大長細比伸縮臂的非線性位移相似關系研究

曹旭陽，董 想，顧振華

(大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024)

1 引言

伸縮臂是一種被廣泛使用的起重機臂架形式，具有較為顯著的優點，主要體現在當作業幅度相對較小時能夠獲得更高的起重能力，而在相同的起重性能的條件下又能實現更大的作業范圍和高度。隨著整體起重能力的不斷升級，伸縮臂為滿足高承載、大作業高度和輕量化等要求，逐漸朝著大長細比結構發展。

伸縮臂變形的位移，或稱屈曲，是其力學性能的重要考量因素。大長細比的結構使得其位移分析呈現顯著的非線性特征[1]，這極大地增加了伸縮臂分析和設計工作的難度。有限單元法是一種有效的力學問題的數值計算方法，應用有限單元法進行伸縮臂的位移分析[2-6]有助于解決復雜的臂架受力問題。近年來，眾多學者的相關研究使得伸縮臂的屈曲位移分析方法日益成熟。文獻[7]以非線性屈曲分析的弧長法來研究伸縮起重臂在實際工況下的非線性局部屈曲問題，并對ANSYS軟件進行重新開發，得到了懸臂非線性局部屈曲的臨界應力解。文獻[8]使用Riks方法進行非線性屈曲分析，采用擾動有限元模型來研究由復合制造過程產生的實腹結構穩定性行為的影響。文獻[9]引入邊界條件和變形協調方程，通過建立不穩定臨界狀態下懸臂和支柱的彎扭變形微分方程，得到平面外屈曲特征方程的解析表達式。文獻[10]建立了橫力作業下伸縮起重臂模型的撓度微分方程，在適當的邊界條件下，給出了屈曲特征方程的遞推公式。文獻[11]考慮到與弦連接的腹板構件的約束效應，在分析中將十字型桁架結構合理地簡化以獲得單個弦的屈曲載荷，通過梁柱理論建立了相應的簡化力學模型。文獻[12]基于縱橫彎曲理論，建立了彈性支撐條件下變截面階梯柱撓曲微分平衡方程，結合邊界條件，得到了任意階變截面階梯柱端部撓度及結構失穩特征方程的精確遞推表達式。文獻[13]為研究影響伸縮臂起重能力的不同因素的作用機理和水平，基于非線性有限元方法建立了多組伸縮臂模型，采用弧長法分析整體過程中的結構非線性變形。文獻[14]提出了一種應用臨時約束的方法來防止由于大臂傾斜而引起的非收斂問題，應用增量載荷法、增量位移法和牛頓拉夫遜法來評估完整的載荷與撓度響應和準確的臨界載荷。文獻[15]基于同向旋轉方法，定義嵌入坐標系，并給出了子結構單元的節點力平衡方程和切向剛度矩陣。文獻[16]運用相似理論對液壓機機身結構進行分析，簡歷相似關系，準確預測了液壓機原型的變形量及應力值。文獻[17]對伸縮臂進行有限元分析和優化，對原有結構進行了改進，在減輕重量的同時，使伸縮臂各構件的受力更加均勻。

伸縮臂的位移分析是大型臂架類起重機設計工作的重要指標，直接影響到起重機的工作性能及工作安全性。針對大型起重機設計周期長且缺乏系統的產品型譜規劃及系列化設計方法和理論基礎的現狀，應用相似理論，分析起重機伸縮臂的屈曲位移，通過研究伸縮臂位移的相似關系，實現大長細比伸縮臂的非線性位移的快速求解，并以此指導伸縮臂的設計，提高伸縮臂的位移分析和設計工作的效率。

2 伸縮臂屈曲計算的力學基礎

2.1 伸縮臂的受力模型

伸縮起重臂的結構形式為嵌套式連接的箱形臂結構。以一個包含3個節臂的伸縮起重臂為例，其結構簡圖，如圖1所示。從基本臂(底節臂)到頂節臂層層嵌套，各節臂的截面形狀基本保持不變，隨著越靠近頂節截面尺寸逐漸減小，臂節的長度也相應縮短，因而基本臂截面最大，長度也最大。

