含多間隙曲柄滑塊機構動力學建模與特性分析

王 航， 鄭雪山， 周 挺， 張國興， 侯雨雷， 曾達幸

(1.浙江萬里學院 信息與智能工程學院， 寧波315100; 2.燕山大學 機械工程學院， 秦皇島 066004; 3.東莞理工學院 機械工程學院， 東莞 523000)

0 引 言

復雜多變環境對機械系統運行品質提出了越來越高的要求[1]。間隙的存在使得高端裝備動力學模型呈現出高度非線性，非線性系統的參數發生變化會導致混沌現象。含有混沌運動的系統是一類具有初值敏感性和遍歷性，看似無法預測，但是不收斂和不回歸的非周期系統[2]。

伴隨混沌現象與混沌理論的發展，混沌特性分析已成為熱點研究問題[3-4]。Gogu等應用混沌特性對間隙問題進行研究，研究了其動力學模型[5-6]。此后，研究人員圍繞這類機構性能分析、非線性特性、系統數學模型的建立以及機構驗證等方面作了大量深入探究。鐘順等建立充液飛行器多頻動作狀態時燃料液體的晃動規律，獲得系統多組參數時次諧分岔和異宿分岔的數值特性，明確了混沌運動現象產生的機理[7]。梁山等研究了具有非線性的2自由度1/4汽車懸架模型在路面不平度激勵下發生的混沌振動，仿真和實驗研究結果揭示了系統發生混沌振動的可能性[8]。馬洪濤等研究了在一定的扭矩作用下，隨著轉速的增大，行星換向機構最終由周期運動狀態突變為混沌運動狀態[9]。文獻[10]針對雙級行星齒輪傳動系統，依據相空間軌跡以及分岔圖的方法探究系統的混沌運動規律，研究結果說明系統正常工作模型應符合周期運動規律。茍向鋒探究了齒側的間隙值改變對振動系統性能的影響，發現多組激勵頻率時系統能產生Hofp分岔現象[11]。孫濤等建立發動機對轉雙轉子系統的動力學模型，研究了外轉子發生突加不平衡故障后引起的轉子動靜碰摩對于對轉轉子響應的影響，分析了對轉雙轉子系統的分岔與混沌現象[12]。

曲柄滑塊機構可將旋轉轉變成平移運動，在傳統機械、航空航天和機器人等領域都使用曲柄滑塊機構，研究含間隙機構動力學問題具有普遍意義。本文以曲柄滑塊機構為研究對象，考慮多組運動副間隙，構建了含多組間隙機構的動力學特性方程，分析發生間隙條件下機構動態變化特性，研究間隙的數目、大小和位置對機構存在的混沌特性的作用規律，并辨識了機構的混沌現象。

1 含間隙曲柄滑塊機構動力學建模

1.1 轉動副間隙描述

運動副構成元素間的運動狀態可分為自由運動、接觸運動和撞擊，如圖1所示。接觸運動狀態時，軸與軸套不發生分離，在慣性力和摩擦力一起作用時，伴隨軸套和軸的分離轉變為自由運動狀態。自由狀態下，軸在軸套所限制的區域內作自由運動，運動副元素間沒有力作用。自由運動情形完結后，構成運動副的元素產生撞擊而進入撞擊狀態。撞擊狀態完成后，軸的運動狀態往往難以辨別，與撞擊之前的恢復力參數、速率以及撞擊完結后速率等方面有關聯。

圖1 含間隙轉動副的運動狀態

(1)

式中單位矢量n表示成：

n=e/e

(2)

(3)

將式(3)兩邊進行求導運算，可獲得撞擊點的速度為：

(4)

依據投影規律能夠獲取撞擊點對于本身所在平面的切向速率vt與法向速率vn,可表示為：

(5)

撞擊環節運動副構成元素的極大嵌入深度數值為：

δ=e-c

(6)

式中c表示間隙尺寸的數值，數值為：

c=Rj-Ri

(7)

