初中數學發散性思維能力培養策略研究

安徽省無為第二中學 鄭天明

隨著素質教育的不斷深入和推廣，教師的教學方式和教育理念產生了巨大的變化，從致力于引導學生熟練掌握解題方法轉化為幫助學生形成正確的數學思維，“授人以魚不如授人以漁”，從學生長遠發展的角度來看，培養學生的發散性思維比教育學生解決有限的數學問題更加重要。

一、發散性思維

與其他思維能力相比，發散性思維的顯著特征表現如下：第一，流暢性。發散性思維需在較短時間內產生多種思維觀念并快速適應新思想，流暢性主要反映的是發散思維能力的數量和速度等特征。第二，變通性。發散性思維需要擺脫腦海中現有的思維框架，開拓新的思維方向來思索和探究問題，如橫向類比、觸類旁通、跨域轉化等等，通過將思維向不同方向進行擴散來獲取多種解題思路。第三，獨特性。發散性思維會使人們采用不同于常規的問題解決方式，因而具備一定的獨特性。

二、具體培養策略

1.一題多變

圖1

圖2

圖3

2.一題多解

一題多解是發散性思維中變通性特征的體現，數學教師在針對教材內容中一些具有代表性意義的數學題目進行講解時，需要引導學生充分運用所學知識進行發散性思維，從多個角度來論證同一論點，通過這種方式來培養學生發散性思維中的變通性。例如：“如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BG是AC邊上的高，求證：DE+DF=BG。”針對這一幾何問題，教師就可以先讓學生分析題目中的已知條件，之后再向學生提出問題：該數學題目屬于哪類幾何證明題？應用哪種幾何證明方法進行證明？如何添加輔助線？需要用到什么數學知識點？在提出問題之后，教師可組織學生針對該數學題目進行小組討論，一一解答上述問題，即該問題屬于幾何證明題中的線段和差問題，應用截長補短法進行證明，過D點作BG的垂線DH，利用全等三角形和矩形等知識點來逐步完成證明。

圖4

當學生按照常規解題思路完成對該數學題目的解答后，教師可以啟發學生探究該題目的其他證明方法，如：輔助線還有其他作法嗎？啟發學生通過其他方式來解決數學問題，過B點作FD的垂線與延長線交于點K，沿用全等三角形和矩形的知識點可完成證明。再例如，教師可向學生提問：DE、DF、BG是△ABD、△ACD、△ABC的什么？當學生回答是三角形的高時，再進一步向學生提問：三角形的高與三角形的什么有關？學生答“面積”。教師繼續向學生提問：這道幾何證明題可以用面積法論證嗎？通過引導啟發的方式，讓學生從割補思想的角度利用面積法來證明。除此之外，教師還可以繼續讓學生發散思維：△BDE、△CDF和△BCG都屬于什么類型的三角形呢？學生回答“直角三角形”。教師繼續提問：∠ACB和∠ABC之間存在什么數量關系呢？學生回答“∠ACB＝∠ABC”。教師提問：直角三角形的角和邊存在怎樣的關系？學生回答“三角函數關系”，接著教師可引導學生利用三角函數的知識點來證明該數學題目。

在整個解題的過程中，教師循序漸進地引導學生合理運用多種思維方式來解決同一數學問題，尋求一題多解，開拓學生的解題思路，從而有效地培養了學生的發散性思維。

3.創新解法

創新解法是發散性思維中獨特性特征的體現，在初中數學題目中，不乏一些條件隱蔽且構思巧妙的題目，針對這些題目，教師可在學生能夠熟練掌握常規解題思路的基礎上，帶領其積極探尋一些非常規的解題方法，如構造法、數形結合法、代換法等等，通過對創新解法的探究，可以有效地提高學生的發散性思維能力。例如：“若y=|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x+2|，求當x取何值時，y恰好為最小值？最小值為多少？”教師首先帶領學生對該數學問題進行分析：這道題目想要考查的是哪個數學知識點？學生首先想到的是該題目考查的是絕對值的知識點，常規的解題思路為根據絕對值的定義對不同區間進行分類討論，得出一個分段函數，在此基礎上求取最小值。這種常規的解題思路雖然可以解決該數學問題，但相對來說過程較為復雜，因此，教師可引導學生思考是否有其他非常規的解題思路，若學生未能想到創新解法，則教師可以試探性地引導學生思考絕對值的幾何定義，并對該定義進行適當推廣，|x|的幾何定義為x在數軸上的對應點與原點O的距離，將|x|換一種表達方式，即|x-0|，其中0所對應的則是坐標軸中的原點O，在此基礎上進一步推廣|x-m|，其幾何意義則可以理解為x與m在數軸上的距離，由此可得，y可以表示為x在數軸上分別與-2、-1、1、2之間的距離之和，因為x可以為數軸上的任意一點，因此我們可以判斷出當-1≤x≤1時，y值最小，且最小值為6。

對于一道簡單的數學題目而言，創新解題方法，積極引導學生從非常規的角度來分析和解決數學問題是培養學生發散性思維的重要方式，這樣不僅可以讓學生學會從新角度去解決問題，用新觀念去看待問題，鍛煉學生的思維靈活性，同時還可以幫助學生樹立正確的數學思維，有利于克服思維定式對學生數學思維的束縛和限制，強化教學效果。