Weber能量法求裂紋齒輪軸的嚙合剛度

馮今昭，高 鵬，劉 暢

(遼寧石油化工大學機械工程學院，遼寧 撫順 113001)

1 引言

在齒輪嚙合的一系列研究中，行星輪系的研究占有很大比重。行星輪系的主要分析方法為有限元法與集中質量法兩種，前者在于建立實體模型后使用有限元軟件進行分析；后者則需要預先計算出剛度參數、質量參數、阻尼參數等，本課題研究的內容主要服務于其中剛度參數計算。目前利用集中質量法分析的對象多數都是完整齒輪，它們剛度計算可以用《GB/T 3480-1997》國家標準、石川法、Weber能量法以及一些原有方法上延伸出的簡便算法進行計算[1]，如文獻[2]基于有限元法對漸開線直齒內齒輪的輪齒剛度進行了簡化計算；文獻[3]以相似理論為基礎，提出了輪齒剛度計算的簡化公式等。

而對于具有裂紋、磨損等典型缺陷的齒輪研究依然是以有限元法為主，集中質量法方面應用較少的原因之一就是裂紋輪齒的剛度計算問題。現有的裂紋齒輪剛度計算主要通過齒型簡化等效來實現，例如文獻[4]采用傳統的懸臂梁簡化，將裂紋處等效成矩形的凹陷以計算輪齒剛度，文獻[5]對整個行星輪系進行簡化后利用能量法對嚙合剛度進行了計算，此外基于將輪齒簡化為梯形與矩形相拼接的石川法也可以用來計算裂紋輪齒剛度。與缺陷齒輪研究相配合，也有不少在各種條件下進行的仿真分析[6]。但是以上輪齒簡化的方法都會帶來一定程度上的誤差，而Weber能量法計算的特點，可以避免將輪齒簡化，直接對裂紋齒輪剛度求解，因此本文利用該種方法計算輪齒嚙合剛度，并且為了擴大本方法的適用范圍，選用一體齒輪軸作為研究對象，同時考慮齒輪軸變形與齒根裂紋對嚙合剛度的影響。

2 軸的有限元分析

在很多研究中往往將軸上的齒輪部分視作集中質量圓盤，作為Jeffcott轉子模型進行分析，但在減速器等處齒輪厚度與軸的長度的比值往往較大，上述方法會產生較大誤差，因此本文將一體齒輪軸作為研究對象，將齒輪軸分成軸與齒兩部分，如圖1所示。去掉輪齒后的部分視作變直徑軸，對其進行有限元分析，求出轉動過程中軸上各點的位移與軸的變形情況，將其結果與輪齒的Weber能量法分析相結合，計算得到齒輪軸在齒根裂紋情況下的齒面剛度。

圖1 齒輪軸分解示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Gear Shaft Decomposition

首先如圖2所示將齒輪軸劃分為6段，7個節點，由于轉軸為空間桿件系統，每個軸單元的運動方程為：

其中，

圖2 齒輪軸節點劃分Fig.2 Gear Shaft Node Division

Fe用下式來表示某一時刻每個節點的受力情況：

式中：ke—空間單元的剛度矩陣；N—作用于i、j兩節點的軸向力；Q—y、z方向的剪力；Mx—扭矩；MY與MZ—繞兩軸的彎矩；I—對y與z軸的主慣性距；Φy與Φz—對y與z軸方向的剪切影響系數；Jk—對x軸的扭轉慣性矩；Ay，Az—梁截面沿y和z軸方向的有效抗剪面積。

一般情況下空間單元具有6個自由度，但對兩端剛性支承的轉軸進行分析時，軸向力和y、z軸的彎矩為0，因此將上式做如下簡化：

同理，對于空間軸單元的質量矩陣也做如上簡化，其結果為：

3 嚙合齒輪的剛度計算

計算單對輪齒嚙合的時變剛度，具體做法是將輪齒視作非均勻懸臂梁，如圖3所示。沿參與嚙合的齒廓將輪齒分為一系列矩形微元i，在嚙合齒廓上任意點j處承受載荷Wj，在Wj作用下各微元均發生一定形變。齒體各微元形變的累加變形qbj、應力接觸面處局部變形qcj、齒根處基體的變形qfj三者相加作為j點處沿Wj方向的形變qj；假設一對嚙合齒輪接觸面的總變形分別為qj1與qj2，則嚙合點j處的嚙合剛度KJ=Wj/(qj1+qj2)。

3.1 齒根裂紋情況下的齒體形變

首先，裂紋引起的不規則輪齒，如圖4所示。假設裂紋發生在齒根圓與基圓之間的G點，裂紋深度g與x′軸方向成θ°角，載荷作用于j點。此時由于齒根已經開裂，G點至j點間的齒面不受張力影響，將裂紋尖端與j點連線，與G點一同構成的陰影區域處于不受外加載荷影響的狀態。則可將輪齒視作陰影部分缺失的不規則輪齒，計算其嚙合剛度。

