用多項式除法求矩陣多項式的逆

楊海霞 張會凌 吳應(yīng)琴

摘 要：以線性代數(shù)教學(xué)中的一類重要問題“求矩陣多項式的逆矩陣”為例，利用多項式的帶余除法，特別是綜合除法介紹最常見的一類矩陣多項式求逆的具體計算方法，使得這類問題的求解簡單高效、容易掌握。由于這種方法具有一定的構(gòu)造性，也可使此類問題的解決思路更加清晰，激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。

關(guān)鍵詞：矩陣多項式;求逆;多項式除法;綜合除法

中圖分類號：O151.21文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Using Division to Calculate the Inverse of a Matrix Polynomial

Yang Haixia1 Zhang Huiling1 Wu Yingqin2

1.School of Education，Lanzhou University of Arts and Sciences GansuLanzhou 730000;

2.Key laboratory of Petroleum Resource Research，Northwest Institute of EcoEnvironment and Research，

Chinese Academy of Sciences GansuLanzhou 730000

Abstract：This paper takes an important problem of“calculation of the inverse of amatrix polynomiain”in the teaching of linear algebra as an example.Using polynomial division，especially the synthetic division，this paper gives an algorithm to calculate the inverse of matrix polynomial.This method makes the solution of this kind of problem simple，efficient and easy to understand.The constructive algorithm can resolve above mentioned problems efficiently.To stimulate students′ interest in followup learning.

Key words：matrix polynomial;inverse;polynomial division;synthetic division

1 緒論

關(guān)于矩陣多項式的求逆，有時可以用“湊”的方法直接得出答案。如在A2=O的條件下，可以看出E+A和E-A互逆，對于一些較為復(fù)雜的矩陣多項式，要湊出答案則需要相當(dāng)?shù)募记珊徒?jīng)驗，學(xué)生經(jīng)常會有無從下手之感。

在一般情況下求矩陣多項式的逆，首先需要回答可逆性問題。文獻(xiàn)[1]和[2]等已基本解決了在幾種典型的情況下一些矩陣多項式的可逆性的判定。這些判定法則大都用到方陣A的特征多項式，而在許多時候，A只是一個抽象的n階方陣，無法確定其特征多項式，因而不能從根本上解決f（A）的可逆問題以及逆的具體計算問題。例如，已知n階方陣A滿足A3=2E，求證A+2E可逆并求（A+2E）-1[3]。這里，直接湊答案很困難，也無法知道A的特征多項式，因而不能使用上述文獻(xiàn)中給出的方法求解，但利用本文給出的綜合除法很容易求解（見例2）。

本文將以多項式理論為基礎(chǔ)，利用多項式的帶余除法重點解決在給定條件下一次矩陣多項式的求逆問題。

2 在f（A）=O的條件下求一次矩陣多項式aA+bE的逆

當(dāng)A是一個具體的n階方陣時，aA+bE也是一個具體的n階方陣，其逆矩陣可以直接計算。

以下總假定A是一個抽象的n階方陣，要在條件f（A）=O下判定一次矩陣多項式aA+bE的可逆性（a≠0），并在可逆時求其逆。此時有3種情形：

（1）f（A）也是一次矩陣多項式。此時若f（A）與aA+bE成比例，則顯然aA+bE不可逆;若f（A）與aA+bE不成比例，則aA+bE可逆，其逆可直接寫出。

例1 設(shè)5A+3E=O，求3A-2E的逆矩陣。

解 由5A+3E=O知A=-35E，3A-2E=-195E，（3A-2E）-519E=E，故有：

（3A-2E）-1=-519E

（2）f（A）是m次（m≥2）矩陣多項式，則當(dāng)-ba不是f（x）的根時，用綜合除法必可求出f（x）=（ax+b）h（x）+c，且此處c≠0。因有f（A）=O，故：

