多離散變量桁架結構協調優化研究＊

張志強 秦義校 谷金朋

太原科技大學機械工程學院 太原 030024

0 引言

臂架為典型的細長桁架結構，是履帶起重機的主要承載構件，在較大載荷作用下易發生幾何非線性行為，使臂架變形過大而失穩。因此，質量輕、承載力高的臂架對保證履帶起重機的工作性能非常重要。基于不同的優化設計方法和分析軟件，國內外學者對桁架式臂架結構進行了許多研究。文獻[1]從1968年～2014年介紹了具有離散設計變量的桁架結構優化的模型，理論和數值方法。該領域的文章全面收集，其研究方法已從確定性方法轉變為元啟發式方法，即隨機方法搜索方法。文獻[2]將基于生物地理學的優化（BBO）和差分演化（DE）方法進行混合，優化具有連續和離散變量的桁架結構的設計。文獻[3]提出一種自適應精英差分進化算法（aeDE），用于優化具有離散設計變量的桁架結構。通過6個具有離散設計變量的桁架結構優化問題，證明了該方法的有效性和可靠性。文獻[4]充分考慮起重機失穩因素，進行了結構振動和失穩分析，為其合理安全設計提供了理論基礎。文獻[5]提出一種面向對象的桁架臂架建模方法，為桁架臂架系統仿真設計提供了方法基礎，并以全地面起重機桁架副臂為例，驗證了該方法的正確性和可行性。

由于本文中的最佳動臂尺寸受特定運輸條件和制造模型的限制，故選擇此模型中最大的動臂。圖1為優化的復雜桁架，動臂總長為120 m，底部兩個下部鉸接點之間的距離為2.2 m，且動臂頂部的橫截面較小。

圖1 履帶起重機臂架結構示意圖

圖2為要優化的動臂部分的離散變量。本文將非線性有限元法和非均勻離散變量協調優化法相結合，解決了復雜桁架工程的實際問題，編寫了程序以方便廣泛應用。研究結果表明，該優化算法在解決工程問題時的應用思想和數學模型建立方法具有重要的參考價值。

圖2 臂架各節中的設計變量

1 智能優化算法與桁架臂的優化模型

1.1 智能算法

智能優化算法對要解決問題的目標函數無特殊要求，并可處理離散變量問題和連續變量問題。該方法屬于改進的混合離散變量優化方法，其算法邏輯框圖如圖3所示。

圖3 優化算法邏輯框圖

在工程優化設計中，大多數在數學編程中使用連續變量的約束非線性優化方法一般屬于局部最優，而最優解總是在約束區域的邊界上。非均勻離散變量的協調優化方法不僅可以避免上述缺點，還可大大加快初始搜索的速度。增加變量協調約束可使算法消除搜索過程中不滿足橫截面特征的值，例如腹板構件的外徑不可大于弦桿的外徑。

1.2 復雜桁架臂的優化數學模型

由于履帶起重機主臂為組合空間結構，其單元種類和材料種類較多，導致該類結構按傳統設計方法設計會造成材料浪費，體積增大，作業時產生過大慣性。

1）設計變量

以LR1300型履帶起重機為研究對象，為優化提供初始設計，取底節支承桿、底節、標準節、變徑頂節的設計參數為基本變量，具體如表1所示。

表1 設計變量不同的初始值及其上下限

2）目標函數

在滿足所有約束條件的前提下以降低結構總質量為目標，目標函數可寫為

式中：Nk是屬于第k組梁單元編號集合，Di為第i個桿單元的外徑，Li為第i個梁單元的長度，ti為第i個梁單元的壁厚，Li第i個梁單元的密度。

如上t1、R1、t2、R2、t3、R3、t4、R4、t5、R5、t6、R6、t7、R7在VB優化程序中分別對應變量xi（i＝1，2，…，14）。

3）約束條件

在主臂的優化過程中，算法每取得一組取值時都要驗證滿足結構設計規范的約束條件，而這些約束條件往往比較復雜，導致算法收斂速度較慢。在本文中，增加變量協調約束，并且在算法每取得一組取值時先驗算這類約束條件，先剔除一部分取值。將以下所列的G1～G10作為變量協調約束加入VB優化程序中。

