利用數形結合，培養高中數學解題能力

南京市六合區程橋高級中學 翁興超

目前，數形結合思想被廣泛應用到了高中數學的學習之中，可以有效提高學生的解題效率與質量，能夠保證學生掌握多種數學知識，推動學生全面發展。數形結合最主要的特點就是形象、簡單、直觀，高中數學教師要培養學生的數學解題能力，就一定要充分發揮數形結合的優勢，把抽象的數學內容具體化。

一、轉化圖形與代數問題

在高中數學教學之中，有些傳統的解題方式會浪費學生的時間，教師可以教給學生利用圖形把代數題目轉化成圖形題目，篩選、刪除題目中的干擾條件，利用圖形發現題目的本質，然后再結合數學公式去解答題目，使用數形結合的思想能夠更好地培養學生的解題能力。

例1：已知關于x的方程x2-4|x|+5=m有4個不相等的實根，求m的取值范圍。

解：根據方程式能夠聯想，把其和函數結合在一起，令y1=x2-4|x|+5，y2=m，然后畫出函數圖像，如圖1。從圖1中能夠清晰地看到若要滿足方程式有四個不相等的實根時，1＜m＜5。學生利用圖像能夠更加直觀地解答復雜的數學問題，而且更加簡單、快捷。

圖1

二、發散思維，產生圖形意識

高中時期的學生依然對生活充滿了興趣與好奇，教師應該根據學生的特點，引導學生發現問題、探索問題。高中生應該養成主動探究學習與生活的習慣，數學教師在教學中也應該培養學生發現問題的能力，這對于學生的學習有著非常積極的作用。學生在學習時會遇到很多困難，有些學生會因為不理解數學理論知識而產生問題，有些學生會因為遇到一些沒有學過的知識而產生問題等。高中數學教師應該提升學生發現問題的意識，引導學生利用發散思維去探究解決問題，并提供一些案例讓學生自主研究，使之產生圖形意識，提高探究式的學習能力。同時，高中數學教師也要引導學生使用數形結合的思想，逐漸增加學生的解題興趣，讓學生可以擴展思維，主動學習其他方面的數學知識，以此提高學生的數學解題能力和思維能力。

例2：已知0＜a＜1，求方程a|x|=|logax|有幾個實數根。

解：將方程聯系函數，令y1=a|x|，y2=|logax|，作出兩函數圖像，如圖2所示，因為此圖像中有兩個交點，所以方程中有兩個實數根。

圖2

三、在作業中滲透

高中數學教師應該改變之前傳統的教學方式，適當地給學生布置一些數形結合的作業，教給學生利用數形結合去解決問題的方法。數學教師應該結合在課堂上所教授的數學知識，給學生布置一些具有針對性的、可以利用數形結合思想解決的練習題，通過讓學生進行大量的練習，能夠讓學生對數形結合思想記憶深刻，并養成利用數形結合解題的習慣。特別是在做選擇題的時候，倘若高中生可以利用數形結合，那么不用進行復雜的運算，而是直接畫出圖形就可以迅速得到答案。總之，利用數形結合能夠有效培養高中生的數學解題能力，讓學生在考試中節省很多時間，也可以增加答案的準確度。

例3：已知P是圓（x-3）2+(y+1)2=4上面的動點，Q是直線x=-3上面的動點，求|PQ|的最小值。

解：根據題目畫出圖3所示的圖形。過圓心A作直線x=-3的垂線，與圓和直線分別交于P、Q，這時|PQ|取最小值，與題目中圓的方程相結合能夠得到A（3，-1），半徑r=2，因此|PQ|=|AQ|-r=6-2=4，所以|PQ|的最小值是4。

圖3

綜上所述，在高中數學教學之中，為了滿足新課改的需要，教師應該想方設法地提高學生的解題能力，而數形結合正是一種較為有效的解題方法，可以使學生的思維嚴密、全面思考問題、減少解題中的漏洞等。數形結合對于高中生的學習來說有著很大的幫助，對于解答集合問題、函數問題、幾何問題、排列組合問題等都有著十分重要的作用，而且對教師的教學也有十分重要的意義，可以有效提高學生的數學解題能力，同時提升課堂教學效率。