整系數多項式在有理數域上不可約的判定方法

摘 要：本文總結和歸納了整系數多項式在有理數域上不可約的一些判定方法，并通過具體例子展示了這些方法的實際應用和局限性，擴展了相關文獻的結果。

關鍵詞：整系數多項式;有理數域;不可約

據文獻[1]，每個次數≥1的復系數多項式在復數域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積。這表明，復數域上不可約多項式只有一次多項式，而每個次數≥1的實系數多項式在實數域上都可以唯一地分解成一次因式或二次不可約因式的乘積。于是實數域上的不可約多項式只可能是一次多項式和判別式小于零的二次多項式。然而，有理數域上存在任意次數的不可約多項式。另一方面，文獻[1]同時指出，若一非零的整系數多項式能夠分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘積，則它可分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積。這一結論把有理系數多項式在有理數域上是否可約的問題歸結為整系數多項式能否分解成次數較低的整系數多項式的乘積的問題。于是，考慮有理系數多項式的不可約的問題，只需就整系數多項式考慮即可。本文的目的是總結和歸納整系數多項式在有理數域上不可約的判定方法，這對教師講授和初學者學習這方面的知識有一定幫助。本文約定Q和Z分別表示整數集合和有理數域，而Q[x]和Z[x]分別表示系數在Q和Z中的關于x的多項式構成的集合。

1 基本結論

本節給出涉及整系數多項式在有理數域上不可約的判定的一些事實。對任意非零多項式f（x），用f（x）表示f（x）的次數。

事實1.1 設f（x）∈Z[x]。

（1）若f（x）=1，則f（x）在Q上不可約。

（2）f（x）在Q中有根當且僅當f（x）在Q上有一次因式。

（3）若f（x）2且f（x）在Q中有根，則f（x）在Q上可約。

（4）若2SymbolcB@f（x）SymbolcB@3，則f（x）在Q上不可約當且僅當f（x）在Q中無根。

事實1.2 設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]且an，a0均不為零。記f*（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an。則f（x）在Q上不可約當且僅當f*（x）在Q上不可約。

證明 容易驗證，若f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]，則f*（x）=g*（x）h*（x）且f*（x）=f（x），h*（x）=h（x），g*（x）=g（x）。于是結論成立。

事實1.3 設f（x）∈Z[x]，a，b∈Z，a≠0。則f（x）在Q上不可約當且僅當f（ax+b）在Q上不可約。

證明 若f（x）在Q上可約，則f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]， g（x），h（x）

故f（ax+b）在Q上可約。類似可證由f（ax+b）在Q上可約可推出f（x）在Q上可約。

事實1.4 （[1]第一章定理12）設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]，an≠0，而rs是它的有理根，其中r，s互素。則s|an，r|a0。

下面給出幾個關于Eisenstein型判別法的事實。

事實1.5 （[2]第三章第6節習題9）設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]。若有素數p和某個非負整數k（k

證明 對f（x）的次數用歸納法。當n=1時，結論顯然成立。設結論對次數小于n的整系數多項式成立，下考察次數等于n的整系數多項式f（x）。若f（x）不可約，則結論成立。否則，設f（x）=g（x）h（x），g（x）=bmxm+…+b0，h（x）=clxl+…+c0∈Z[x]，0

由pan知pbm，pcl，由p|a0，p2a0知p|b0和p|c0有且只有一個成立，不妨設前者成立。則必有正整數0SymbolcB@sk。由歸納假設，g（x）有次數大于s的不可約因式，這個不可約因式也是f（x）的次數大于k的不可約因式。

在事實1.5中分別取k=n-1和k=n-2，并結合事實1.1（2），可得以下事實。

事實1.6 （Eisenstein判別法）設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]。若有素數p使得pan，p|an-1，p|an-2，…，p|a0，p2a0，則f（x）在Q上不可約。

事實1.7 設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]無有理根。若有素數p使得pan，p|an-2，p|an-3，…，p|a0，p2a0，則f（x）在Q上不可約。

上述結論給出了整系數多項式在有理數域上不可約的一些充分條件，但不能對所有整系數多項式解決問題。下面給出判定整系數多項式在有理數域上不可約的一個一般方法，它是Kronecker在1881年提出的。

事實1.8 （[2]第三章第6節習題11，12，13）設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0∈Z[x]沒有整數根，an≠0。記s為不大于n2的最大整數。取定互不相同的整數c0，c1，…，cs及：

d0|f（c0），d1|f（c1），…，ds|f（cs）， （*）

由Lagrange插值公式，存在唯一的次數不大于s的多項式：

u（x）d0，d1，…，ds=∑si=0（x-c0）…（x-ci-1）（x-ci+1）…（x-cn）（ci-c0）…（ci-ci-1）（ci-ci+1）…（ci-cn）di

使得u（ci）d0，d1，…，ds=di，i=0，1，…，s。若對任意d0|f（c0），d1|f（c1），…，ds|f（cs），都有u（x）d0，d1，…，dsf（x），則f（x）在Q上不可約。

證明 若f（x）在Q上可約，則可設f（x）=g（x）h（x），g（x），h（x）∈Z[x]，0

注 根據Kronecker的方法，要檢查f（x）是否可約，只需對所有滿足條件（*）的d0，d1，…，ds進行檢測就可以了，注意到f（x）無整數根，這種檢測在有限步內肯定能完成。當然，驗證的過程是冗長的。因此，這個方法需要借助計算機才能發揮其最佳效果。