（aA+bE）h（A）+cE=O，（aA+bE）-1=-1ch（A）

例2 已知n階方陣A滿足A3=2E，求證A+2E可逆并求（A+2E）-1。

解 條件A3=2E可寫成A3-2E=O，用A+2E即A-（-2E）去除A3-2E就得算式1。

算式1 形式地對矩陣多項式作除法

算式2 綜合除法

結(jié)果是：

（A+2E）（A2-2A+4E）-10E=A3-2E=O

即：

（A+2E）（A2-2A+4E）=10E

故：

（A+2E）-1=110（A2-2A+4E）=110（A-2E）2

由于所作的帶余除法的結(jié)果相當(dāng)于（x+2）（x2-2x+4）-10=x3-2=0，x+2是x的一次式，故可利用綜合除法直接寫出算式2。用此法可以很簡捷地得出正確的結(jié)果。

下面用綜合除法求解一個出現(xiàn)在許多線性代數(shù)教材中的問題[3]。

例3 設(shè)n階方陣A是冪零矩陣，即存在某正數(shù)k使Ak=O，則E-A可逆，且其逆為E+A2+…+Ak-1。[3]

證 由于本題的特殊性，可利用公式xk-1=（x-1）（xk-1+xk-2+…+x+1）求解。但綜合除法對此類問題具有普遍的適應(yīng)性。

用x-1去除xk，結(jié)果如下表：

于是xk=（x-1）（xk-1+xk-2+…+x+1）+1。而xk=0，故有（1-x）（xk-1+xk-2+…+x+1）=1。

對應(yīng)地得到（E-A）（Ak-1+Ak-2+…+A+E）=E。

故E-A可逆，且（E-A）-1=E+A2+…+Ak-1。

（3）ax+b可整除f（x）。即有多項式h（x）使f（x）=（ax+b）h（x），對應(yīng)地有（aA+bE）h（A）=O。

此時aA+bE的可逆性一般無法確定。但若假定aA+bE可逆，則可得h（A）=O。若能從中解出A，就可確定aA+bE的逆。

例4 設(shè)A2-5A+6E=O，判斷A-2E的可逆性。

解 原條件可寫成A2-5A+6E=（A-2E）（A-3E）=O。

因為矩陣的乘法是一種有零因子的乘法，故由（A-2E）（A-3E）=O并不能得出A-2E=O或A-3E=O得結(jié)論。但是A-2E=O時自身不可逆卻是顯然的。

若直接假定A-2E可逆，則由（1）可得A-3E=O，A=3E，此時A-2E=3E-2E=E，故A-2E可逆，逆矩陣就是E。

3 在f（A）=O的條件下求高次矩陣多項式g（A）的逆

不失一般性，可設(shè)f（A）的次數(shù)高于g（A）的次數(shù)，且g（A）的次數(shù)不小于2。假定僅知道A為一個n階矩陣，設(shè)有條件f（A）=O，判定矩陣多項式g（A）的可逆性。此時根據(jù)文獻(xiàn)[1]，有下面的結(jié)論：

結(jié)論 設(shè)A為一個n階矩陣，C為復(fù)數(shù)域，f（x），g（x）∈C[x]，f（A）=O，且f（x）的根都是A的特征根，則g（A）可逆的充要條件是（f（x），g（x））=1。此時有u（x），v（x）∈C[x]，使得：u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，且g（A）1=v（A）。

當(dāng)A未具體給出時，無法確定有A的特征根是否都是f（x）的根。但f（x）和g（x）互素是g（A）可逆的一個充分條件。

有時，A是一個抽象的n階方陣，其特征值無法確定。若存在多項式p（x）使得f（x）=g（x）p（x）f（A），則可用多項式的輾轉(zhuǎn)相除法求g（A）1[2]，此處就不再進(jìn)行詳盡的討論。

4 結(jié)語

本文以“矩陣多項式求逆矩陣”這一線性代數(shù)中的一類重要問題為例[48]，利用多項式除法的技巧來解決這類問題，給學(xué)生提供多角度、新思路來理解新內(nèi)容，保證高質(zhì)量的教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。

參考文獻(xiàn)：

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基金項目：蘭州文理學(xué)院教育教學(xué)改革項目“基于數(shù)學(xué)建模思想下教學(xué)模式的改革研究—數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用在種群生態(tài)學(xué)方面的能力研究”;國家自然科學(xué)基金資助項目（41772147）;蘭州文理學(xué)院“線上教學(xué)”教改專項立項建設(shè)項目（20200124）

作者簡介：楊海霞（1972— ），女，甘肅天水人，碩士，講師，主要從事生物數(shù)學(xué)方面的研究和教學(xué)工作。