式(7)的物理意義表示運動副構成元素半徑之間的差值。當δ值不小于0時，運動副構成元素處在相互接觸環節；當δ不大于0時，運動副構成元素處于自由狀態；當δ等于0時，運動副構成元素之間產生撞擊。

1.2 間隙鉸鏈接觸力模型

L-N模型既涉及撞擊時產生的能量耗散，又考慮撞擊體的材料性質、局部彈性形變和撞擊速度等信息，普遍應用于具有間隙機構的研究中[14]。此模型將運動副構成元素間撞擊環節的能量耗散、構成運動副元素的材料性質、構成運動副元素的彈性形變、撞擊發生前各組構成元素速率等因素整合起來。其接觸力模型的計算方程為:

(8)

剛度系數K的方程為：

(9)

(10)

(11)

式中：R1和R2為運動副構成元素的半徑；δ1和δ2為運動副構成元素的等效彈性模量；υ1和υ2為泊松比；E1和E2為楊氏模量。

阻尼系數D的表達式為：

D=μδn

(12)

式中μ為滯后系數，計算公式為：

(13)

0≤ec≤1

(14)

在運動副構成元素完全彈性撞擊情形下，ec取值為0；運動副構成元素在完全非彈性撞擊情形下，ec取值為1。

由式(12)和式(13)可得：

(15)

因此，式(8)可表示為：

(16)

運動副構成元素之間是否發生撞擊可以根據嵌入值δ的大小來分析，條件為：

(17)

當構成運動副元素互相存有接觸情形時，處于碰撞范圍出現撞擊力作用。這組力的數值依據L-N模型求解，可表示為：

(18)

1.3 含間隙曲柄滑塊機構動力學建模

(19)

進而有：

(20)

圖3 含多間隙的曲柄滑塊機構示意圖

圖4 含多間隙的曲柄滑塊機構矢量圖

根據圖4計算各構件質心的坐標位置，以矩陣形式表示為：

(21)

對式(20)兩邊求導，可得：

(22)

由于間隙值

變化很小，忽略上式高階項，展開余項為：

(23)

對式(21)兩邊求導，可得各構件質心線速度：

(24)

對式(23)兩邊求導，可得連桿角加速度：

(25)

對式(24)兩邊求導，可得各構件質心加速度：

(26)

通過具有間隙平面多剛體系統動力學分析，軸處于軸承中像異的運動情形具有分階段函數的屬性，能夠將軸和軸承的運動屬性一并展現在運動方程之中。當軸與軸承處在相互分離情形時，軸處于自由運動的情形；當軸承與軸處于接觸情形時，軸受到軸承的約束力作用而處于約束運動中。因此，具有間隙的多剛體體系的運動情形，伴隨軸與軸承接觸狀態的變化。假定具有間隙平面多剛體體系有m組運動副與n組零部件，開始構建多組構件運動學的表達式，便于依據拉格朗日乘子法,列寫包含運動約束的運動規律。

平面多剛體體系里各個構件的質心位置表示成(x，y)T,構件的方位角表示成(φ，ω)，則第i個構件的廣義坐標為：

qi=[x,y,φ,ω]T

(27)

系統n個構件的廣義坐標為：

q=[q1,q2,…,qn]T

(28)

第i個構件的運動約束方程矢量為：

Φi=[x,y,f,ω,t]T

(29)

系統的約束方程為：

Φ(q,t)=[Φ1,Φ2,…,Φn]

(30)

在間隙內部引入等效接觸力后，系統包含拉格朗日乘子的動力學公式表示為：

(31)

當間隙內部發生撞擊時，引入單位階躍函數s(δ)，其表達式為：

(32)

撞擊力大小為：

F=s(δ)(Fn+Ft)

(33)

在間隙內部引入等效接觸力后，系統方程最終形式為：

(34)

2 間隙參數變化對機構動力學影響仿真

選定機構各個構件材料為45鋼，其相關參數如表1所示。在動力學仿真中，設定滑塊和連桿之間的轉動副C處存在間隙，選取求解兩組周期作為輸出項，分別求取間隙半徑為0.3、0.5和1.5 mm時的動力學響應結果。仿真參數如表2所示，角速度ω=20π rad·s-1。

