回轉(zhuǎn)體并聯(lián)入水運動狀態(tài)預(yù)測

王 聰,何超杰,余德磊

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

在海上進(jìn)行反水雷作戰(zhàn)時，往往需要短時間內(nèi)投放多枚射彈，使敵方防御系統(tǒng)短期內(nèi)應(yīng)接不暇.這是典型的運動體并聯(lián)入水過程.該過程中，兩個或多個運動體同時或在極短時間間隔內(nèi)平行地穿越自由液面進(jìn)入水中，由于各運動體流場和彈道存在耦合作用，力學(xué)環(huán)境更加復(fù)雜，運動體極易發(fā)生運動失穩(wěn).

國內(nèi)外對單個運動體入水開展了大量的研究，包括空泡形態(tài)特性、運動體受載特性和彈道特性. Logvinovich[1]提出了空泡獨立膨脹原理，為后續(xù)的空泡形態(tài)研究提供了理論基礎(chǔ)；Lee等[2]提出了高速入水空泡形態(tài)發(fā)展的理論分析方法，該方法可以模擬高速入水過程中空泡的生成及潰滅；Aristoff等[3]基于空泡壓力平衡理論和勢流理論提出了空泡形態(tài)的理論求解方法；王京華等[4]基于空泡獨立膨脹原理，研究了空泡的記憶效應(yīng)及其對空泡形態(tài)的影響，詳細(xì)計算了超空泡航行體各部分所受的流體動力，并提出了避免滑行力出現(xiàn)的預(yù)測和控制方法；張偉等[5]進(jìn)行了不同速度、形狀彈體入水試驗，得到了3種彈體的入水初期空泡形態(tài)與運動特性，建立了平頭運動體入水的空泡形態(tài)和彈道預(yù)測模型；王柏秋等[6]基于動網(wǎng)格技術(shù)對超空泡射彈的阻力系數(shù)開展了數(shù)值研究，結(jié)果表明同一模型長細(xì)比下，模型阻力系數(shù)隨時間呈準(zhǔn)線性變化；馬慶鵬等[7]開展了不同速度下的錐頭柱體高速入水過程數(shù)值研究，發(fā)現(xiàn)入水速度越高，航行體頭部壓力峰值越大，相同時刻入水空泡最大直徑也越大；何乾坤等[8-14]對超空泡射彈的尾拍特性進(jìn)行了大量數(shù)值研究.

目前國內(nèi)外對并聯(lián)入水的研究較少.盧佳興等[15]基于高速攝像技術(shù)開展了圓柱體并聯(lián)入水空泡演化特性的實驗研究，發(fā)現(xiàn)各深度空泡截面擴(kuò)張和空泡中心偏移的峰值和持續(xù)時間均隨弗勞德數(shù)增大而先增后減；宋武超等[16]基于勢流理論提出了回轉(zhuǎn)體低速并聯(lián)入水過程空泡形態(tài)發(fā)展的預(yù)測方法.綜上所述，對入水問題的研究多針對單體入水，涉及并聯(lián)入水的研究非常少，且未考慮空化現(xiàn)象對運動體并聯(lián)入水流體和運動的影響.

本文基于對急動度的限制性假設(shè)，推導(dǎo)出描述圓柱體并聯(lián)入水側(cè)向位移和偏航角的預(yù)測公式，研究初始空化數(shù)和初始凈距等初始條件對側(cè)向和偏航運動特性的影響及其機(jī)理，提出避免回轉(zhuǎn)體運動失穩(wěn)的策略.

1 數(shù)值計算方法

1.1 控制方程及其求解

本文基于有限體積法對雷諾時均的N-S方程進(jìn)行離散，使用VOF多相流模型描述各相分布. 混合介質(zhì)的連續(xù)性方程為

(1)

其中i=1,2,3，下同. 動量方程為

(2)

式中：ρm=αlρl+αgρg+αvρv，μm=αlμl+αgμg+αvμv.αl、αg、αv分別為水、空氣和水蒸氣的體積分?jǐn)?shù)；ρl、ρg、ρv為三相的密度；μl、μg、μv為三相的動力黏度；μt=ρmCμk2/ε為湍流黏性系數(shù)；Cμ為經(jīng)驗常數(shù)；k為湍動能；ε為湍動耗散率；ui、uj為速度分量；xi、xj為位移分量.Cμ由下式確定：

(3)

本文采用適用于大雷諾數(shù)流動的realizablek-ε模型[17]，其湍動能和湍動耗散率的輸運方程分別為:

Gk+Gb-ρε-YM+Sk,

(4)

(5)

本文采用Schnerr and Sauer空化模型[18]描述空化現(xiàn)象.水蒸氣相輸運方程為

(6)

式中:RB=1×10-6m為氣核半徑；αnuc=5×10-4為不可凝結(jié)氣體體積分?jǐn)?shù)；p為遠(yuǎn)場壓力；pv為飽和蒸氣壓；Fvap=50,Fcond=0.001.