圖1 伸縮起重臂結構簡圖Fig.1 Structure of the Telescopic Toom

伸縮起重臂主要的受力來源有四個，分別是底節臂上兩個鉸支點處的力，頂部吊點位置的力和臂架自身所受的重力。在做受力分析計算時，將臂架分別落到變幅平面和回轉平面內研究是一種可行而有效的做法。在變幅平面內分析時，可將伸縮臂簡化成一個變截面外伸梁模型，底節臂上的支點簡化成鉸支點；在回轉平面內分析時，可將伸縮臂簡化成一個變截面懸臂梁模型。

伸縮臂在變幅平面內的受力簡圖，如圖2所示。在變幅平面內，定義臂架底部的鉸點為坐標原點，臂架軸線方向向上為x軸正方向，垂直于x軸并向下的方向為y軸正方向。伸縮起重臂受到臂端的軸向力T，橫向力P和彎矩Mf，除此之外還受到整體臂架自身重力的影響。

圖2 伸縮臂變幅平面受力簡圖Fig.2 Schematic Diagram of the Deflection Plane of the Telescopic Arm

伸縮臂在回轉平面內的受力簡圖，如圖3所示。在回轉平面內，定義臂架底部的鉸點為坐標原點，臂架軸線方向從臂架底部到臂架頂部的方向為x軸正方向，垂直于x軸并向下的方向為z軸正方向。伸縮起重臂僅受到臂端的側向力P，軸向力T和彎矩Mh。由于重力方向并不在回轉平面內，因而臂架自重的影響只在變幅平面內考慮。

圖3 伸縮臂回轉平面受力簡圖Fig.3 Force Diagram of the Rotating Plane of the Telescopic Arm

2.2 伸縮臂在大位移理論下的描述

傳統的線性梁的模型屬于小變形小位移情況，即一階理論的應用范疇。一階理論相較于二階理論主要的區別是沒有考慮軸向力的影響。對于一般的梁模型，若其只受到軸向力作用而不受到任何的橫向力的影響的話，則是一個典型的壓桿穩定的問題；若其只受到橫向力的影響而沒有軸向力存在的話，則是純彎曲問題，不涉及二階理論。若梁模型同時受到橫向力和軸向力的作用，二者均不能忽略，則會產生二階效應，其計算需要依據二階理論進行。二階梁模型受力簡圖，如圖4所示。

圖4 二階梁模型受力簡圖Fig.4 Force Diagram of the Second-Order Beam Model

一階理論下彎矩和撓度的計算公式：

二階理論下彎矩和撓度的計算公式：

式中：M0—一階理論下梁內部彎矩；Δ0—一階理論下梁端點撓度；l—梁的總長；E—彈性模量；I—梁身截面的慣性矩；M—二階理論下梁內部彎矩；Δ—二階理論下梁端點撓度；K——中間變量，；Tcr——臨界軸向力，也稱為臨界壓力，基于壓桿穩定理論，Tcr=

對比式(1)和式(2)可知，二階理論相比于一階理論最大的不同在于考慮了軸向力產生的彎矩，而這一彎矩的產生與變形有關，變形的增加會加劇二階效應的影響。相比較而言，顯然二階理論提供的計算方法所能實現的計算精度比一階理論要高出很多，但是在大位移的情況下，二階理論也會出現不適用的情況，而此時就需要涉及大位移理論。大位移梁模型受力簡圖，如圖5所示。

圖5 大位移梁模型受力簡圖Fig.5 Stress Diagram of Large Displacement Beam Model

大位移理論下彎矩的計算：

對比圖4和圖5可知，大位移理論考慮了臂端在x軸方向的位移，而二階理論沒有考慮，這就是這兩者最大的區別，這一點也同樣體現在兩種理論下彎矩的計算公式上。

3 伸縮臂的相似關系建立

3.1 方程分析法推導相似約束關系

應用方程分析法推導相似準則是一種比較有效的方法，此方法使用的前提是列出一個或一組能夠用來有效描述物理現象的方程(通常是微分方程)。現有的研究手段僅能就線性的微分方程應用方程分析法推導出相似準則，研究范疇內僅能將方程分析法作為一種輔助手段，推導出一些相似約束關系。