式中：G1～G3分別為第一類變量協同約束；G3+i為第二類變量協同約束。

在每次幾何非線性分析之后，必須提取每組桿件的最大馮·米塞斯應力約束條件。在對于這種復雜應力結構應判定其Von Mises 等效應力，即

臂架在各種工況下承受不同的載荷組合，故分組桿件中的最大應力不得大于許用應力。臂架中底節支承桿最大應力為σ1，底節中弦桿最大應力為σ2，標準節中弦桿最大應力為σ3，頂節中弦桿最大應力為σ4，底節中腹桿最大應力為σ5，標準節中腹桿最大應力為σ6，頂節中腹桿最大應力為σ7，則有σ1＜ [σ]1，σ2＜ [σ]2，σ3＜ [σ]3，σ4＜ [σ]4，σ5＜ [σ]5，σ6＜ [σ]6，σ7＜ [σ]7，其中 [σ]i為各組桿件的許用應力。

臂架的結構形式復雜，承受的載荷和約束也較復雜，在臂架高聳時容易發生失穩。根據履帶起重機臂架受力形式為雙向壓彎構件的原理，其整體穩定性驗算公式為

式中：N為臂架軸向力，Mx、My為臂架計算截面對x軸或y軸的彎矩，NEx、NEy為臂架對x軸或y軸的名義歐拉臨界應力載荷，φ為臂架最大長細比選取的壓桿穩定系數，A為臂架截面積，Wx、Wy為臂架截面對x軸或y軸的抗彎截面系數，[σ]為鋼材的許用應力。

2 復雜桁架臂結構優化結果分析

選擇3個不同的初始點進行優化，并比較優化前后的數據，詳見表2～表4。本文分別取了3組符合結構設計規范的初始值進行優化，初始值1、2、3分別在迭代10次、9次、7次后得到收斂，收斂結果基本一致，故本文只對初始值為1時的優化結果進行討論分析。

表2 初始值為1時的優化前后的結果對比

表3 初始值為2時的優化前后的結果對比

表4 初始值為3時的優化前后的結果對比

圖4為所選初始值1下的變量優化歷程圖。其中，圖4a為以各組桿件的壁厚為設計變量的優化歷程，曲線x1、x3、x5、x7分別代表主弦桿、底節弦桿、標準節弦桿和頂節弦桿的壁厚，曲線x9、x11、x13分別代表底節腹桿、標準節腹桿和頂節腹桿的壁厚。從圖中可以看出，代表弦桿壁厚曲線的變化率比代表腹桿壁厚曲線的變化率要高。圖4b為以各組桿件的外徑為設計變量的優化歷程，曲線x2、x4、x6、x8分別代表主弦桿、底節弦桿、標準節弦桿和頂節弦桿的外徑，曲線x10、x12、x14分別代表底節腹桿、標準節腹桿和頂節腹桿的外徑。從圖中可以看出，代表桿件外徑的曲線呈下降趨勢，會出現局部峰值。在優化過程中，當個別變量的取值較大時，就會有與其協調的變量來進行協調與制約。

圖4 初始值1時的圓管壁厚、外徑優化歷程

從整體來看，各變量在優化過程中的變化趨勢均較正常，且體現了變量之間協調變化的特點。通過對優化結果的提取與分析可知，在用VB編寫的優化程序中增加變量協調約束條件，使優化分析結果更接近實際工程應用，同時使復雜優化問題求解速度更快。

由目標函數優化歷程與各類變量的優化歷程分析可知，運用本文算法優化桁式臂架，其總質量總能達到一個最佳值，最多可減少26%，且臂架型材截面更加合理。為了驗證上述優化結果，分別選取了初始值1下各節優化前后的應力圖，如圖5所示。在優化后，底節承載應力由111.55 MPa增加到228.8 MPa，標準節承載應力由137.58 MPa增加到271.7 MPa，變徑頂節承載應力優化前后差別不大，這表明它充分利用了材料的承載能力。

圖5 各節優化前后應力圖

3 結論

提出了將改進的離散變量智能優化算法與結構非線性有限元分析相耦合的復雜桁架工程優化方法，加快了復雜結構優化進程。通過對桁架臂工程實例的優化分析，可知本文解決復雜工程問題的方法為復雜桁架結構的優化設計提供了思路，在工程實踐中具有一定的應用價值。