1.2 方法有效性驗證

文獻(xiàn)[4]中給出了同實驗結(jié)果符合良好的空泡形態(tài)模型，其表達(dá)式為

(7)

式中:R為空泡半徑；R0為頭部半徑；z為位移；z0為初始位移；σ0、σ分別為初始空化數(shù)和空化數(shù)；Cd=C0(1+σ),0.82≤C0≤0.83；N為經(jīng)驗系數(shù)，取為2.

為驗證計算方法的有效性，對半徑5 mm的圓柱體以98.7 m/s入水過程進(jìn)行數(shù)值計算，并和式(7)進(jìn)行對比.由圖1中可知兩者較吻合，說明本文數(shù)值計算方法是可信的.

圖1 空泡形態(tài)對比

2 側(cè)向位移和偏航角預(yù)測公式

并聯(lián)入水具有對稱性，兩回轉(zhuǎn)體的側(cè)向位移和偏航角大小相等，方向相反.本文約定質(zhì)心相互遠(yuǎn)離的方向為側(cè)向位移的正方向，頭部遠(yuǎn)離而尾部靠近的旋轉(zhuǎn)方向為偏航角的正方向，如圖2所示. 圖3給出了直徑D=10 mm，長l=60 mm鋁制圓柱體在初始空化數(shù)σ=0.02，初始凈距d=0.6D條件下并聯(lián)入水的側(cè)向和偏航運動曲線. 由圖2可以看出，由于頭部靠近內(nèi)側(cè)的壓力較大，回轉(zhuǎn)體受到負(fù)方向偏航力矩，導(dǎo)致負(fù)方向偏航運動；偏航運動使頭部壓力對回轉(zhuǎn)體產(chǎn)生正向附加側(cè)力，引起正方向側(cè)向位移.

圖2 并聯(lián)入水示意圖

圖3 左側(cè)回轉(zhuǎn)體側(cè)向和偏航運動

進(jìn)一步考察側(cè)向加速度和偏航角加速度可知，入水初期兩者波動性均較強(qiáng)，隨著時間增加逐漸趨于線性變化.因此若忽略波幅較小的波動，可近似認(rèn)為t較小時側(cè)向加速度和偏航角加速度曲線均有4個極值點，而t充分大時兩者為線性變化，如圖4所示.因此由羅爾中值定理可知，側(cè)向急動度和偏航角急動度在t較小時都至少有3個極值點，而當(dāng)t充分大時兩者都幾乎為零.于是對側(cè)向急動度和偏航角急動度作如下兩個限制性假設(shè)：1)側(cè)向急動度和偏航角急動度曲線均有3個極值點；2)側(cè)向急動度和偏航角急動度在t充分大時均收斂于零.

圖4 側(cè)向加速度和偏航角加速度的波動性

據(jù)此設(shè)側(cè)向急動度和偏航角急動度分別為:

(8)

式中：cXn、cθn為待定參數(shù)；fXn(t)、fθn(t)為待定的單調(diào)減函數(shù)，為使假設(shè)成立應(yīng)滿足:

tnfXn(∞)=0,tnfθn(∞)=0.

(9)

對式(8)積分，并注意到積分第二中值定理可得：

(10)

其中：FXn(t)、Fθn(t)由下式確定：

ξXn(t),ξθn(t)∈[0,t].

(11)

同樣地，應(yīng)用積分第二中值定理對式(10)連續(xù)積分兩次得到側(cè)向位移和偏航角分別為:

(12)

(13)

式中:cX、cθ分別為側(cè)向和偏航角名義急動度；crX、crθ分別為側(cè)向和偏航角修正因子.這些參數(shù)對于確定的并聯(lián)入水過程是常數(shù)，而對于給定外形和材質(zhì)的回轉(zhuǎn)體則是初始空化數(shù)和初始凈距的函數(shù).

3 運動特性分析

取表1中各初始條件的數(shù)值仿真數(shù)據(jù)對式(13)進(jìn)行擬合，如圖5所示，擬合結(jié)果同式(13)吻合.

表1 初始條件

從圖5還可以看出，同一時刻側(cè)向位移和偏航角隨初始空化數(shù)減小而增加，隨初始凈距增加而先增后減.結(jié)合圖2對此解釋如下：頭部壓力隨初始空化數(shù)減小而增大，因此初始空化數(shù)越小，回轉(zhuǎn)體所受偏航力矩和附加側(cè)力越大，從而側(cè)向位移和偏航角越大；速度駐點位置隨初始凈距變小而越靠近內(nèi)側(cè)，但初始凈距較小時，速度駐點位置幾乎不再向內(nèi)側(cè)偏移，故初始凈距較大時，偏航力矩隨初始凈距減小而增大，使偏航角隨初始凈距減小而增大，進(jìn)而使附加側(cè)力隨初始凈距減小而增大，而初始凈距較小時，內(nèi)側(cè)靠近尾部的低壓區(qū)對回轉(zhuǎn)體有正方向力矩，使偏航力矩和附加側(cè)力隨初始凈距減小而減小，從而使側(cè)向和偏航運動受到限制.