表1 曲柄滑塊機構各構件幾何參數和質量特性

對含C處間隙曲柄滑塊機構進行動力學仿真，運動副構成元素的相和軸心運動軌跡如圖5所示，考慮1.5 mm間隙情形時的數據，位移和速度龐加萊截面圖如圖6所示。

(a) 間隙0.3 mm X軸相軌跡

(d) 間隙0.5 mm Y方向相軌跡

(g) 間隙0.3 mm軸心軌跡圖

表2 含C處間隙曲柄滑塊機構動力學仿真參數

由圖5(a)和圖5(c)可以看出，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時，間隙之間X軸的相軌跡曲線變化偏小，整體形態總體不會發生改變；圖5(b)和圖5(d)顯示，間隙尺寸為0.3和0.5 mm時，間隙內部Y軸的相軌跡改變較為顯著，伴隨間隙值升高，Y軸的混亂情形更加顯著。

由圖5(g)和圖5(h)可以看出，間隙尺寸為0.3與0.5 mm時，軸心軌跡基本一樣且均產生撞擊聚集；由圖5(a)、圖5(c)和圖5(e)可以看出，間隙尺寸為某一值時，間隙內部X軸相軌跡將發生突變，其中圖5(e)相軌跡中顯現兩組相接近的“吸引子”的聚集區域；由圖5(b)、圖5(d)和圖5(f)可以看出，間隙值到達特定時間隙內部Y軸的相軌跡同時也會產生突變，其中圖5(e)相軌跡中Y軸的混亂程度更加明顯，整體結構更加發散。

由圖6(a)和圖6(b)可以看出，間隙之間X軸與Y軸上的龐加萊截面均展現散點形態，X軸上的點出現顯著的聚集形態，Y軸上的點愈加的分散，進一步證實了間隙內部Y軸的混亂程度比X軸的混亂程度顯著。由圖5(e)和圖5(f)可以看出，由于圖5(e)相軌跡中出現兩個類似“吸引子”的集中區域，相軌跡約束能力顯著。三組間隙情形時Y軸相內部一直沒有發生“吸引子”的聚集區域，伴隨間隙值加大，X軸的相軌跡發生分岔形態后,最終致使相軌跡發生突變形態。

(a) X方向龐加萊截面

在Adams模型中，B、C處添加代表軸和軸套的兩個半徑不同的球體，取0.3 mm的半徑差體現間隙，分析多間隙機構動力學行為，仿真分析的結果如圖7所示。由圖7(a)和圖7(b)對比可知，B、C間隙內部在X方向能發生兩個“吸引子”，B處“吸引子”比C處“吸引子”的吸引作用顯著，B間隙X方向內部相軌跡規則更強，C間隙X方向內部散亂程度愈加凸顯。由圖7(c)和圖7(d)對比可知，B、C間隙之間在Y方向出現的“吸引子”數目相異；由圖7(c)可以看出，B間隙Y方向出現距離相較接近的三組“吸引子”，對相的束縛能力更顯著，據此B間隙的Y方向上相軌跡較為規律；由圖7(d)可以看出，C間隙Y方向出現一個“吸引子”，且這組“吸引子”對相的束縛性能相比B間隙處更小，與B間隙作比較，C間隙Y方向的相軌跡更加發散。

由圖7(e)和圖7(f)對比可知，C間隙之間的軸心間軌跡規律性比B間隙之間的軸心間軌跡更弱，B間隙兩者間的軸心撞擊點集中在軸心的兩側，而B間隙兩者間的軸心撞擊點大多數散布在軸心四周。B間隙內部撞擊更加聚集，C間隙內部的撞擊分散程度更高。由圖7(g)可以看出，C處的撞擊力對比B處的撞擊力更高，表明C處的混亂程度高與其內部的撞擊力大小存在重要關聯。可以看出，多組間隙情形時，間隙之間展現劇烈的非線性形態。間隙值為0.3 mm時，B處的混亂狀態較C處減小更多，C處的撞擊力比B處更強，表明遠離驅動副的鉸鏈之間混亂程度更加顯著。

