實變函數測度論中有限無限的轉化方法

余楠 丁兆東

摘 要：分析實變函數測度論中幾個基本定理的證明過程，論述求解該類問題的基本方法：有限與無限的轉化。給出解決測度論相關問題的一種思路。

關鍵詞：實變函數測度論;有限與無限的轉化;方法總結

1 緒論

實變函數是一門重要的數學課程，主要內容包括勒貝格測度、可測函數和勒貝格積分，其中測度理論是其建立的基礎與核心。實變函數在各個領域有著廣泛的應用，但該課程理論高度抽象，證明過程需要很強邏輯性和構造性。有鑒于此，很多學者與老師總結了實變函數解題過程中的各種方法：胡鵬針對Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理進行了總結與推廣[1];涂郗討論了Lebesgue控制收斂定理的應用[2];石秀文對特征函數的應用進行了總結[3]。本文將針對測度論中相關例題進行歸納總結，給出解決測度論問題的一種常用的，有效的方法：有限與無限的轉化。

在數學領域幾百年的發展中，數學家們致力于將“有限”上的成果推廣到“無限”，從而開拓思維，壯大現有理論體系。實變函數主要研究可數層面相關的理論，但由于可數這個與無限有關的概念十分抽象，研究起來存在一定的困難，而“有限”層面的內容目前已經比較完善，故通過一定方法先將“無限”轉化為“有限”，在“有限”的理論基礎上研究，再推廣到“無限”。這種有限與無限的轉化方法在實變函數尤其是測度論中屢見不鮮。本文結合基本定理的證明過程，闡述該種方法在測度理論中應如何使用，給出了解決測度論相關問題的一種思路。

在證明與測度有關的問題時，若題目中直接出現無窮或者有諸如康托集，開集，Fσ集，Gδ集等字眼，可以考慮有限與無限的轉化。這種方法的思路大致是：根據題意及已知定理將“大”集合分解為“小”集合，對“小”集合的性質特點進行研究，再延拓到“大”集合上。一般的，可以通過有限覆蓋定理或者用有界區間分割集合完成從無限到有限的轉化;取極限是一種經常被使用的從有限推廣到無限的手段，在某些情況下，還可以取可數并……測度論的很多證明需要將上述方法結合使用，這就要求我們靈活運用這些方法，具體問題具體分析。

2 有限可加的性質結合極限原理

定理1[4] （勒貝格可測集的有限可加性）若Ankn=1是Rn中有限個可測集，則∪kn=1An也可測，且當Ankn=1兩兩不交時，成立：m（∪kn=1An）=∑kn=1m（An）。

例1 （勒貝格可測集的可數可加性）若AnSymboleB@n=1是Rn中可數個可測集，則∪SymboleB@n=1An也可測，且當AnSymboleB@n=1兩兩不交時，成立：m（∪SymboleB@n=1An）=∑SymboleB@n=1m（An）。

證明 記A=∪SymboleB@n=1An，考慮一個分解：

B1=A1，Bk=Ak＼∪k-1i=1Ai，k=2，3，…

得到：

A=∪SymboleB@n=1An=∪SymboleB@k=1Bk（1）

由于AnSymboleB@n=1是可測集序列，則B1=A1，Bk=Ak∩（∪k-1i=1Ai）c，k=2，3，…是可測集，且諸Bk之間互不相交。令FRn，對于每一個p∈N+，由定理1得到∪pk=1Bk是可測集。所以由可測集的定義：

m*（F）=m*（F∩（∪pk=1Bk））+m*（F∩（∪pk=1Bk）c）（2）

由于∪pk=1BkA，得到：

（∪pk=1Bk）cAc（3）

因此：

m*（F）m*（F∩（∪pk=1Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（∪pk=1（F∩Bk））+m*（F∩Ac）（4）

諸Bk之間互不相交，諸F∩Bk之間也互不相交，根據定理1，（4）式可化為：

m*（F）∑pk=1m*（F∩Bk）+m*（F∩Ac）（5）

（5）式兩邊同時令p→+SymboleB@得到：

m*（F）∑SymboleB@k=1m*（F∩Bk）+m*（F∩Ac）

m*（∪SymboleB@k=1（F∩Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（F∩（∪SymboleB@k=1Bk））+m*（F∩Ac）

=m*（F∩A）+m*（F∩Ac）（6）

而m*（F）SymbolcB@m*（F∩A）+m*（F∩Ac）是顯然的。故A=∪SymboleB@n=1An是可測集。

當AnSymboleB@n=1兩兩不交時，由于：

m*（A）=m*（∪SymboleB@n=1An）m*（∪qn=1An）=∑qn=1m*（An）（7）

（7）式兩邊同時令q→+SymboleB@得到：

m*（A）∑SymboleB@n=1m*（An）m*（∪SymboleB@n=1An）=m*（A）（8）

因此：

m（∪SymboleB@n=1An）=∑SymboleB@n=1m（An）（9）

對于一些比較簡單的題目，可以直接利用已有的有限個集合測度（外測度）的結論，通過取極限得到對可數個集合成立。在上題中，需要利用定理1，找到不等式關系，再取極限。

3 有限覆蓋結合極限原理

先論述一個定理。

定理2[4] （有限覆蓋定理）設F是一個有界閉集，是一族開鄰域，完全覆蓋F（即對于F中任何一點x，恒有鄰域N∈，使x∈N），則在中一定存在有限多個鄰域N1，N2，…，Nm，它們完全覆蓋F。

