基于復阻尼模型等效的黏性阻尼模型時域計算方法

孫攀旭，楊 紅, 2，趙志明，劉慶林

(1. 重慶大學 土木工程學院， 重慶 400045； 2. 重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室， 重慶 400045； 3. 深圳信息職業技術學院 交通與環境學院， 廣東 深圳 518172)

目前，最常用的阻尼模型是黏性阻尼模型和復阻尼模型[1].黏性阻尼模型具有數學簡易性、物理上滿足因果性等優點[2]，但黏性阻尼模型的計算依賴于結構振型阻尼比，結構振型阻尼比通常需要由試驗測定，過程較為復雜[3].復阻尼模型直接依賴于材料的阻尼特性，不需要進行振型阻尼比的測定[4]，但具有時域發散[5]及非因果性[6]等缺陷.因此，尋找兩種阻尼模型之間的等效關系，構建一種等效于復阻尼模型的黏性阻尼模型具有重要意義.

為構建等效復阻尼模型，Yang等[7]依據線彈性體的時域本構關系，采用最小二乘法使其近似等于頻域內的復阻尼本構關系.Reggio等[8]采用Maxwell-Wiechert本構模型，在頻域范圍內近似等效于復阻尼本構模型.Wang[9]在頻域內采用Rayleigh阻尼矩陣等效復阻尼矩陣.李暾等[10]基于譜矩相等原則構建出一種等效復阻尼模型，但上述方法的計算過程較為復雜.文獻[3,11-12]依據復阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振動響應，構建出損耗因子和阻尼比的近似2倍關系.在此基礎上，本文以基于復阻尼模型的頻率相關黏性阻尼模型[13-14]為依據，從結構固有特征恒定的角度出發，構建了材料損耗因子與結構阻尼比的更合理等效關系，進而建立了與復阻尼模型等效的黏性阻尼模型(以下簡稱“復阻尼等效-黏性阻尼模型”).

對于單一阻尼特性材料組成的黏性阻尼體系，阻尼矩陣滿足經典阻尼條件，可直接采用實振型疊加法進行計算[15].在具體結構分析中，采用振型阻尼比構造阻尼矩陣更為直觀方便[16].本文利用材料損耗因子與結構振型阻尼比的等效關系，建立了復阻尼等效-黏性阻尼模型的實振型疊加法.

對于不同阻尼特性材料組成的黏性阻尼體系，阻尼矩陣為非比例阻尼矩陣，實振型疊加法將不再適用.針對非比例阻尼體系，Clough等[15]提出可以通過構造不同阻尼比的子結構，由分塊Rayleigh阻尼矩陣疊加得到非比例阻尼矩陣.在此基礎上，進一步利用狀態空間法實現非比例阻尼體系的復振型疊加法[17-19].但分塊Rayleigh阻尼矩陣的構造依賴于子結構的振型阻尼比，子結構振型阻尼比的確定是困難的.為解決該問題，本文基于新提出的更合理的材料損耗因子與對應子結構振型阻尼比的等效關系，建立了復阻尼等效-黏性阻尼模型的復振型疊加法.

1 損耗因子與阻尼比的等效關系

1.1 復阻尼模型與黏性阻尼模型等效

基于復阻尼模型的單自由度體系時域運動方程為

(1)

式(1)對應的自由振動方程為

(2)

求解式(2)，剔除發散項[21]，可得到對應的自由振動響應為

x(t)=e-λHt(A1sinωHt+A2cosωHt)

(3)

式中：

(4)

基于黏性阻尼模型的單自由度體系時域運動方程為

(5)

式(5)對應的自由振動方程為

(6)

求解式(6)可得

x(t)=e-λVt(C1sinωVt+C2cosωVt)

(7)

式中：

(8)

ωV為結構的有阻尼自振頻率；λV為自由振動的衰減系數；C1和C2為待定系數，可由初值條件確定.

為構建阻尼比與損耗因子的等效關系，依據結構的固有特征恒定，將復阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應等效[3,11-12]，自由振動響應的等效不僅包括衰減系數的等效，還包括有阻尼自由振動頻率的等效，即

λV=λH

(9)

ωV=ωH

(10)

進一步得

式(11)和(12)無法同時成立，表明復阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應是無法直接等效的.究其原因，復阻尼模型的自由振動解需要舍棄發散解，在數學上是非完整解，對應的有阻尼自振頻率和衰減系數均隨著損耗因子的增大而增大.而黏性阻尼模型的有阻尼自振頻率隨著阻尼比的增大而減小，衰減系數隨著阻尼比的增大而增大.因此，理論上復阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振動響應是不能等效的.

1.2 頻率相關黏性阻尼模型與黏性阻尼模型等效

為克服復阻尼模型的時域發散缺陷，依據時頻域轉換原則可得到基于復阻尼模型的頻率相關黏性阻尼模型[13-14]，對應的時域運動方程為

(13)

式中：?為結構的振動頻率.

式(13)對應的自由振動方程為

(14)

求解式(14)可得

x(t)=e-λFt(B1sinωFt+B2cosωFt)

(15)

式中：

(16)

ωF為結構的有阻尼自振頻率；λF為自由振動的衰減系數；B1和B2為待定系數，可由初值條件確定.

