布爾代數的I-V猶豫模糊子代數

姜 曼, 彭家寅

(1.西安交通工程學院 數學教研室， 西安 710000, 2.內江師范學院 數學與信息科學學院， 內江 641100 )

0 引 言

布爾代數作為一個重要的邏輯代數，研究它的濾子具有重要意義。在模糊集的基礎上，已經出現了很多結論。文獻[1]在布爾代數中定義了布爾代數的Fuzzy子代數、Fuzzy理想以及Fuzzy商布爾代數，討論它們的基本性質，得到了有意義的結論。文獻[2]在布爾代數中引入Fuzzy子代數的直積和Fuzzy商布爾代數，討論了直積布爾代數的Fuzzy子代數分解為兩個Fuzzy商布爾代數的條件。文獻[3]把布爾代數與直覺模糊集相結合，研究布爾代數的直覺T-S模糊子代數及理想,討論它的相關性質。文獻[4]把布爾代數與模糊軟集相結合，研究模糊軟布爾代數、模糊軟布爾理想以及在模糊軟布爾代數中的模糊軟同態，并討論它們的相關性質。文獻[5]定義了布爾代數上的猶豫模糊理想，研究猶豫模糊直積、投影與猶豫模糊理想的關系。有關布爾代數的模糊理想以及雙極值模糊子代數的研究，更多結論可見文獻[6-8]。

在上述研究基礎上，本文把布爾代數與I-V模糊集、猶豫模糊集相結合，給出了布爾代數上的I-V猶豫模糊子代數的概念。研究了布爾代數的I-V猶豫模糊集是I-V猶豫模糊子代數的充要條件，討論了I-V猶豫模糊子代數的性質，相關結果豐富了布爾代數和猶豫模糊集理論。

1 預備知識

定義1.1[9]具有兩個二元代數運算+，·的代數系統〈R;+,·,0,1〉稱為布爾代數，如果R至少含有兩個不同元，且?a,b，c∈R，下面公理成立：

(1) 交換律a+b=b+a,ab=ba，其中ab為a·b；

(2) 結合律(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)；

(3) 分配律a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c)；

(4) 0-1律a+0=a，a1=a；

布爾代數〈R;+,·,0,1〉也記為〈R;+,·,-,0,1〉。

若無特殊說明，布爾代數〈R;+,·,-,0,1〉簡記為R，布爾代數〈R′;+,·,-,0′,1′〉簡記為R′。

定義1.2[9]設〈R;+,·,0,1〉為布爾代數，?a,b∈R，如果a+b=b，則稱a不大于b，記為a≤b。

定理1.1[9]設〈R;+,·,0,1〉為布爾代數，?a,b∈R，有：

(1)a0=0，a+1=1，aa=a，a+a=a；

設a∈[0,1]，令a=[a,a]，則a∈D[0,1]。

定義1.7[11]設X是一個非空集合，一個X上的猶豫模糊集F的定義如下：

F:{(x,hF(x))|x∈X}

其中hF(x)是由區間[0，1]上若干個不同值構成的集合，表示X中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度。X上的全體猶豫模糊集記為HF(X)。

設F為X中的猶豫模糊集P([0,1])為區間[0，1]的冪集。稱集合X(F,γ):{x∈X|γ?hF(x)}為F的猶豫水平集，其中γ∈P([0,1])。稱集合X?(F,γ):{x∈X|γ?hF(x)}為F的猶豫強水平集，其中γ∈P([0,1])。

定義1.8[11]設X是一個非空集合，F和G是X上的猶豫模糊集，且具有如下形式：

F:{(x,hF(x))|x∈X}

G:{(x,hG(x))|x∈X}

規定如下運算：

(1) 補：對于F，它的補元Fc定義為：

補運算滿足對合律，即(Fc)c=F。

(2) 并：F和G的并F∪G定義為：

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≥min(hF(x),hG(x))}

定義1.9[12]設X,Y是兩個非空集合，f：X→Y是一個映射,且有A∈HF[X]和B∈HF[Y]。x∈X,?y∈Y，定義Y的猶豫模糊子集f(A)如下：

且hf-1(B)(x)=hB(f(x))。則f(A)、f-1(B)分別是X,Y的猶豫模糊集，稱f(A)為X的像，f-1(B)為Y的原像。

2 I-V猶豫模糊子代數

定義2.2設A是R的猶豫模糊集，如果對任意的a,b∈R，下面條件成立：

(1)hA(a+b)?hA(a)∩hA(b)；

(2)hA(ab)?hA(a)∩hA(b)；

則稱A是R的猶豫模糊子代數。R上的全體猶豫模糊子代數記為HFS[R]。

對?a∈R，若hA-(a)?hA+(a)成立，如果A∈HFIS[R],那么A∈HFS[R]。所以，在布爾代數中，本文定義的I-V猶豫模糊子代數是猶豫模糊子代數的一種擴展。

證明 必要性顯然可證。

對?a,b∈R，可得

證明 必要性易證。

充分性已知定義2.3中的條件(2)和條件(3)成立，現在只需證明條件(1)成立即可。由?a,b∈R，可得

因此，有定義2.3中的條件(1)成立。

證明對任意的a,b∈R，有

證明同定理2.7，故省略。

證明 必要性對任意的a,b∈R，則

于是，hA-(a+b)?hA-(a)∩hA-(b)，hA+(a+b)?hA+(a)∩hA+(b)。

充分性任意的a,b∈R，則

證明由于f是R1到R2的同態滿射，因此?a′,b′∈R2，?a,b∈R1，使得f(a)=a′,f(b)=b′。

于是

3 I-V猶豫模糊子代數的直積

證明?(a,b)，(a′,b′)∈R1×R2，則