慣性/衛星導航系統實際導航性能評估算法

彭旭飛，祖肇梓，朱成陣，祁鳴東

（中國航空工業集團公司西安飛行自動控制研究所，陜西西安，710065）

關鍵字：慣性/衛星組合導航；卡爾曼濾波；高斯分布；95%概率誤差圓；實際導航性能

0 引言

隨著航空產業蓬勃發展，空中交通日益繁忙。為了提高空域利用率并降低飛行成本，國際民航組織提出了基于性能的導航（Performance Based Navigation，PBN）的概念，發布了基于性能導航手冊（ICAO 9613）用以規范區域導航的命名、技術標準等[1]。在這一體系下，飛機由傳統的依靠地面導航設施逐個導航點向臺、背臺飛行，轉變為實施區域導航（Area Navigation，RNAV），即在導航信號范圍內按照優化的航跡進行飛行，從而減少了對陸基導航設施的依賴，提高了空域容量。在RNAV的基礎上增加監視和告警功能，即為所需導航性能（Required Navigation Performance，RNP）。傳統導航、RNAV、RNP的對比如圖1所示[2]。

圖1 傳統導航、RNAV和RNP

在RNP運行體系下，導航由對特定導航設備的要求轉變為對導航系統的性能要求。其中對精度要求為：在至少95%概率下，導航系統的誤差不大于RNP規定的門限值[3-4]。因此，為了保證飛機安全飛行，要對其導航系統的性能進行評估,指標為實際導航性能（Actual Navigation Performance,ANP）。

目前飛機主流的導航設施有慣性導航、衛星導航、測距儀、甚高頻全向信標等。在RNP精度、完好性、連續性、可用性的相關要求下，單一導航系統無法滿足要求，因而常將不同體制的導航系統進行組合。其中慣性導航不需要外來信息，也不向外輻射信息，可自主隱蔽工作，且輸出信息齊全，但是其導航誤差隨時間積累。衛星導航根據接收到的導航信號解算載體的位置速度，長期穩定性好，但是易受干擾和認為控制。慣性/衛星組合導航可以克服各自缺點，取長補短，是機載導航常用的組合導航方式，也是實現RNP運行的配置要求[5-6]。

本文提出了慣性/衛星組合導航系統實際導航性能評估算法，從卡爾曼濾波器位置協方差矩陣開展分析，結合導航數據二維高斯分布特性，求解出標準誤差橢圓。根據概率分布特性，將誤差橢圓轉換為95%概率誤差圓，進而計算出ANP值。算法切實可行，便于工程實踐。

1 慣性/衛星組合導航

在工程實踐中?？柭鼮V波器實現慣性/衛星組合導航。卡爾曼濾波的實質為最優估計，從概率統計最優的角度估計出系統誤差并消除，使得慣性導航和衛星導航的數據相互滲透，有機結合。

卡爾曼濾波主要包括時間更新和量測更新兩個過程。時間更新為[7-9]：

量測更新為

為狀態變量，在慣性/衛星組合導航中取：

式中，δL,δλ為緯度誤差、經度誤差，δVE,δVN為東向速度誤差、北向速度誤差，φE,φN,φU為平臺誤差角，εbx,εby,εbz為陀螺隨機漂移，?x, ?y為加速度計零偏。

φk.k-1是一步轉移矩陣，是卡爾曼濾波狀態矩陣的離散化形式。

式中，φINS,k.k-1對應于7個基本導航參數的系統矩陣，可通過捷聯慣導的位置誤差方程、速度誤差方程和姿態誤差方程推導而出，φM,k.k-1為基本導航參數與陀螺和加速度計誤差間的變換矩陣，φN,k.k-1為陀螺和加速度計等誤差狀態量對應的系統矩陣。

Pk為狀態變量的協方差陣，可表征最優估計的精度；Qk為系統噪聲協方差陣，Rk為測量噪聲協方差陣，可表征測量的誤差。

Zk為構建的測量值，在慣性/衛星松組合中，選取位置誤差、速度誤差為觀測值，可選取為：

Hk為測量矩陣，其參數選取與狀態變量和測量值有關，此處：

以上參數確定之后，即可啟動卡爾曼濾波。在每一個濾波周期估算出位置誤差和速度差后，用以修正慣性導航的位置、速度輸出，即得到了慣性/衛星組合導航的位置、速度輸出。

由于導航傳感器存在誤差，會導致飛機的估計位置偏離真實位置而產生定位誤差。在慣性/衛星組合導航模式下，該誤差矩陣可由卡爾曼濾波器的協方差陣中分割而出，進一步分析計算，可用于評估組合導航系統的實際導航性能。

2 實際導航性能評估

2.1 二維正態分布與誤差橢圓

導航系統的誤差是導航系統估計位置與實際位置的差值，其95%概率下的誤差范圍就是位置不確定度，可以用來表征實際導航性能。

飛機導航系統中通過卡爾曼濾波器實現不同導航源的數據融合?？柭鼮V波器的協方差陣可用來表征隨機誤差估計值。通常，位置估計的水平隨機誤差服從二維正態分布。

二維正態分布的概率密度函數為

式中，μ1，μ2是均值或者期望，σ1,σ2是標準差，ρ是相關系數。如圖2所示。

圖2 二維正態分布圖

該分布的俯視圖為橢圓，橢圓的偏心率、大小、方向與協方差陣有關，其中協方差矩陣對角線上的元素決定橢圓是圓的還是扁的，而協方差矩陣非對角線上的元素決定橢圓的方向，其關系如圖3所示[10]。