純彎曲理論的精確的撓度微分方程：

基于大位移理論的臂架內部彎矩的計算：

結合式(4)和式(5)，得：

原型的撓度微分方程形，如式(6)所示。對于模型的各項物理量以上標“＇”表出，得模型的撓度微分方程：

通過相似比將模型中的物理量轉換成原型中相應的物理量，則式(7)可改寫成：

式中：C1—慣性矩相似比，其數值等于原型產品的慣性矩與模型產品的慣性矩相除之商。其他相似比類似。

假定在臂架設計的過程中選用相同的材料，則關于材料屬性的相似比均為1，即：

結合式(6)、式(8)和式(9)，得：

從式(10)還無法總結具體的相似關系，而對于此式，若不補充具體的相似比條件，則已經是最簡形式，因此有必要在此處補充新的相似比條件。假定撓度與水平軸位置的相似比是相等的，其實際含義為撓度的大小變化倍數與水平軸變化的倍數相同，其數學描述式如下：

水平軸位置的變化包含了初始狀態下臂長的數值，因而有：

將式(12)代入到式(10)，得：

對上式進行一些變化，可得：

對于伸縮臂臂端受到的橫向力和軸向力，有：

根據載荷相似的單值條件，模型與原型臂架的仰角被假定成是不變的。結合式(14)和式(15)，得：

值得注意的是，式(16)中非相似比的各變量都是原型系統中的物理量，這也符合以分析原型為基礎的相似關系研究思路。

3.2 量綱分析法推導相似準則

量綱分析法是基于量綱齊次原則發展而成的，作為一種推導相似準則的方法操作最為方便，也比較有效，只需選擇好能夠表征相應現象的合適的物理量就能快速獲得其相似準則，并不需要列舉任何物理方程，對于那些內部機理尚不清晰，運動規律并未掌握的現象尤為有效。

研究選取在力系統的基本量綱下進行。盡管牽涉到運動分析，但由于臂架系統的各項特性不受時間參數影響，不涉及時間量綱S。完整的反映系統的各物理量及其量綱形式，如表1所示。

表1 伸縮臂模型各物理量及其量綱Tab.1 Physical Quantities of the Telescopic Arm Model and Their Dimensions

對于10個完整構成物理系統的物理量，每個物理量有各自的量綱組成。給這些量綱各自一個指數再以乘積的形式組合到一起：

將上式進行變換，得：

相似準則的推導實際上就是對式(18)求解，由于式(18)的解不唯一，任何一組能滿足其關系式的解都可以構成一組相似準則。但實際操作中，選取合適的相似準則形式可以極大地簡化后續推導和試驗的難度。

將式(18)轉換成矩陣形式：

求上式通解，得：

上式中的每個特解各對應一個相似準則，由此可得8個相似準則：

由式(15)，可得：

由于相似準則為不變量，則上式中的角度量θ在相似關系中需保持恒定，即在相似關系研究范圍內，原型臂架與模型臂架工作狀況下的仰角恒定。這就是載荷相似單值條件中給出仰角相似比等于1的原因。

由式(12)，可知形如∏5和∏6的單項式在原型和模型之間保持不變，這也符合相似準則為不變量的原則。

量綱分析法推導相似準則，簡單易操作，以相似準則為不變量的原則可進而推導的一套完整的相似關系。但是量綱分析法所得的相似關系是線性的，是一種近似關系，因相似準則都是單項式的形式，與之對應的相似比關系是線性的。這種線性的相似關系并不是本課題研究所希望得到的結果。

式(21)所列出的8個相似準則中，∏4已由載荷相似單值條件定義其不變量特性成立，此外∏5和∏6已由補充條件式(12)說明其不變量特性。

3.3 相似關系的建立

方程分析法和量綱分析法都是相似準則的推導方法。若提供的方程為一線性方程，則應用方程分析法可以得到和量綱分析法同等的結果。若提供的方程為非線性方程，則無法推導出相似準則，但能得到一組相似比之間的關系式，這是一種非線性的關系。

