基于高階微分方程構造函數的等價無窮小

劉前芳 何英杰 楊立敏

摘 要：等價無窮小替換是數學學習中一種常見且有效的求極限方法。針對和差運算中的等價無窮小，或是不易找到等價無窮小的函數，通過使用洛必達法則，結合連續函數的定義，構造具有初值條件的高階微分方程，可以找到該函數在指定過程下的等價無窮小函數，從而應用到極限運算或其他計算當中。

關鍵詞：等價無窮小;洛必達法則;高階微分方程

1 緒論

微積分以函數為“體”，極限為“魂”，以極限為工具來研究函數.極限是微積分的理論基礎，是大學數學里極其重要的一部分。求極限的方法有很多種，有定義法、有理化法、洛必達法則、中值定理等[1]，等價無窮小替換也是其中一種簡便的算法。如何正確的找到已知函數的等價無窮小是使用這種方法過程中至關重要的一步。本文研究討論函數在滿足洛必達法則的使用條件下，構造具有初值條件的高階微分方程，從而找到該函數在某個過程下的等價無窮小函數。

2 求已知函數等價無窮小問題的刻畫

首先我們先來了解一下等價無窮小、洛必達法則以及高階微分方程的基本知識。

定義1 設在同一個變化過程下limα=0，limβ=0，limαβ=1，則稱α與β是等價無窮小量，記作α～β[2]。

定理1 x→x0時，α（x）～α1（x），β（x）～β1（x），且limx→x0β1xα1x存在（或SymboleB@），則limx→x0βxαx=limx→x0β1xα1x[2]。

假設要求極限的函數是幾個因子相乘或相除的情形，使用定理1及乘除運算中的等價無窮小替換定理可以簡化原函數的計算，但是相加相減的情況下并不能隨意替換，否則容易出錯。例如，x→0時，tanx-sinx是無窮小量，計算過程中容易錯用等價無窮小代換tanx-sinx～x-x=0，這是不對的，事實上tanx-sinx～12x3。

當然，兩個無窮小量在滿足特定的條件下也可以在和差運算中做無窮小代換，很多學者也給出了相應的總結和證明[36]。但是在實際解題過程中學生容易錯誤的使用等價無窮小和差替代原則，而且有些函數根據它的表達式也很難通過等價變形求出該函數的等價無窮小.那有沒有別的方法可以求出所給函數的等價無窮小呢？即：已知f（x）是x→0的無窮小量，求它在x→0時的等價無窮小g（x）。

定理2（洛必達法則） limx→x0α=0，limx→x0β=0，在點x0的某去心鄰域內，α′、β′都存在，且β′≠0，且limx→x0α′β′存在（或為SymboleB@），則limx→x0αβ=limx→x0α′β′[2]。

求f（x）的等價無窮小這時就可以考慮洛必達法則。f（x）和g（x）是同一過程下的無窮小量，即f（x）和g（x）之比的極限limx→0f（x）g（x）=1，這里f（x）g（x）就是“00”型。假設f（x）和g（x）在0的某個鄰域內有直到n階導數，就可以使用洛必達法則求導數的極限，即：limx→0f′（x）g′（x）=1，假設此時limx→0f′（x）=0，要想f′（x）g′（x）極限為1，則limx→0g′（x）=0，此時f′（x）g′（x）也是“00”型，又滿足了洛必達法則使用條件，再次求導可得limx→0f″（x）g″（x）=1。

這樣依次循環下去直到f（x）某一階導數limx→0f（n）（x）=C≠0，而limx→0f（n）（x）g（n）（x）=1，由此可得：limx→0g（n）（x）=C。教材上常見的某個函數的等價無窮小都是多項式形式，這里我們假設g（x）是一個多項式函數，這樣就得到了一組與g（x）有關的等式：

limx→0g（x）=limx→0g（x）′=……=limx→0g（n-1）（x）=0

limx→0g（n）（x）=C

而多項式函數是連續函數，在其定義域內處處連續，由連續函數的定義可知，它在某一點的極限值就等于這一點的函數值，即：

g（x）x=0=g′（x）x=0=……=g（n-1）（x）x=0=0

g（n）（x）=C

由此構造出了一個高階微分方程，g（n）（x）=C，同時又有n個初值條件，可以解出這個微分方程的特解，即g（x）的表達式，也就是求出了f（x）的等價無窮小g（x）。

上述過程涉及了高階微分方程，下面我們看一下高階微分方程及其解法。

定義2 二階及二階以上的微分方程我們稱之為高階微分方程。高階微分方程y（n）=f（x）可以通過n次積分得以解決[2]。即y（n）=f（x）式可寫成y（n-1）′=f（x），兩邊積分，有：

y（n-1）=f（x）dx+C1

類似地，進一步積分：

y（n-2）=f（x）dx+C1dx+C2

如此進行n次積分便得到式y（n）=f（x）的通解。

如果對應的方程有相應的初值條件，則可以得到y（n）=f（x）的特解。

上述構造的高階微分方程g（n）（x）=C，就可以采用這種解法解出，通過例子可以深入了解這個計算過程。

例1 已知ψ（x）=ln1+x21-x，求ψ（x）在x→0時的等價無窮小ω（x）。

解 采用一般思路，ψ（x）很難通過變形找到它的等價無窮小，但是可以采用本文前面所述的微分方程構造法，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