頻率相關黏性阻尼模型與黏性阻尼模型等效，可得

(17)

式(17)可轉化為

(18)

(19)

式(18)和(19)是相同的，可得到結構阻尼比與材料損耗因子之間的關系式為

(20)

綜上，頻率相關黏性阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應是可以直接等效的，據此建立的材料損耗因子與結構阻尼比的等效關系具有更合理的物理意義.

將式(20)代入式(6)，將結構有阻尼自振頻率代入式(14)，此時，式(6)和(14)具有相同的數學表達式，即

(21)

式(21)為復阻尼等效-黏性阻尼模型的時域自由振動方程.

基于構建的材料損耗因子與結構阻尼比的等效關系，頻率相關黏性阻尼模型和黏性阻尼模型具有相同的自由振動方程，從而保證了結構的自由振動響應和自由振動耗散能量是相同的.

頻率相關黏性阻尼模型克服了復阻尼模型的時域發散缺陷，但與復阻尼模型的頻響函數相同，仍具有物理上非因果性的缺陷，同時阻尼項中包含結構振動頻率的未知項，計算過程較為復雜.新建立的復阻尼等效-黏性阻尼模型可克服復阻尼模型時域發散、非因果性的缺陷，同時保留了復阻尼模型直接依賴材料損耗因子的便捷性和黏性阻尼模型的數學簡易性，且材料損耗因子與結構阻尼比的等效關系也更合理.

損耗因子較小時，可作如下近似

(22)

式(20)可進一步近似為

(23)

式(23)表明，當損耗因子較小時，損耗因子與阻尼比是近似的2倍關系，與文獻[3,11-12,22-23]中小阻尼比情況下損耗因子與阻尼比的關系是一致的.

在此基礎上，對損耗因子近似為2倍阻尼比的適用范圍進行分析，相對誤差可表示為

(24)

以5%的相對誤差作為界定依據，式(24)可進一步轉化為

(25)

求解式(25)，可得

η≤0.580 8

(26)

綜上，當η≤0.580 8時，損耗因子和2倍阻尼比的相對誤差小于5%，可近似認為損耗因子與阻尼比服從2倍關系.

2 單一阻尼特性材料組成的比例阻尼 體系

基于黏性阻尼模型的多自由度體系運動方程為

(27)

式(27)對應的無阻尼振型向量

(28)

x(t)可由振型向量線性表達：

(29)

單一阻尼特性材料的比例阻尼體系可直接采用實振型疊加法，將式(29)代入式(27)，可得

(30)

n=1,2,…,N

式中：ξn為第n階振型對應的振型阻尼比；ωn為第n階振型對應的無阻尼自振頻率；γn為第n階振型對應的振型參與系數，滿足

(31)

材料的損耗因子在一寬泛的頻率范圍內是近似不變的[4]，因此單一材料結構的振型阻尼比在一寬泛頻率范圍內是近似不變的.通過試驗可直接測得材料的損耗因子，進一步由式(20)可得到振型阻尼比為

(32)

將式(32)代入式(30)，可得到xn(t).由式(29)可得到x(t)，進而完成了式(27)的求解，即實現了復阻尼等效-黏性阻尼模型的實振型疊加法，可方便地計算由單一阻尼特性材料組成的比例阻尼體系的動力響應.

3 不同阻尼特性材料組成的非比例阻 尼體系

對于混合結構而言，無法直接利用材料損耗因子得到整體結構的振型阻尼比.只能依賴于材料損耗因子得到相應子結構對應的振型阻尼比.由式(20)可得

(33)

式中：ξj,n為第j種材料對應子結構第n階振型的振型阻尼比；ηj為第j種材料的損耗因子.

依據子結構的振型阻尼比，需要進一步依賴于Rayleigh阻尼模型，采用分塊Rayleigh阻尼模型構建結構的阻尼矩陣

(34)

式中：S為材料的種類數目；Mj為第j種材料對應的子結構質量矩陣；Kj為第j種材料對應的子結構剛度矩陣；αj和βj為對應的Rayleigh阻尼系數.

選擇結構的兩階重要振型，式(34)可進一步轉化為

(35)

式中：ωm為第m階振型的無阻尼自振頻率；ξj,m、ξj,n第j種材料對應子結構第m階、第n階振型的振型阻尼比.

求解式(35)，可得到Rayleigh阻尼系數，進而得到結構的阻尼矩陣，但通常情況下，結構的阻尼矩陣是非比例的，無法直接采用實振型疊加法.結構運動方程可等價為

(36)

式(36)可進一步表示為

(37)

式中：

式(37)對應的復特征值為

(38)

i=1,2,…,N

式中：σi為第i階振型的衰減系數；ωdi為第i階振型的有阻尼自振頻率.

