基于2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度對(duì)工作空間的影響

馬春生， 馬振東， 尹曉秦， 米文博

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 太原 030051)

并聯(lián)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、傳動(dòng)性能好,具有較大的承載能力及較高的控制精度[1-2]。可以應(yīng)用于物料分揀和快遞物流行業(yè)等此類需要大量重復(fù)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)中。分揀機(jī)的主要工作是將不同的產(chǎn)品進(jìn)行分類，工作類型但需要大量重復(fù)工作，因此，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型及并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的范圍才是設(shè)計(jì)中所主要需求的[3-4]。

劉偉等[5]對(duì)3T、2T1R 和2R1T 模式的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了構(gòu)型綜合，提出多種構(gòu)型。許允斗等[6]通過研究2-RPU/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的受力特點(diǎn)和結(jié)構(gòu)特點(diǎn),搭建實(shí)體樣機(jī)。張偉中等[7]通過分析運(yùn)動(dòng)副布置對(duì)工作空間的影響，優(yōu)化了2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的空間尺寸。汪滿新等[8]分析了3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同尺寸下的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能參數(shù)，選出了合適的機(jī)構(gòu)參數(shù)。李典等[9]通過研究新型2-2PRUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間的優(yōu)化方法進(jìn)行了分析,基于遺傳算法對(duì)該類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行了優(yōu)化，給出優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)尺寸，為建立樣機(jī)提供基礎(chǔ)。

工作空間是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)重要指標(biāo)，應(yīng)根據(jù)不同的生產(chǎn)實(shí)際需求選擇合適的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。樣機(jī)尺寸對(duì)機(jī)構(gòu)的工作空間影響較大，同一機(jī)構(gòu)在不同尺寸下的工作空間也不同，工作空間和機(jī)構(gòu)尺寸的關(guān)系很多時(shí)候并不是簡單的線性增長。分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)與工作空間之間的關(guān)系，具有重要的實(shí)際意義。

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動(dòng)性能良好、具有良好的控制精度、響應(yīng)速度較快。對(duì)于產(chǎn)品分揀、包裝等各種需要同時(shí)進(jìn)行大規(guī)模的重復(fù)運(yùn)動(dòng)的工作而言非常適合。

1 自由度分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述及坐標(biāo)建立

2-UPR/RPS(U代表虎克鉸，P代表移動(dòng)副，R代表轉(zhuǎn)動(dòng)副，S代表球面副)并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)、兩條UPR支鏈以及一條RPS支鏈組成，機(jī)構(gòu)的初始位型如圖1所示。

圖1 2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型Fig.1 2-UPR/RPS parallel mechanism model

兩條UPR分支呈對(duì)稱分布。如圖2所示，在UPR 支鏈中，虎克鉸與定平臺(tái)分別相連于A1、A2點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)分別連結(jié)于B1、B2點(diǎn)，移動(dòng)副的軸線方向通過U副中心點(diǎn)和R副相連，兩個(gè)U副中的第一轉(zhuǎn)動(dòng)軸線共線。動(dòng)平臺(tái)上兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線平行。

圖2 2-UPR/RPS三維簡圖Fig.2 2-UPR/RPS three-dimensional diagram

RPS 分支中 R 副與定平臺(tái)相連接A3點(diǎn)，S副與動(dòng)平臺(tái)相連接于B3點(diǎn)。P 副的軸線經(jīng)過S副的中心點(diǎn)并與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互垂直。

在動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)中分別建立坐標(biāo)如圖1所示。定平臺(tái)幾何中心為原點(diǎn)O，X軸方向與RPS支鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副方向平行，Y軸與X軸方向垂直，Z軸垂直于定平臺(tái)。整體坐標(biāo)系遵循右手定則。動(dòng)平臺(tái)上坐標(biāo)系為P-xyz，定平臺(tái)上坐標(biāo)系為O-XYZ。

1.2 自由度分析

基于螺旋理論[10-12]對(duì)2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，將運(yùn)動(dòng)副通過運(yùn)動(dòng)螺旋表示，求解其約束螺旋，在通過分析其約束螺旋，求解機(jī)構(gòu)自由度。首先取UPR支鏈進(jìn)行自由度分析，以A1點(diǎn)為原點(diǎn)創(chuàng)建局部坐標(biāo)系，可以寫出UPR支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋為

(1)

對(duì)式(1)求反螺旋可得

(2)

同理，對(duì)RPS支鏈進(jìn)行自由度分析，即

(3)

式中：g、f表示機(jī)構(gòu)尺寸以及與軸線有關(guān)的位置變量。

對(duì)式(3)求反螺旋可得

(4)

綜上所述，2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)有三個(gè)約束螺旋，在無約束的情況下，物體在空間中具有六個(gè)自由度，因此該機(jī)構(gòu)具有三個(gè)自由度，分別是繞X軸與Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿Z軸的移動(dòng)。通過修正的G-K公式驗(yàn)證該機(jī)構(gòu)的自由度，即

(5)

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，是在確定動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)時(shí)，如(X,Y,Z,ψ,θ,φ)，求出機(jī)構(gòu)各分支中驅(qū)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)參數(shù)。2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)將三條分支的移動(dòng)副設(shè)定為驅(qū)動(dòng)副，則需要求出驅(qū)動(dòng)副的伸長量[13]。

動(dòng)平臺(tái)位姿可以用Z-Y-X型歐拉角表示。Rot為Z-Y-X型歐拉角的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。設(shè)l1、l2、l3表示AiBi(i=1, 2,3)的長度。

(6)