圖4 裂紋引起的不規則輪齒Fig.4 Irregular Gear Teeth Caused by Cracks

對于圖3中完整輪齒的剛度，文獻[7]在前人公式的基礎上對用Weber能量法求解的過程進行了詳細推導，設qbij為單個微元在Wj影響下的變形量，則有：

式中：Ee—根據齒寬確定的有效彈性模量；βj—Wj與y′軸夾角；Sij—i與j在x′軸方向上的距離；Yj—j點處半個齒厚值；Li，Ai—微元的寬度與橫截面積；ν—泊松比。

而對不完整輪齒進行微元劃分計算時，上式中Ii與Ai會發生變化，為求得變化后的參數，需要作出裂紋產生的直線方程與齒廓方程，如圖5所示。

圖5 缺陷輪齒微元劃分Fig.5 Microelement Division of Defective Gear Tooth

3.1.1 直線方程

假設裂紋起點在齒根圓與基圓之間，rf、rb分別為齒根圓與基圓半徑，s′為起點處齒厚，則t時刻裂紋尖端坐標為：

式 中：s′=r′/r·s+2r′·( inv(α)-inv(α′))，cosα′=—分度圓與G點所在圓上的壓力角、齒厚、半徑。

設t時刻載荷作用點j的坐標為(x1,y1)，則裂紋導致產生的直線L的方程為：

3.1.2 齒廓參數方程

漸開線齒廓的參數方程為：

此方程是建立在圖6左的x-y坐標系下，需要將坐標轉換到與上圖同樣的x′-y′坐標系下進行計算。

圖6 坐標系轉換Fig.6 Coordinate Transformation

利用圖6右所示某點在兩坐標系上坐標的聯系：

可得出旋轉后坐標系下的漸開線方程：

式中：β—x-y坐標系到x′-y′坐標系的轉角，即單個輪齒對應

圓心角的一半；γ=arctan(y/x)

假設在t時刻，微元i上下兩端的直線與齒廓的y軸坐標分別為yi″和yi′，且yi″-yi′=hi，則有：

將受到裂紋影響后的各參數帶入(8)式中可得到裂紋輪齒的齒體形變。

3.2 齒根裂紋情況下的接觸面形變

文獻[8]對齒輪傳動嚙合點處的接觸變形進行探討，得出了適用范圍較廣且計算相對簡便的局部接觸變形公式：

式中：Wj—嚙合點處法向載荷，E12e=2E1eE2e/(E1e+E2e)

3.3 齒根裂紋情況下的基體形變

根據文獻[9]的計算推導，可得出基體形變的計算公式：首先依據齒寬B與節點處齒厚Hp的比值來確定種類，B/Hp＞5為寬齒，B/Hp＜5為窄齒。窄齒與寬齒的基體形變依次為：

其中，Lf=xj-xM-yjtan(βj);Hf=2yM

3.4 剛度計算

將上述計算結果相加即可得出嚙合輪齒的總變形量：

即得出最終的輪齒變形量：q12=q12′+q12′′

4 實例計算

一對嚙合齒輪，傳遞功率4kW，n1=247r/min，m=4，z1=73，z2=25，b1=78，b2=84，小齒輪為45鋼調制處理，大齒輪為ZG310-570正火處理。裂紋產生于主動輪齒根處，裂紋深度5mm，裂紋傾斜角10°，求單齒嚙合時的嚙合剛度。

首先利用靜力學求出各節點初始位移y0：

再利用Matlab進行有限元編程，得出軸段各節點隨齒輪軸轉動產生位移的情況。由于轉動起始瞬間齒輪軸呈大幅無規則振動，因此采用后面平穩運行時的數據進行計算，并將其結果用式進行加工，以加入輪齒的總變形量。

由式(7)、式(15)、式(17)分別計算出輪齒各分部分形變，并與相加，得出輪齒的總變形量。一對嚙合齒面的變形量，如圖7所示。最后利用式(19)計算出輪齒的嚙合剛度，如圖8所示。裂紋齒輪剛度與去掉裂紋因素的完整齒輪剛度比較，如圖9所示。可以看出剛度變化趨勢大體一致，但是受裂紋影響整體剛度下降，并且剛度最大處有所偏移。

圖7 嚙合齒面形變Fig.7 Deformation Stiffness of Meshing Tooth Surface

圖8 裂紋輪齒的嚙合剛度Fig.8 Mesh Stiffness of Cracked Teeth

圖9 單齒嚙合時的剛度比較Fig.9 Stiffness Comparison of Single Tooth Meshing

5 結論

以weber能量法為基礎計算了齒根裂紋條件下的相關問題，而由于部分傳動機構使用的是一體齒輪軸而不是軸鍵連接的齒輪，因此同時又將計算嚙合齒輪擴展到計算嚙合齒輪軸，為這一部分機構的剛度計算提供新的思路。剛度計算手段的增加，意味著可以更加充分的利用集中質量法對齒輪問題分析求解，避免了仿真模擬中網格劃分、接觸面設定困難，以及計算耗時等缺點。

綜上，所用方法裂紋因素加入到weber能量法的原公式中，省掉了齒型等效簡化的過程，可以直接對輪齒進行計算，沒有增加計算負擔，且計算結果無過大誤差。鑒于集中質量法在機械部件的設計與研究中應用的廣泛性，對它的適用范圍與算法的擴充就顯得尤為重要。因此本文使用的裂紋齒輪剛度計算方法可作為一種新的剛度計算手段服務于裂紋齒輪的集中質量法研究。