對應于2N個復特征值的復特征向量為

(39)

令

(40)

由式(38)、(40)可得

(41)

位移向量x(t)可由復特征向量線性表示

(42)

利用復特征向量的正交性，可得

(43)

(44)

4 算例分析

4.1 算例1

如圖1所示，以4自由度體系為例，其具體參數取值見表1，各樓層的材料阻尼特性相同，從而構建了由單一阻尼特性材料組成的算例模型A，材料的損耗因子為0.60.模型A的初始狀態為靜止狀態，分別采用基于復阻尼模型的頻域計算方法(FFZ)和本文提出的復阻尼等效-黏性阻尼模型實振型疊加法(EVR)計算El Centro波和Taft波作用下模型A的動力響應，結果如圖2、3所示.圖中：t為時間，d為位移，a為加速度.其中，基于復阻尼模型的頻域計算方法剔除了方程中的發散項，計算結果可視為精確解[24].不同方法計算的模型A頂層動力響應峰值對比如表2所示.

表1 模型A參數Tab.1 Parameters of Model A

表2 模型A動力響應Tab.2 Dynamic responses of Model A

圖1 模型A示意圖
Fig.1 Schematic diagram of Model A

El Centro波作用下，EVR和FFZ的位移時程響應近似相等，均在t=3.48 s達到位移峰值(圖2(a))，位移峰值的相對誤差為8.55%.EVR和FFZ的加速度時程響應近似相等，EVR在t=11.96 s處達到加速度峰值，FFZ在t=12.00 s處達到加速度峰值(圖2(b))，加速度峰值的相對誤差為9.46%.Taft波作用下，EVR和FFZ的位移時程響應近似相等，EVR在t=4.22 s處達到位移峰值，FFZ在t=4.24 s處達到位移峰值(圖3(a))，位移峰值的相對誤差為3.44%.EVR和FFZ的加速度時程響應近似相等，均在t=4.22 s處達到加速度峰值(圖3(b))，加速度峰值的相對誤差為6.02%.因此，EVR和FFZ的計算結果近似相等，證明了等效于復阻尼模型的黏性阻尼模型實振型疊加法的正確性.

圖2 El Centro波作用下模型A頂層響應Fig.2 Top floor responses of Model A in El Centro wave

圖3 Taft波作用下模型A頂層響應Fig.3 Top floor responses of Model A in Taft wave

4.2 算例2

如圖4所示，以2自由度體系為例，其具體參數取值見表3.第1層和第2層選擇不同阻尼特性的材料，進而構建由不同阻尼特性材料組成的模型B，

圖4 模型B示意圖Fig.4 Schematic diagram of Model B

表3 模型B參數Tab.3 Parameters of Model B

其中，第1層、第2層材料的損耗因子分別為0.70、0.40.

依據第一階振型和第二階振型，可得到模型B對應的分塊Rayleigh阻尼矩陣為

(46)

模型B的初始狀態為靜止狀態，分別采用FFZ和本文提出的復阻尼等效-黏性阻尼模型復振型疊加法(EVC)計算El Centro波和Taft波作用下模型B的動力響應，結果如圖5、6所示.不同方法計算的模型B頂層動力響應峰值對比如表4所示.

表4 模型B動力響應Tab.4 Dynamic responses of Model B

El Centro波作用下，EVC和FFZ的位移時程響應近似相等，EVC在t=12.30 s處達到位移峰值，FFZ在t=12.32 s處達到位移峰值(圖5(a))，位移峰值的相對誤差為3.82%.EVC和FFZ的加速度時程響應近似相等，均在t=11.76 s達到加速度峰值(圖5(b))，加速度峰值的相對誤差為8.54%.Taft波作用下，EVC和FFZ的位移時程響應近似相等，EVC在t=4.02 s處達到位移峰值，FFZ在t=4.04 s處達到位移峰值(圖6(a))，位移峰值的相對誤差為4.15%.EVC和FFZ的加速度時程響應近似相等，均在t=9.84 s處達到加速度峰值(圖6(b))，加速度峰值的相對誤差為9.68%.因此，EVC和FFZ的計算結果近似相等，證明了復阻尼等效-黏性阻尼模型復振型疊加法的正確性.

圖6 Taft地震波作用下模型B頂層響應Fig.6 Top floor responses of Model B in Taft wave

5 結論

(1) 從結構固有特征恒定的角度出發，基于復阻尼模型的頻率相關黏性阻尼模型，建立了材料損耗因子與結構振型阻尼比的合理等效關系.

(2) 依據材料損耗因子與結構振型阻尼比的等效關系，提出了與復阻尼模型等效的黏性阻尼模型，可克服復阻尼模型時域發散、非因果性的缺陷，同時保留了復阻尼模型直接依賴材料損耗因子的便捷性以及黏性阻尼模型的數學簡易性.

(3) 對于由單一阻尼特性材料組成的比例阻尼體系，利用材料損耗因子與結構振型阻尼比相等的特征，建立了與復阻尼模型等效的黏性阻尼模型實振型疊加法.對于由不同阻尼特性材料組成的非比例阻尼體系，利用不同材料的損耗因子與對應子結構的振型阻尼比相等特征，提出了與復阻尼模型等效的黏性阻尼模型復振型疊加法，算例分析驗證了兩種方法的正確性.