2 幾個例題

本節通過具體例子來闡述前面總結的若干事實的具體運用。

例2.1 判斷f（x）=x3-5x+1在Q上是否可約。

解 由事實1.4知f（x）在Q中無根。注意到這是一個三次多項式，據事實1.1（4）知f（x）在Q上不可約。

例2.2 判斷px2-px+2p-1在Q上是否可約，其中p是素數。

解 該多項式無實根，從而無有理根，據事實1.1（4）知它在Q上不可約。

注 例2.2不能用事實1.4或Eisenstein型判別法來解答。

例2.3 設p是素數且p≠3。證明f（x）=xp+px+2p-1在Q上不可約。

證明 容易看出，本題無法用Eisenstein型判別法直接解答。現考慮用事實1.3。事實上：

f（x+1）=（x+1）p+p（x+1）+2p-1

=xp+C1pxn-1+…+（Cp-1p+p）x+3p

用Eisenstein判別法立得f（x+1）在Q上不可約，從而由事實1.3知f（x）在Q上不可約。

下面的例題推廣了文獻[3]的例題的有關結果。

例2.4 設n4，p，q是素數且p2

證明 直接用事實1.5或1.6無法解答。現考慮f*（x）=q2xn+qxn-1+p。據事實1.4，該多項式的有理根可能為±1，±1q，±1q2，±p，±pq，±pq2。可以驗證，這些都不是f*（x）的根。據事實1.7，f*（x）在Q上不可約，從而據事實1.2，f（x）在Q上也不可約。

注 例2.4中的多項式無法用事實1.3和事實1.6（即Eisenstein判別法）來解答。事實上，設a，b∈Z，a≠0。則：

f（ax+b）=p（ax+b）n+q（ax+b）+q2=panxn+pC1nan-1bxn-1+…

+pCn-2na2bn-2x2+（pCn-1nabn-1+qa）x+pbn+qb+q2

設有素數u滿足：

upan，u|pC1nan-1b，…，u|pCn-2na2bn-2

u|（pCn-1nabn-1+qa），u|pbn+qb+q2，u2pbn+qb+q2

則：

ua，up，u|Cinbi，i=1，2，…，n-2;u|pnbn-1+q，

u|pbn+qb+q2，u2pbn+qb+q2

由u是素數知u|n或u|b。于是，u|q，但q也是素數，故u=q，從而u|pbn。但up，于是u|b，這導致u2pbn+qb+q2，矛盾。

例5 證明f（x）=x4-10x2+1在Q上不可約。

解 由事實1.4知f（x）沒有整數根。取c0=-2，c1=0，c2=2。則f（c0）=-23=f（c2），f（c1）=1。

易見1的因數有±1，-23的因數有±1，±23。可以驗證，對任意d0，d2∈{±1，±23}，d1∈{±1}，按事實1.8定義的u（x）d0，d1，d2均不能整除f（x）。由事實1.8，f（x）在Q上不可約。

注 本題用事實1.1，1.2，1.4，1.5，1.6或1.7無法解答。事實上，本題也不能用事實1.3配合事實1.6解答。限于篇幅，具體理由不再陳述。 另一方面，例5也可以用反證法來證明，因為四次多項式若可約的話，只能寫成一次多項式乘三次多項式或二次多項式乘二次多項式，具體細節不再贅述。

3 結論

本文總結和歸納了整系數多項式在有理數域上不可約的一些基本判定方法，并通過具體的例子闡述了這些方法的實際應用及局限性。本文的結果對教師講授和初學者學習這方面的知識有一定幫助。另一方面，限于篇幅，還有不少整系數多項式在有理數域上不可約的判定方法在本文中沒能涉及，例如，文獻[4]利用剩余類環的理論得到了愛森斯坦判別法的一些新的推廣形式，文獻[5]利用矩陣理論也得到了愛森斯坦判別法的新推廣方式，而文獻[6]則用復分析中的儒歇定理給出了整系數多項式在有理數域上不可約的新判定方法，有興趣的讀者可以參考上述文獻進行學習。

參考文獻：

[1]北京大學數學系前代數小組，高等代數[M].5版.北京：高等教育出版社.2019.

[2]Hungerford T.W.，Algebra[M].北京：世界圖書出版公司，1998.

[3]朱一心.不能用Eisenstein判別法判別的不可約多項式[J].徐州師范大學學報，2000，19（02）：11+60.

[4]彭學梅.整系數多項式可約性的幾個新判別法[J].湖北民族學院學報（自然科學版），2003，21（04）：9092.

[5]宋家雛.愛森斯坦因判別法的推廣[J].數學教學通訊，1986（01）：4041+44.

[6]謝庭藩，裴定一.關于多項式的不可分解性[J].科學通報，1975，（09）：414415.

基金項目：云南師范大學本科教育教學改革研究項目（YNJG201831）;云南師范大學本科線下一流課程建設項目（2019xxkc28）;國家自然科學基金項目（11661082）

作者簡介：王守峰（1979— ），男，漢族，山東濟南人，博士，教授，研究方向：代數。