圖5 預(yù)測公式與數(shù)值計算對比

為定量考察初始空化數(shù)和初始凈距對側(cè)向和偏航運動的影響機(jī)理，圖6給出了名義急動度cX、cθ和修正因子crX、crθ隨初始條件的變化.可以看出，cX和cθ隨著σ減小而增大，而隨d/D增大而先增后減；crX和crθ隨d/D減小而增大.這進(jìn)一步說明初始空化數(shù)越小，頭部壓力對側(cè)向和偏航運動的促進(jìn)作用越強(qiáng)，而初始凈距越小，內(nèi)側(cè)低壓對側(cè)向和偏航運動的限制作用越強(qiáng).

圖6 不同初始條件下的名義急動度和修正因子

4 避免失穩(wěn)的策略

側(cè)向和偏航運動使回轉(zhuǎn)體逐漸偏離平衡點，可能使回轉(zhuǎn)體碰撞或過度遠(yuǎn)離，導(dǎo)致運動失穩(wěn).因此獲得碰撞和過度遠(yuǎn)離的條件很有必要.

定義運動狀態(tài)因數(shù)β為凈距變化量與初始凈距之比的相反數(shù)，即

(14)

回轉(zhuǎn)體發(fā)生碰撞時，頭部內(nèi)側(cè)與對稱線接觸，如圖7所示.此時滿足如下幾何關(guān)系:

圖7 回轉(zhuǎn)體碰撞狀態(tài)示意

(15)

亦即

(16)

上式即是碰撞狀態(tài)的判據(jù).本文約定|β|≤1，當(dāng)且僅當(dāng)β=1時回轉(zhuǎn)體碰撞，當(dāng)且僅當(dāng)β=-1時為過度遠(yuǎn)離狀態(tài).式(14)可改寫為

(17)

其中，λ為長細(xì)比，對于本文的回轉(zhuǎn)體λ=24.

將式(13)代入式(17)即得β表達(dá)式.該式表明，運動狀態(tài)不僅和初始條件(初始空化數(shù)和初始凈距)有關(guān)，還同回轉(zhuǎn)體的外形(長細(xì)比)相關(guān).

圖8比較了不同初始條件對β的影響.可以看出，對同一初始凈距，存在使回轉(zhuǎn)體最接近初始狀態(tài)的初始空化數(shù)；對同一初始空化數(shù)，存在使回轉(zhuǎn)體凈距最接近初始狀態(tài)的初始凈距.而為避免運動失穩(wěn)，應(yīng)當(dāng)力求|β|盡量小.因此對于已確定形狀和材料的回轉(zhuǎn)體，應(yīng)控制入水初速度和初始凈距在合理的范圍內(nèi).對于本文的圓柱體，若初始凈距為0.4D，則入水初速度應(yīng)控制在79.64 m/s左右(對應(yīng)于圖8中σ=0.031,d/D=0.4)；若入水初速度為98.7 m/s，則初始凈距應(yīng)控制在0.4D～0.6D之間(對應(yīng)于圖8中σ=0.020,d/D=0.4及σ=0.020,d/D=0.6).

圖8 β-t曲線

5 結(jié) 論

1)預(yù)測公式與數(shù)值計算結(jié)果符合良好，具有一定的可信度.

2)入水后同一時刻，運動體的側(cè)向位移和偏航角均隨初始空化數(shù)減小而增大，隨初始凈距減小而先增后減.

3)初始空化數(shù)較低時頭部壓力對側(cè)向和偏航運動具有促進(jìn)作用，且初始空化數(shù)越小，側(cè)向名義急動度和偏航角名義急動度越大，表明側(cè)向和偏航運動所受促進(jìn)作用越強(qiáng)；初始凈距較小時，內(nèi)側(cè)壓力對側(cè)向和偏航運動具有抑制作用，且初始凈距越小，側(cè)向修正因子和偏航角修正因子越大，表明側(cè)向和偏航運動所受抑制作用越強(qiáng)

4)初始條件和回轉(zhuǎn)體外形共同決定了并聯(lián)入水過程中回轉(zhuǎn)體的運動狀態(tài).對于本文運動體，當(dāng)初始凈距為0.4D，則入水初速度應(yīng)控制在79.64 m/s左右；若入水初速度為98.7 m/s，則初始凈距應(yīng)控制在0.4D～0.6D之間.