簡單來說，量綱分析法能夠推導出相似準則，但所得的相似關系是線性的；方程分析法不能推導出相似準則，但能得到非線性的相似關系，但是不能構成完整的相似關系。以方程分析法推導所得的相似比關系式為核心，從量綱分析法所得的相似準則中選擇部分具有明顯線性關系的作為相似關系的補充，以此構成完整的同時具有非線性特性的相似關系。

形如式(4)的二階非線性微分方程的解是三次函數形式，因而δ和l的相似比間存在的函數關系式最多是三階的，即：

式中：ξ1,ξ2,ξ3,ξ4——待定系數。

將原型的δ和l參數的數值作歸零化處理，則：

結合式(23)和式(24)，可得：

將式(23)等式兩邊對C1求導，得：

將原型的δ和l參數的數值作歸零化處理，由式(23)可知Cδ是Cl的高階無窮小值，可推得：

同上理，進而可得：

至此式(23)可改寫為：

將式(29)代入式(16)，得：

假定Cw=Cl=CF=CI=1，即模型與原型完全相同的情況，代入式(30)，可得：

則式(30)可改寫成：

上式即為變幅平面內伸縮起重臂單元的位移相似關系表達式，也是其相似設計的基礎。此處需要注意，此前所得的局部相似關系式，如式(12)和式(23)，為理論計算過程中給定的初始關系，不應作為應用的依據。而式(32)為最終所得單元位移相似關系表達式，對于具體伸縮臂間相似關系的計算僅以此式為基準。

由于這里的一些推導過程中不可避免地使用了近似替代，所得的相似關系并不是完全精確的理論公式，因而當原型與模型的某項參數的相似比較大時，結果會產生較大偏差。

在回轉平面內，伸縮起重臂依然受到臂端軸向力T的作用，但橫向上受力變為動載載荷和慣性力以及風載的合力，以P表示這部分力。此時軸向力與橫向上的力依舊具有比例關系，則式(16)可改寫為：

將式(29)和式(32)代入上式，得：

經典的有限單元法從位移方程出發計算整體位移，將位移相似比關系式代入有限單元法，以單元位移相似比關系替換原有的單元形函數，通過迭代計算可得整體臂架的位移相似關系，利用有限單元法的單元集結方法完成從單元的位移相似關系到整體臂架的位移相似關系的轉換。

4 伸縮臂相似關系驗證實驗

研究安排了實驗對所得的位移相似關系進行驗證。實驗主要驗證變幅平面內臂架的撓度與各設計參數間的關系。設計并制造了4組實驗模型，均為箱形臂的結構，主體結構相似，臂長和截面尺寸參數不相同。一號實驗模型的結構示意圖，如圖6所示。

圖6 實驗模型一示意圖Fig.6 Schematic Diagram of the Experimental Model

臂架的截面形狀為矩形，為四塊鋼板焊接而成，鋼板厚度均選為6毫米，材料為Q345B鋼。模型一由三節臂拼接而成，各節臂截面尺寸不同，相互嵌套，在連接處布置有尼龍墊板并以螺栓螺母連接，保證連接處傳力平穩。實驗模型一具體尺寸參數，如表2所示。

表2 實驗模型一尺寸參數Tab.2 Size Parameters of Experimental Model One

其余三組實驗模型的結構相比于模型一取消了多節臂拼接的形式，而以恒截面臂形式替代，且后三組模型的臂長相同。這種多組不同截面尺寸的恒截面臂進行對比的實驗方案更便于總結截面尺寸變化對力學性能的影響。材料方面仍采用6mm厚的Q345B鋼板。其具體尺寸參數，如表3所示。

表3 實驗模型二、三、四尺寸參數Tab.3 Experimental Model Second,Third and Fourth Size Parameters

實驗中被吊物質量分別選取為1050kg和1680kg，每個實驗模型都需按由輕到重的順序進行兩種載荷的測試。臂架的自然狀態仰角選為20°和50°，每個實驗模型都需按由小仰角到大仰角的順序進行測試。實驗模型實物圖，如圖7所示。