(a) B間隙X軸相軌跡

(d) C間隙Y軸相軌跡

(e) B間隙軸心軌跡圖

(f) C間隙軸心軌跡圖

(g) B以及C間隙的撞擊力

(h) 滑塊的速度曲線

(i) 滑塊的加速度曲線

(j) 滑塊移動曲線

在Adams模型中，依次解算B與C處間隙半徑等于0.2、0.3及0.5 mm情形時的動力學影響結果。滑塊的輸出響應如圖8所示。由圖8(a)、圖8(b)與圖7(j)對比可知，間隙分別位于B、C處和同時位于B、C處時，滑塊位移變化不大。說明間隙的位置與數目對滑塊的位移輸出影響不大。由圖8(c)、圖8(d)與圖7(h)對比可知，含C處間隙滑塊速度曲線出現的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊速度曲線出現波動比含單間隙強烈。說明間隙的位置與數目對滑塊的速度輸出有較大影響。由圖8(e)、圖8(f)與圖7(i)對比可知，含C處間隙滑塊加速度曲線出現的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現波動比含單間隙強烈。說明間隙的位置與數目對滑塊的加速度輸出有較大影響。

3 含間隙曲柄滑塊機構混沌現象辨識

根據定量法(李雅普諾夫指數)和定性法(龐加萊映射法)對間隙值為0.3mm的多間隙曲柄滑塊系統的混沌特性開展了研究。含間隙曲柄滑塊機構的龐加萊截面如圖9所示?？梢钥闯?，機構龐加萊截面的各點相互不重復，各組點的散布圖表明該系統無周期性的解，表明系統處于混沌運動形態，證明兩組間隙Y方向分量的混亂程度愈發顯著。

(a) B處間隙滑塊位移圖形

(b) C處間隙滑塊位移圖形

(c) B處間隙滑塊速度圖形

(d) C處間隙滑塊速度圖形

(e) B處間隙滑塊加速度圖形

(f) C處間隙滑塊加速度圖形

(a) B間隙X軸龐加萊截面

(b) C間隙X軸龐加萊截面

(c) B間隙Y軸龐加萊截面

(d) C間隙Y軸龐加萊截面

圖10 B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數Fig.10 Maximum lyapunov exponent of Y axis components at B and C

選取間隙B與間隙C處的軸心沿Y向位移數據予以分析，B與C處Y軸分量的最大李雅普諾夫指數如圖10所示。橫坐標表示時間，縱坐標表示發散情況，選取曲線上升的穩態環節，對穩態環節的直線傾斜情況展開擬合操作，獲知曲線的擬合斜率為5.22和2.94,最大李雅普諾夫指數均大于0。

由最大李雅普諾夫指數分析法再次驗證了曲柄滑塊系統運動副之間發生的混沌現象；同時表明同一機械系統的運動副間隙大小相同、位置不同情況下，撞擊力、軸心軌跡和混沌運動的強度不同。仿真數據的龐加萊映射及系統的最大李雅普諾夫指數說明，機構已經處于混沌狀態，與含間隙曲柄滑塊機構的動力學行為所表現出的非周期特性相吻合。

4 結 論

分析了多間隙情況下曲柄滑塊機構運動副內部的動力學行為，進一步證明間隙處的方位是致使機構發生激烈非線性以及混沌運動的關鍵因素，以及當間隙值相同時，間隙的數目會決定系統的動力學穩定性。曲柄滑塊系統隨間隙值增加滑塊速度和加速度波動量均增加；含C處間隙滑塊加速度曲線出現的波動比含B處間隙強烈；含多間隙滑塊加速度曲線出現波動比含單間隙強烈。針對曲柄滑塊機構的研究表明，不論處于單個間隙式是多個間隙情形時，與驅動副較遠的運動副的非線性特性愈發顯著，這組運動副內部更易發生撞擊區域聚集現象。