式(6)中：c為余弦函數(shù)；s為正弦函數(shù)。

假設(shè)定平臺(tái)半徑為R，動(dòng)定平臺(tái)半徑比為λ,動(dòng)平臺(tái)上Bi點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系P-xyz中的坐標(biāo)分別為

(7)

動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P在定平臺(tái)坐標(biāo)系下的位置參數(shù)為

(8)

點(diǎn)Bi在定坐標(biāo)系下的位置參數(shù)為

OBi=Rot·PBi+OP

(9)

移動(dòng)副伸長量為

li=|OBi-OAi|,i=1,2,3

(10)

根據(jù)式(8)～式(10)可以求出RPS支鏈的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，即

(11)

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)平臺(tái)尺寸和工作空間的關(guān)系

3.1 動(dòng)靜平臺(tái)尺寸比對(duì)工作空間的影響

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)可達(dá)空間是衡量其工作性能的重要指標(biāo)之一，除并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型外，動(dòng)靜平臺(tái)尺寸比也是影響工作空間大小的一個(gè)關(guān)鍵因素。利用位置反解在MATLAB程序中求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，設(shè)定并聯(lián)機(jī)構(gòu)其他參數(shù)不變，改變動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)面積大小，求解工作空間體積變化。

假設(shè)動(dòng)平臺(tái)面積與定平臺(tái)面積之比為λ，設(shè)定λ取值范圍為0.5～2，在空間中搜索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的可達(dá)空間，并計(jì)算其工作空間的體積大小。計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖3 平臺(tái)尺寸對(duì)工作空間的影響Fig.3 The impact of platform size on working space

通過觀察圖3可得，隨著動(dòng)定平臺(tái)比增大，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間體積先增大后減小，當(dāng)λ的取值大于1.8時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副間發(fā)生干涉，無法運(yùn)動(dòng)。

3.2 運(yùn)動(dòng)副布置方式對(duì)工作空間的影響

運(yùn)動(dòng)副的布置方式對(duì)工作空間有較大的影響，由于球副與U副繞自身Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)后無改變，所以僅能改變轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向，在三維軟件中進(jìn)行建模分析，求解其工作空間。

改變定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向，改變后旋轉(zhuǎn)副的軸線方向如圖4所示。將原本繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副改為繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)算其工作空間，通過觀察可得，其工作空間如圖5所示。該工作空間是X-Z平面內(nèi)一個(gè)區(qū)域面積。

圖4 定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)副簡圖Fig.4 Schematic diagram of fixed platform motion

圖5 改變定平臺(tái)運(yùn)動(dòng)副后的工作空間Fig.5 Workspace after changing the motion pair of the fixed platform

改變動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向，設(shè)定其他條件不變，將轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線從沿Y軸方向改為沿X軸方向，分別與X軸存在30°、120°夾角，重新求解工作空間。工作空間特點(diǎn)如表1所示。觀察表1發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副與X軸或Y軸平行時(shí)，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)副與坐標(biāo)系存在夾角時(shí)，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副之間會(huì)存在干涉現(xiàn)象，影響其運(yùn)動(dòng)。

表1 運(yùn)動(dòng)副布置及工作空間特點(diǎn)Table 1 Sports assistant layout and working space characteristics

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：靜平臺(tái)外接圓半徑R=400 mm，動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑r=400 mm，動(dòng)靜平臺(tái)尺寸比為1，RPS 支鏈驅(qū)動(dòng)桿桿長l1=l2=450 mm，UPR 桿驅(qū)動(dòng)桿桿長l3=450 mm。將求出的位置反解帶入MATLAB軟件中，編寫求解程序，搜索其可達(dá)空間。進(jìn)行運(yùn)算，即可得出該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，結(jié)果如圖6所示。

圖6 2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間Fig.6 2-UPR/RPS parallel mechanism reachable working space

通過觀察可得，2-UPR/RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在空間中具有較大的工作范圍，整體工作空間沿X-Z平面呈空間對(duì)稱分布，整體工作空間區(qū)域緊湊，機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，無奇異性。區(qū)域內(nèi)無斷點(diǎn)，無空洞。

5 結(jié)論

(1)首先利用空間螺旋理論計(jì)算2-UPR/RPS機(jī)構(gòu)自由度，該機(jī)構(gòu)具有繞X軸、Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)和沿Z軸移動(dòng)的三個(gè)自由度。并通過修正的G-K公式驗(yàn)證其自由度的正確性。通過閉環(huán)矢量法求解機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解。在三維軟件中建模分析其運(yùn)動(dòng)性能，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)反解和極限位置搜索法求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。整體工作空間緊湊，無斷點(diǎn)，無空洞，運(yùn)行過程平穩(wěn)。可應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)工作中。通過控制驅(qū)動(dòng)副改變動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)，可適用于不同規(guī)格產(chǎn)品的分揀工作。

(2)考慮到機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的影響，通過控制變量的方式分析動(dòng)靜平臺(tái)尺寸比和運(yùn)動(dòng)副布置方式對(duì)工作空間的影響。在工業(yè)自動(dòng)化流水線上，將抓取裝置安裝于動(dòng)平臺(tái)上，動(dòng)平臺(tái)采用UPR支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副方向與Y軸方向一致的布置方式，在考慮實(shí)際安裝需求及工位空間尺寸時(shí)，動(dòng)靜平臺(tái)尺寸比應(yīng)選取在0.8～1.3，此時(shí)機(jī)構(gòu)的工作空間明顯大于其他尺寸，對(duì)機(jī)構(gòu)的樣機(jī)制造具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。