模型思想在小學數學教學中的實施策略
——以人教版五上“數學廣角——植樹問題”為例

劉壘（武漢大學第一附屬小學）

一、求解模型的基本思路

數學新課標提出了建立和求解模型的過程：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。因此，可以從主觀和客觀兩個角度來理解模型思想。從主觀上講，模型思想是建立和求解模型的意識與觀念，它是數學素質培養的對象之一；從客觀上講，模型思想是建立和求解模型的方法與策略，它是學生應該掌握的一種數學思想方法。但是，傳統教學方法并不注重模型思想的教學，完成傳統教學訓練后，大多數學生依舊對數學模型的相關概念缺乏了解。這不僅使他們對數學模型的認識依舊停留在初學者水平，也使他們不能深化地理解相關科學概念。

在我國，數學建模教育最早可以追溯到華羅庚等老一輩數學家有意識地向中小學生介紹和普及解決實際問題的建模思想，在具體教學策略實施上面，沈丹丹提出模型思想的教學不僅可以提高學生的創新意識和實踐能力，培養學生提出和解決問題的能力，而且可以通過開展建模活動推動小學數學教育的改革與發展。

在上述理論研究表明模型思想在小學數學教學中具有極其重要的作用，但是，如何將模型思想運用到具體教學過程中，并對教學效果做有效評估尚缺乏研究。故本文將以人教版五年級上冊的“數學廣角—植樹問題”同課異構展示課為契機，利用調查問卷和對比實驗相結合方法，研究和評估以模型思想為核心的數學教學法實施策略上的優勢。

二、研究方法與過程

為了較為嚴謹地證明文獻中的觀點，本次研究所采用的方法是將調查法與對比實驗法相結合。在實驗中，筆者隨機選取了所在學校的五年級兩個班學生為研究對象，并通過發放問卷和談話相結合，對五年級師生做調查，了解并掌握了五年級師生對模型思想的認識情況，并在此基礎上對比用于評估傳統教學方法和基于模型思想的教學方法的差異。

（一）前期調研

在問卷調查中，筆者設計的調查問卷從對模型思想的了解、解決問題過程中的應用、深入學習模型思想的意愿等多個維度研究學生對模型思想的理解。從調查中發現，絕大部分五年級學生對于數學模型思想的了解程度并不高，通過和這些學生的交流，筆者發現，他們大多數人只聽說過相關概念，而那些知道得很全面的學生大多數對數學模型思想的基本概念并不了解。

通過進一步分析調查數據，筆者發現，盡管大部分教師會按照新課標的要求在課堂上提起數學建模或數學模型，但是，受限于傳統教學方法，大部分學生對數學模型思想的認識僅停留在表面。考慮到部分學生認為教師并未在課堂上提及，這表明傳統教學方法無法將數學模型思想作為數學的基本思想被單獨講解。

（二）教學策略設計

為了解決這一問題，筆者按照《數學新課標（2011版）》提出的建立和求解模型的過程，設計具體培養策略如下：

1.注重體驗探究，經歷建構過程。任何一種數學思想方法的形成和掌握都離不開學習主體的自我體驗和探索，而這種體驗和探索即是學習主體對知識的建構過程。就數學模型思想在小學數學教學中的應用而言，從教學目標的設定、教學過程的設計以及反饋和評價都應將過程性考慮在內。因此，筆者在“數學廣角——植樹問題”的教學案例設計中，從問題情境的數學化，即抽象出數學問題，到猜想、嘗試建立數學模型，驗證和修正數學模型，到最后應用數學模型解決相關問題，整個過程都是讓學生主動地去經歷、探究，而非簡單的背記公式或規律。

2.注重媒體工具，提升直觀感知。由于學生在構建數學模型的過程中主要運用的表征方式有符號表征、列表表征和圖解表征，而數學模型最終又要以符號的形式固定下來，因而確立符號模型就需要運用多種媒體技術手段來輔助教學，從而幫助學生提升對數學模型的直觀感知，有效的構建數學模型。因此，在教學資源充足的情況下，教師應盡量使用多種教學媒體技術工具，從而輔助學生構建數學模型。筆者在“數學廣角——植樹問題”的教學設計中就通過使用多媒體技術工具進行演示，使學生直觀感知到將一棵棵樹抽象成一個個點的過程，從而幫助學生理解棵數和間隔數的關系，為后面的規律的得出做好了方法支撐。

3.注重學習方式，突顯主體地位。在傳統教育中教師是課堂的主體，數學課堂是以教師講授為主，學生是課堂的被動者，以被動接受知識為主。這一傳統的學習方式，忽視了學生的主體地位，阻礙了學生應用能力的發展，繼而創新意識也得不到提高。而新課標倡導的自主、合作、探究的學習方式，將學生當作學習的主人，要求學生自主探究，同學間合作交流來掌握數學的基礎知識，以增強學生解決生活問題的能力。

因此，小學數學模型思想的教學就應采用自主、合作、探究的學習方式，將探究貫穿于課堂教學的始終。教師通過設計表格（見下圖）巧妙引導學生自己發現數學知識中隱藏的數學模型，通過學生自主、合作、探究的形式，去解決問題，這樣不僅能讓學生感受到成功的喜悅，也是提高學生學習興趣的重要途徑，同時解決問題的效率也會有較大幅度的提高。

想一想：觀察上表你發現了什么？

植樹問題的探究記錄表

4.注重問題解決，形成網狀結構。傳統的內容編排主要是以知識結構為基礎，由多個問題構成的問題串，但是這種結構往往是線性的。如果以數學模型為核心進行問題解決的教學，構建問題鏈，可構成網狀結構，從而可以最大限度地整合豐富多彩的問題，再利用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。筆者以“數學廣角——植樹問題”為例，可以封閉圓圈植樹問題為核心模型，再演變出其他模型，封閉圓圈植樹中的點與間隔一一對應，長度÷間隔=棵數。再根據實際情況演變出其他模型。

（1）一端栽一端不栽與封閉圓圈植樹模型相同：長度÷間隔=棵數。

（2）兩端都栽：長度÷間隔+1=棵數。

（3）兩端都不栽：長度÷間隔-1=棵數。

通過上述研究我們發現，以模型思想為核心的數學教學法具有如下兩方面作用：

對學生而言，它可以使學生經歷從具體的現實情境中抽象出一般的數學問題，幫助其感受數學學習的現實意義，體會數學抽象能力的必要，感受建立數學模型的成就感，還能使學生在自主學習能力、抽象思維等方面得到更廣闊的發展空間，進而有效提高他們的數學應用意識和應用能力。

對教師而言，教師對數學模型思想的理解與掌握是培養學生對該概念理解與掌握的關鍵性前提，因此，掌握數學模型思想這一結構化的思想方法，對實踐教師提高自身的教學能力和專業領域的發展具有重要的促進作用。