圖3 協方差陣與誤差橢圓的關系

2.2 1σ等概率誤差橢圓

組合導航系統的位置估計誤差在水平面內包括經度誤差和緯度誤差，為非水平面直角坐標表示，而 RNP 值用海里表示，因此需要將經緯度誤差轉化為水平面直角坐標內的誤差（x，y）：

式中，σλ為經度誤差；σφ為緯度誤差；R 為地球半徑；λ為飛機所在經度，φ機所在緯度。因此，位置誤差的協方差矩陣可轉換為：

二維正態分布的概率密度函數為：

對于給定的平面位置誤差的方差σx、σy和相關系數ρ，若apos是一個確定的正常數，那么上式在平面內為一個橢圓，這個橢圓為等概率誤差橢圓，原點就是飛機的估計位置。

由于協方差陣不一定是對角矩陣，所以這個橢圓不一定是標準橢圓，而是存在一定的旋轉角度，如圖4所示。

圖4 誤差橢圓

為了將橢圓變為標準橢圓，需要將協方差矩陣進行酉相似矩陣對角化，即酉矩陣A使得：

將（10）式代入（9）式，可得

（11）式為標準橢圓方程。如果apos=1，為1σ誤差橢圓。特征值λmax、λmin分別是橢圓長半軸的平方和短半軸的平方。

特征值和協方差矩陣的關系為[11-12]：

2.3 95%等概率誤差圓

導航系統的位置不確定度是95%等概率誤差圓的半徑。該圓以導航系統估計的位置為圓心，實際位置至少95%概率在圓內，如圖5所示[13]：

圖5 95%誤差圓和1σ誤差橢圓的對比

由于位置不確定度是95%誤差圓邊界值，因此在利用1σ誤差橢圓計算 95%不確定度誤差圓的半徑時，需要計算圓形區域的誤差概率。此時，積分區間定義在一個圓形區間，半徑為，則期望的概率為：

令x=rcosθ,y=rsinθ，則（13）式可以轉換為：

記1σ誤差橢圓的長短半軸比例為：

（15）式代入（14）式得 ：

由（16）式可知，當給定概率（比如95%）時，m不同，k就會不同，進而導致95%概率圓的半徑發生變化。

在工程中，K可以按照下式計算：

K的最大值為2.4477，最小值接近1.9625。

當K確定之后，ANP可按照下式計算

在工程應用中，飛機機載設備顯示的 ANP利用最大位置標準差(長半軸) 來計算[14]。

式中，axismajor為1σ誤差橢圓長半軸。

3 仿真試驗

設置衛星導航速度測量誤差為0.1m/s，位置測量誤差為10m。慣性導航陀螺漂移為0.001(°)/h，加速度計零偏為0.5×10-5g，分別生成慣性導航數據和衛星導航數據。使用卡爾曼濾波器進行慣性/衛星組合導航，將每一濾波周期的位置協方差陣提取出來，按照本文的算法計算95%概率圓的半徑，即為ANP。當卡爾曼濾波達到穩態時，所估計的位置、1σ誤差橢圓、95%誤差圓的關系如圖6所示。

圖6 估計的位置、1σ誤差橢圓、95%誤差圓的關系

隨著卡爾曼濾波器運行，位置估計逐步趨于穩定，所以ANP值逐漸變小并最終達到穩態，如圖7所示。

圖7 實際導航性能ANP的變化趨勢

ANP反映的是組合導航的精度，因此當衛星導航或者慣性導航性能變差時，ANP值應該變大。因此設置三個用例進行驗證。

用例1：衛星導航速度測量誤差為0.1m/s，位置測量誤差為10m。慣性導航陀螺漂移為0.001(°)/h，加速度計零偏為 0.5×10-5g。

用例2：衛星導航速度測量誤差為0.5m/s，位置測量誤差為30m。慣性導航陀螺漂移為0.001(°)/h，加速度計零偏為 0.5×10-5g。

用例3：衛星導航速度測量誤差為0.5 m/s，位置測量誤差為30m。慣性導航陀螺漂移為0.005(°)/h，加速度計零偏為 2×10-5g。

使用卡爾曼濾波器對用例1、用例2、用例3設置的數據進行組合導航，在達到穩態時對比其ANP值，用95%誤差圓顯示，結果如圖8所示。

圖8 不同用例的ANP值

從圖中可以看出，隨著衛星導航或者慣性導航的導航性能變差，所計算出的ANP值將變大。在現代飛機中，ANP值常轉化為ANP指示桿并顯示在飛機的主飛行顯示器上。在國際民航組織基于性能導航的規定中，飛機航路水平半寬為RNP值。當ANP≥RNP時，認為當前導航系統的精度已經無法滿足RNP的要求，應及時對外告警，從而保證飛行安全。飛機ANP與RNP的關系如圖9所示。

圖9 飛機ANP與RNP的關系

4 結束語

慣性/衛星組合導航是RNP要求下常見的機載導航傳感器配置方式。對慣性/衛星組合導航進行實際導航性能評估，是保證飛機實現基于性能導航的關鍵。本文提出的慣性/衛星組合導航系統實際導航性能評估算法，從卡爾曼濾波器位置協方差矩陣開展分析，利用導航數據二維高斯分布特性，求解出標準誤差橢圓。根據概率分布特性，將誤差橢圓轉換為95%概率誤差圓，進而計算出ANP值。本算法切實可行，而且便于工程實踐。文中提及的組合導航中誤差橢圓的相關分析方法，也可以推廣至無線電組合導航、慣性/無線電組合導航等其他組合導航領域。