小學數學教科書中問題解決的表征研究
——基于荷蘭的啟示與借鑒

衣 瀟 魏 佳

（渤海大學教育科學學院，遼寧 錦州 121000）

一、引言

數學與問題解決密不可分，或者說問題解決是數學的核心。“問題解決”不僅是一種教學形式，且貫穿于整個教育教學之中。在小學數學教學中，問題解決是十分重要的。數學的問題解決是在指定的問題情境中開始的，首先，教師在數學教學中要根據問題的性質、學生所學知識之間的聯系和學生對數學知識的把握情況，進一步創造問題情境，引起學生之間對數學知識了解程度的辯論，能讓學生的思維活動活躍起來，教師可以適當提出幫助，然后學生通過教師對這個問題給予的提示，學生主動的進行分析、探索和提出解決方案、檢驗解決方案等活動，從而讓學生掌握這一數學知識的目的。數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出：問題解決過程必須經歷四個過程，即：理解問題，擬訂方案，執行方案，回顧。［1］

萊斯特（2013）認為，為了提高他們問題解決的能力，學生必須“在很長的一段時間內定期進行有問題的任務”，并且必須有“給予機會的機會，解決各種類型的問題任務”。［2］通過問題解決，學生可以提高數學的基本素養。在小學數學教育中，教科書是小學數學教師教授小學數學知識的主要參考書，也進而決定了小學生所學的數學知識的內容。所以，教科書中的內容對于學生獲得的學習機會（包括問題解決的學習）十分重要。

教科書在我們日常的小學數學教學中起著決定性的作用，對于荷蘭來說，也是如此。本次研究選擇了三本荷蘭小學數學教科書，這三本小學數學教科書分別是《Pluspunt（Plus Point）》（Van Beusekom et al.2009-2013）；《Alles Telt（Everything Counts）》（Van den Bosch-Ploegh et al.2009-2013）；《Rekenwonders（Wonder Calculators）》（Projectgroep Rekenwonders Bazalt Groep 2011-2015）。為了確定小學數學教科書年級之間不同材料的可能差異，本次選于四年級和六年級上半學期內容中包含非常規問題和灰色區域問題進行了研究。

二、問題解決的概念界定

數學的問題解決可分為三類：一類是“常規問題”，波利亞在他的著作中《怎樣解題》（1945年）中定義了常規問題，是指一道題目如果可以通過將特殊數據代入一道以前解過的一般題目中來求解，或者按照某一道成就而明顯的例子依樣畫葫蘆，而無須一絲一毫的獨創，那么這道題目就是一道常規題目。［1］第二類是“非常規問題”，是指在數學課程中沒有準確規定解決這類型問題的一般規則和原理，這種類型的問題不能直接用所學的數學公式進行解決，必須經過探索、在腦海中有一定的思維活動，再加以運用所學的各種數學公式、法則進行計算。第三類就是基于常規問題和非常規問題之間的一種問題，稱之為“灰色區域”。這種題目既不是常規問題又不是非常規問題，但是通過這種問題能夠鍛煉學生的思維能力，是提高學生探究能力的一種數學問題。并且通過多次解決這種問題，可以提高學生非常規問題解決的能力。本次研究只對小學數學教科書中的“非常規問題”和“灰色區域”這兩個層次進行研究，見表1。

表1 非常規問題和灰色區域問題的分類指標

下面列舉了在認知需求有明顯差異的三個問題，即：灰色區域問題、非常規問題和通過示例來進行簡單計算的問題。

第一道題選自荷蘭小學數學教科書Pluspunt，圖1是針對六年級學生的問題，涉及一個魔術框架。這道題先給出了一些數字，學生可以根據所給出的數字，直接導出在左上空單元格中填充的數字。同樣，可以直接從中間列中已經給出的兩個數字中得出在中間單元格中填寫的數字。這樣，求解過程就可以繼續進行，每次可以從同一行、列或對角線中兩個給定或更早填充的數字中填充一個空單元格。由于所給的提示，這道問題所需要的創造性思維和認知要求也受到了限制。但是，它的解決方案路徑不能完全確定，因為解決這道問題需要找到合適的起點，從哪一行或者哪一列出發，并且確定整個解決方案過程中可以采取的下一步是什么。因此，這道問題歸類為灰色區域。但是對于這道“灰色區域”的問題，荷蘭的教科書未提供有關怎樣解決該任務的任何指導。

圖1

第二道題是選于荷蘭小學數學教科書Alles Telt四年級的內容，圖2這道題是一個三角形的魔術框架，框架中的空格必須用數字1-9填充，以使三角形的每一側加起來為17。這道題很可能沒有已知的解決方案應用，并且教科書也沒有提供有關如何解決該問題的說明。因此，這道題需要進行分析，將合計為17的數字相結合，同時要考慮到三角形到拐角處的三個數字結合使用兩次，它們的數字加起來等于17。這道題對于學生來說，提出了更高的認知要求，需要學生擁有創造性的數學思維，所以，這道題歸類為非常規問題。對于這道非常規問題，荷蘭教科書未提供有關如何解決該問題的提示。

