數C定義為輸出端節點位移;K為系統的剛度矩陣;U為載荷F作用下的節點位移矢量;F為輸入端加載的載荷;ve，xe，ue，ke分別代表單元e的體積，相對密度，節點位移及單元剛度矩陣;β為優化體積比;V0為設計域的初始體積;xmin為單元相對密度的最小極限值0，為防止求解時奇異，本文中取xmin=0.001。

采用基于SIMP方法的傳統拓撲優化模型來設計柔順機構時，其最優拓撲形式通常存在些許不足，以反向位移機構為例，最終優化結果如圖2所示：

通過最終優化結果可以發現，基于SIMP的傳統拓撲優化插值模型所得到的最優構型中存在明顯的虛鉸結構，導致了虛鉸附近的應力集中，機構中應變能過大且難以小型化等問題。這也對實際生產機構的制造、性能、效率及使用壽命提出了不小的考研與挑戰。究其根本原因在于構型中虛鉸的存在。因此，在機構拓撲優化設計中，避免機構中虛鉸的產生就顯得尤為重要。

2.2?基于SIMP方法的改進拓撲優化模型

如圖3a所示，Ω為給定載荷和邊界條件的基本設計域。假設Fin為輸入端i處的輸入力，Fout為具有剛度為ks的彈簧在輸出端j處模擬其他工件對柔順機構施加的反作用力。以此來建立優化模型。高效的柔順機構應該保證其輸出端位移與輸入端位移的比值最大化，即機構的幾何增益GA=dout/din最大化。柔順機構除了要具備一定的柔度來完成預期的工作外，還應保證自身具有一定的剛度來抵抗外力，保持自身的穩定性。如圖3b所示，當優化模型的輸出端j被固定時，機構自身就具備了一定的剛度來限制輸入端的位移。為了找到柔順機構中柔度和剛度之間較為合適的平衡點，提出如下線性加權拓撲優化模型：

式中SE=12uT3Ku3，其中U3為圖3b中載荷作用下的節點位移矢量;α為權重系數;ve為優化后的單元體積;xe為優化后的單元相對密度;β為優化體積比;V0為設計域的初始體積;K為系統的剛度矩陣;xmin為單元相對密度的最小極限值0，為防止求解時奇異，本文中取xmin=0.001。為了便于求解，可將機構分解到兩個特殊位置進行分析，如圖3c、圖3d所示。機構輸入端位移din和輸出端位移dout可以分別表示為：

式中dij=uTjKui/Fi表示在力Fj的作用下柔順機構在i端口處的位移，其中u1、u2分別為圖3c和圖3d中載荷作用下的節點位移矢量;θ為位移組合系數。進而輸入力Fin和輸出力Fout可以分別表示為：

3?改進拓撲優化模型靈敏度分析

靈敏度分析意味著找到目標函數f（xe）相對于設計變量xe密度的導數。為了實現基于SIMP方法的拓撲優化，需要對其進行靈敏度分析來指導優化算法的搜索方向。

4?數值算例

反向位移機構的設計如圖4所示，設計域取為80×80，利用平面4節點單元對設計域進行有限元離散處理。具體參數如下表所示：

該算例中幾何增益GA與應變能SE比值取為11∶9。通過觀察圖5、圖6、圖7得，改進后的最優拓撲構型變形清楚地顯示出輸出端口（右邊緣的中心）在向輸出端口傳輸輸入力的同時，按所需的方向移動，且最終輸出位移遠遠大于傳統優化模型位移。所得到的拓撲較使用傳統SIMP優化方法獲得的拓撲構型傳輸效率更高，且沒有任何虛鉸，避免了應力集中等一系列問題，更加符合實際生產中需求。

實例表明，所提出的基于SIMP方法的改進拓撲優化模型能夠有效地解決無鉸鏈柔性機構的設計問題，且優化后的構型能夠在保證傳輸效率的同時使結構具有更高的穩定性。

5?結論

本文提出了一種適用于無鉸鏈柔性機構設計的基于SIMP方法的改進拓撲優化模型。優化問題被表述為找出柔順機構的柔度和剛度之間的平衡點。由于在目標函數中引入了應變能，成功地避免了鉸鏈的形成且保證了柔順機構的穩定性。數值算例表明，通過該模型設計的柔順機構通過機構自身的彈性變形可以得到理想的輸出位移和機構穩定性，證明了該模型對于無鉸鏈柔順機構設計的有效性。

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[10]Zhang?Y?H，Yang?S，Ge?W?J，et?al.Topology?optimization?of?compliant?mechanism?based?on?minimum?manufacturing?constraints[J].Mechanism?and?Machine?Science，2016：645656.

[11]Buhi?T.Pedersen?CBW.Sigmund?O.Stiffness?design?of?geometrically?nonlinear?structures?using?topology?optimization[J].Struct?Multidiscip?Optim，2000，19（2）：93104.

基金項目：國家自然科學基金（51505298）;遼寧省自然科學基金計劃重點項目（20170520143）資助項目;遼寧省教育廳一般項目（LJGD2019008）

作者簡介：喬赫廷（1982—?），男，漢族，內蒙古人，博士，副教授，結構與多學科優化設計。