圖7 實驗模型Fig.7 Experimental Model

每個實驗模型上都安排了三處測量點以安裝傳感器進行數據測量，測量點均布置在臂架的下表面，傳感器置于測量點豎直下方的水平地面上。一號測量點靠近臂架頂端，但仍保持一段距離；二號測量點布置在頂節臂與中間節臂連接的位置，三號測點布置在支撐桿與臂架鉸接位置處。傳感器將記錄下一段時間內測量點到地面的距離，其中一、二號測點是為描述測點位移量，而三號測點進行測距再以反三角函數關系計算臂架變形后的仰角。以仰角、臂長和測點位置信息可推導出臂架的自然狀態位置，而一、二測點所測得的數據描述了變形后的位置，前后位置信息對比之下可得出一、二兩處測點位置的位移量。實驗模型一的測量點位置，如圖8所示。

圖8 模型一測量點示意圖Fig.8 Schematic Diagram of the Measurement Point of Model One

設定工況一下吊物重量為1050kg，小仰角；工況二下吊物重量為1680kg，小仰角；工況三下吊物重量為1050kg，大仰角；工況四下吊物重量為1680kg，大仰角。各實驗模型獲得的仰角和兩處測點位置的位移數據，如表4～表6所示。

表4 模型實測仰角Tab.4 The Measured Elevation Angle of the Model

表5 測點一位移Tab.5 Displacement of Point One

表6 測點二位移Tab.6 Displacement of Point Two

實驗數據的對比分析分為3組，依次分別是：模型實驗二對比模型實驗三，模型實驗三對比模型實驗四，模型實驗一對比模型實驗三。均采用較大載荷的工況進行對比。每一對對比分析分為正向對比和反向對比，其區別在于對比實驗中以何為原型，又以何為模型。取對比實驗中的前者為原型稱為正向對比，取后者為原型稱為反向對比。每組對比皆包含兩種工況下的對比。具體的對比結果，如表7～表8所示。基于表5和表6，直接考量載荷相似因素對于位移相似關系的影響，選擇模型一和模型二的實驗結果進行這方面的對比。此處規定以小載荷的工作情況為原型的對比稱作正向對比，以大載荷的工作情況為原型的對比稱作反向對比。對比之下研究所得的相似設計方法產生的誤差結果，如表9所示。

表7 測點一位移相似設計方法相對誤差Tab.7 Relative Error of Similar Design Method for Point 1 Displacement

表8 測點二位移相似設計方法相對誤差Tab.8 Relative Error of Similar Design Method for Point 2 Displacement

表9 相似設計方法關于載荷相似的相對誤差Tab.9 Similar Design Methods for Relative Errors of Load Similarity

分析表7～表9可知，相似關系計算與實驗結果對比產生的誤差數據中，同一實驗模型的不同工況的相似對比誤差接近，同組對比中的正向對比和反向對比得到的誤差也很接近，而模型二與其他模型進行的對比所得的誤差較大。由于實驗模型的制造和安裝過程中的不可控因素較多，而單純的不同工況的對比僅進行不同載荷的實驗，載荷數據可精確測得且基本無其他干擾因素，相同實驗模型的不同工況的相似對比誤差接近，因而研究所得的相似關系式具有很高的一致性。同組對比中的正向對比和反向對比基于相同的實驗數據，同樣有比較接近的誤差值，再次驗證相似關系式的一致性，且說明這種相似關系是相互的。模型二與其他模型進行的對比所得的誤差較大，但模型二的不同工況間對比所得誤差很低，推測模型二具有一定的制造或安裝誤差。研究所得的相似關系式具有較好的一致性，整體實驗數據推導的誤差符合預期。說明課題研究思路正確，所得的相似關系具有一定的可靠性。

5 結論

針對國內伸縮臂設計領域的產品繼承性不足和缺乏有效的系列化設計方法的問題，從伸縮臂屈曲分析出發，利用大位移理論對伸縮臂問題進行描述，將其力學描述式代入相似理論的方程分析法以推導相似約束關系，以量綱分析法推導所得的相似準則作為補充推導伸縮臂位移的相似關系式。

以4組實驗模型各自進行4種工況下關鍵位置的位移測試，選取不同實驗模型和不同載荷情況下實驗所得的位移數據分別進行共計40組的對比分析，通過研究所得的相似關系式預測各組對比模型的位移相似關系，并將其與實驗測得的位移相似關系進行對比。對比結果符合預期，表明研究所得的相似關系式具有一定的可靠性。