例2[4] （開集測度的單調性）令O1，O2是R上的兩個開集，如果：O1O2，則m（O1）SymbolcB@m（O2）成立。

證明 設O1O2，將O1，O2分別表示成可數個互不相交的開區間的并，即：

O1=∪SymboleB@n=1In，O2=∪SymboleB@k=1Jk

其中InSymboleB@n=1，JkSymboleB@k=1兩兩不交。

對于每個In（n∈N+），存在一個Jk（k∈N+）使得InJk成立。

不失一般性下證所有的Jk（k∈N+）都是有界的。令q∈N+且ε>0。記：

Iεn：=[an+ε2q，bn-ε2q]∈In：=（an，bn）

∪qn=1Iεn是閉集，由有限覆蓋定理：Jk1，Jk2，…，Jkp，使得：∪qn=1Iεn∪pj=1Jkj。于是有：

-ε+∑qn=1In=∑qn=1Iεn=∪qn=1IεnSymbolcB@∪pj=1Jkj=∑pj=1JkjSymbolcB@m（O2）（10）

由ε的任意性，有：

∑qn=1InSymbolcB@m（O2）（11）

其中q∈N+。再令q→SymboleB@得到：

m（O1）=∑SymboleB@n=1InSymbolcB@m（O2）（12）

在該題目中，所求與開集有關，開集可以表示成可數個不相交開區間的并，這是一個與無限有關的問題。由包含關系，可以將區間縮小變成閉集，根據有限覆蓋定理，找到有限個開區間包含這有限個閉區間。利用已知性質，得到一邊有參數一邊無參數的不等式，令參數q→SymboleB@，得到結論。

4 利用化整為零思想分解集合

例3[4] （勒貝格可測集幾乎就是一個開集）E是勒貝格可測的，則ε>0，存在一個開集OE，使得m（O＼E）<ε。

證明設E是勒貝格可測集，由于：

m（E）=m*（E）=inf{m（O）：O是開集且OE}（13）

由下確界的定義ε>0有：

m（O）

而O=（O＼E）∪E且（O＼E）∩E=，有：

m（O＼E）+m（E）=m（O）

當m（E）<+SymboleB@時，m（O＼E）<ε顯然成立。

如果m（E）=+SymboleB@，考慮En=E∩[-n，n]，則存在一個開集OnEn，m（On＼En）<ε2n成立。

記：O=∪SymboleB@n=1On，則O是開集且OE。滿足：

O＼E=（∪SymboleB@n=1On）＼（∪SymboleB@m=1Em）=∪SymboleB@n=1（∩SymboleB@m=1（On＼Em））∪SymboleB@n=1（On＼En）（16）

于是有：

m（O＼E）SymbolcB@∑SymboleB@n=1m（On＼En）SymbolcB@∑SymboleB@n=1ε2n=ε（17）

綜上所述，不論m（E）=+SymboleB@或者m（E）<+SymboleB@命題始終成立。

在該題中，由于集合E的測度存在無窮的情況，需要分類討論：當測度小于無窮時，不等式兩邊直接減去相同項;當測度值為無窮時，需要將集合E分解成測度有限的集合的并，找到滿足的關系式進行求解。

有限與無限轉化的方法不光在測度論以及其他數學領域中被廣泛使用，日常生活的很多方面都體現著這種思想。無限到有限是由難到易的過程，有限到無限是量的積累引起質的飛躍。解決實際問題時，需要在認真觀察的基礎上仔細分析，找到事物之間的聯系，將復雜問題不斷細分為一個個簡單問題，對每個小問題深入研究，得到解決方法， 各個小問題解決了，大的問題也就迎刃而解了，從而實現了有限與無限之間的轉化。學習也是這樣，復雜的知識是由一個個最基本的小知識點構成的，所以不能好高騖遠，要腳踏實地，認真學好現在的每一門課，把基礎打牢，只有這樣，才能量變引起質變。

道雖遠，不行不至;事雖難，不為不成。

參考文獻：

[1]胡鵬. Fatou引理以及Lebesgue控制收斂定理推廣及其應用[J].科技風，2020（13）：41.

[2]涂郗. Lebesgue控制收斂定理的應用[J]. 教育現代化，2019，6（73）：119120.

[3]石秀文. 特征函數的性質在實變函數中的應用[J]. 邢臺學院學報，2018，33（04）：182184.

[4]江澤堅，吳智泉，紀友清.實變函數論[M].第四版.北京：高等教育出版社，2019.

作者簡介：余楠（1999— ），女，漢族，內蒙古呼和浩特人，本科，研究方向：數理基礎科學（數學）。

*通訊作者：丁兆東（1987— ），男，漢族，內蒙古烏蘭察布人，碩士，副教授，研究方向：微納流體力學。