ψ′（x）=1-x2+2x（1+x2）（1-x），ψ′（0）=1;

則ψ（x）=ln1+x21-x的等價無窮小ω（x）滿足ω′（x）=1

ω（x）x=0=0，解方程ω′（x）=1得通解為：ω（x）=1dx=x+C1，將ω（x）x=0=0代入通解得：C1=0。

可得：ω（x）=x，即在x→0時ln1+x21-x～x

例2 已知ψ（x）=tan2x-sinx2，求ψ（x）在x→0時的等價無窮小ω（x）。

解 已知x→0時，tan2x～x2，sinx2～x2，tan2x-sinx2是否等價于x2-x2？答案是否定的。tan2x-sinx2的等價無窮小可以采用前文所述思路，即已知limx→0ψ（x）ω（x）=1，求ω（x）。

依次求ψ（x）在x=0處的各階導數值，直到某階導數不為0停止，可得：

ω（4）（x）=16

ω（x）x=0=0，ω′（x）x=0=0，ω″（x）x=0=0，ω（x）x=0=0

解方程得：ω（x）=23x4。即在x→0時tan2x-sinx2～23x4。

同樣的方法可以得到：tanx2-sin2x在x→0時的等價無窮小是13x4。可見，對于某些形式非常相似的函數，它們的等價無窮小并不相同，在做題過程中并不能隨意使用等價無窮小替換，要找到合適的方法求出函數正確的等價無窮小。

3 推廣到一般形式

設limx→x0φ（x）=0，且φ（x）在點x0的某鄰域內n階可導，并滿足φ′（x0）=φ″（x0）=φ（x0）=……=φ（n-2）（x0）=φ（n-1）（x0）=0，φ（n）（x0）=A≠0，求φ（x）的一個等價無窮小，設φ（x）的等價無窮小為x的n次多項式函數P（x），則limx→x0φ（x）P（x）=1，那么P（x）必然滿足：

P（n）（x）=A

P（x0）=P′（x0）=P″（x0）=P（x0）=……

=P（n-2）（x0）=P（n-1）（x0）=0

否則limx→x0φ（x）P（x）極限不存在。

這個問題就變成了求具有n個初值條件的y（n）=f（x）型的可降階高階微分方程的一個特解.將P（n）（x）=A兩邊積分，有：

P（n-1）（x）=Adx+C1=A（x-x0）+C1

如此共進行n次積分便得到通解：

P（x）=An！（x-x0）n+C1（n-1）！（x-x0）n-1

+C2（n-2）！（x-x0）n-2+……+Cn-1（x-x0）+Cn

再將初值條件代入即得方程特解，也就是P（x）。

從而可以得到：x→x0時，P（x）～φ（x），即P（x）與φ（x）互為等價無窮小。在求極限limx→x0φ（x）f（x）時就可以轉換成求limx→x0P（x）f（x）。

4 結論

等價無窮小替換是極限計算中的一種重要方法，相乘相除時等價無窮小可以替換，加減運算時使用等價無窮小替換要滿足很多條件，不能隨意替換。本文通過在已知函數滿足洛必達法則的使用條件下，構造具有初值條件的高階微分方程，求解找出函數在某個過程下的等價無窮小函數，進而可以使用該等價無窮小函數進行其他計算。

參考文獻：

[1]劉志清，周琴.淺議0/0型未定式極限的幾種求法[J].科教導刊，2019（13）.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]毛宇彤，喬虎生.關于無窮小量代數和的等價代換的注記[J].大學數學，2019（4）.

[4]王麗華.等價無窮小代換定理在未定型極限中的應用[J].大眾標準化，2020，No.315（04）：170171.

[5]伍廷蜜，肖鵬.數學分析中求極限的幾種重要方法[J].科技風，2020（28）：6465.

[6]蘇燕玲.等價無窮小替換求極限的推廣及應用[J].數學學習與研究，2018（24）：132.

基金項目：自治區本科教育教學研究和改革項目（計算數學軟件及編輯軟件在數學教學研究中的應用）項目負責人：劉前芳

作者簡介：劉前芳（1992— ），女，漢族，碩士，助教，研究方向：微分方程應用;何英杰（2001— ），男，漢族，本科在讀，資源勘查工程專業;楊立敏（1970— ），女，漢族，碩士，副教授，數學系主任，研究方向：toeplitz算子及油氣儲層模型。