圖2

第三道題是選自于荷蘭小學數學教科書Rekenwonders的六年級的問題，圖三這道題涉及條形模型，對于數學的問題解決，建立數學模型，可以使數學明朗化。并且條形模型也被明確表示為解決非常規問題的工具。這道題是通過給出的部分示例來完成的，示例中給出了解決特定問題的步驟，通過模型可以更好地了解問題，學生只需填寫數字即可。因此條形模型作為問題解決的工具，讓問題計算變得更簡單。

圖3 選自Rekenwonders這本書6年級的問題

經過分析的三個小學數學教科書系列都在一定程度上具有包容性的特點，其材料按照適合不同學生群體的問題進行組織。在Pluspunt和Alles Telt中，這包含三個級別的差異化問題：幾乎所有學生都會的問題；對能力較強的學生的認知要求更高的問題；以及對能力較弱的學生尤其是簡單的問題。Rekenwonders這本教科書提供了兩個級別的問題：面向所有學生的問題和針對能力更強的學生的要求更高的問題。因此，在這本教科書中，能力較弱的學生將獲得所有人的問題，而在其他荷蘭教科書系列中，這些學生將獲得較輕松的問題。這意味著與其他荷蘭教科書相比，Rekenwonders實際上為能力較弱的學生提供了更具挑戰性的問題。在Pluspunt和Alles Telt中，大多數非常規問題和灰色區域問題都包含在給能力較強的學生的材料中。在所有教科書系列中，Rekenwonders提供了兩個年級中解決問題最多的任務。Pluspunt 提供了最少的四年級問題解決任務。由于Rekenwonders這本教科書中，也向能力較弱的學生提供了真正的問題解決的任務。這與另外兩本荷蘭教科書的結構不同，在后者中，能力較弱的學生獲得了較容易解決的問題。

在教師指南中也發現：在《Rekenwonders的教師指南》中，提供了問題解決的啟發式方法，例如猜測和檢查。并且明確提到了學習時應該使用啟發式教學。此外，教師指南還提出了一些問題建議，要求學生讓他們知道問題解決的過程。這些措施包括要求學生總結問題的數據，狀況和未知數，并激發他們考慮問題的表示形式。其他教科書幾乎沒有提供任何與Rekenwonders所提供的問題解決相似的學習促進的方法。這三個教科書系列的教師指南確實為學生可能提出的問題提供了建議，但并未為學生問題解決的學習提供建議。僅在少數情況下，Alles Telt會在學生用書中建議您畫一張桌子。在Pluspunt中，有時在教師指南中強調的是，學生應該閱讀問題并系統地工作。

三、啟示與借鑒

教科書分析除了可以直接提供學生學習什么數學知識外，還可以揭示教科書中隱含或隱藏的選擇，尤其是與源于數學教育下不同傳統的教科書之間的比較，可能會為小學數學內容和教學方法提供新的啟示。通過對荷蘭小學數學教科書系列的內容進行分析，和對教科書的組織結構進行分析，發現了教科書中提供的學習機會還應考慮向誰提供了什么內容。根據研究得到了以下幾點啟示：

（一）運用模型對問題進行解決

模型是用數學的語言闡述現實世界中的事。［3］在“數學課程標準”中也說過：數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁。［4］在Rekenwonders這本教材中以條形模型作為問題解決的工具，使問題只需要簡單的計算即可。通過建立模型，在分析中，可以將實際問題進行符號化并從而確定其中的關系，進而寫出由這些符號和關系所確定的數學聯系，然后根據數學模型的特征，可以采用適當的數學思想、方法和數學知識，對數學模型進行求解，從而解決問題。［5］

（二）教科書中適當增加非常規問題和灰色區域問題的數量

Pluspunt和Alles Telt這兩本教科書的大部分的問題都是常規問題，僅有少數的灰色區域和非常規問題。非常規問題很難通過正常的數學知識進行解決，當我們的教科書中沒有包含非常規問題的類型，學生們的非常規問題解決的能力也幾乎沒有。灰色區域問題雖然不具備非常規問題的性質，但是學生們可以通過解決灰色區域問題，為解決非常規問題打下基礎。因此在小學數學教科書中可以適當地把一些常規問題轉化為灰色區域問題，讓學生的問題解決能力有了更高層次的鍛煉，并且提升了學生的數學素養。

（三）教科書可以適當提出問題解決的建議

Rekenwonders這本教科書對于問題解決提供了問題建議，學生在對問題進行解決時，對問題提出的意見進行了解，考慮問題解決的表現形式是否正確。讓學生進一步提高綜合運用所學知識提出和問題解決的能力。

正如Halmos所言：“每個有意義的生活的主要部分是問題的解決”。［6］用弗洛伊登塔爾的話說：“如果人們從不將數學作為解決問題的活動來體驗，那么數學如何成為人們的心智學科呢？”。［7］如果將來的小學數學教科書（可能適用于任何數學教科書）為所有學生提供更多學習問題解決的機會，則獲得此類經驗的機會將大大增加。