保對稱矩陣張量積秩的線性映射

鄧 琳, 徐金利

(東北林業大學 理學院, 哈爾濱 150040)

0 引 言

設Mm和Sm分別是復數域上m×m全矩陣和對稱矩陣全體。Eij表示矩陣單位,In和0分別表示單位矩陣和零矩陣, ?表示矩陣的張量積。 1959年, Marcus等最早刻畫了保矩陣秩的線性映射[1], 之后Beasley等給出了Sn上保持秩k線性映射的形式[2], Zhang刻畫了不同對稱矩陣空間之間保持秩的線性映射[3]。

引理1[3]設L是Sm到Sn的線性映射, 則

rankL(A)=rank(A), ?A∈Sm

(1)

當且僅當m≤n并且存在可逆陣P∈Mn,使得

2012年, 著名矩陣論專家李志光教授在矩陣與算子國際會議上提出刻畫保持矩陣張量積秩的線性映射問題[4], Zheng等隨后給出該問題的回答[5]。近年來, 很多學者對矩陣張量積上各種保持問題進行了大量的研究, 參看文獻[6-14]。

本文考慮保持對稱矩陣張量積秩的線性映射:

定理1線性映射φ:Sm?Sn→Smn保持矩陣張量積秩, 即：

rankφ(A?B)=rank(A?B), ?A∈Sm,B∈Sn

(2)

當且僅當存在可逆陣P∈Mmn，使得

φ(X)=PXPt, ?X∈Sm?Sn

1 相關引理

引理2設U,V∈Mn是可逆陣。如果

XU=VX, ?X∈Sn

(3)

則U=V=λIn, 其中λ∈*。

Matsaglia等在1974年得到如下的引理:

引理3[15]設m,n,r是正整數, 滿足mr≤n。如果Xk∈Sn,k=1,…,m滿足

則存在可逆陣U,V∈Mn滿足

Xk=U((Ekk?Ir)⊕0n-mr)V,k=1,…,m

引理4設k,m,n是正整數滿足k≤m,A,B∈Sn是可逆矩陣。如果X∈Smn滿足

(4)

則存在Y∈Mn，使得

X=Eij?Y+Eji?Yt

證明不失一般性, 不妨設i=1,j=2。

由于A,B是可逆的對稱矩陣, 所以存在可逆陣U,V∈Mn使得A=UUt，B=VVt, 再記

式中：X11,X22∈Sn，X33∈Smn-2n。

由式(4)得到

記tanθ=λ, 則有

由于使得det(λ-1In+X11)≠0的λ有無窮多個, 對這些λ有

進而

式中adj(λ-1In+X11)是(λ-1In+X11)的伴隨矩陣。注意到det(λ-1In+X11)是關于λ-1的n次多項式, 而adj(λ-1In+X11)的每個位置元素均是關于λ-1的至多n-1次多項式。 因此有

2 保對稱矩陣張量積秩的線性映射刻畫

定理5充分性是顯然的， 由于必要性的證明較長, 分成以下兩個命題:

命題6設Ak∈Sm,k=1,…,m滿足

則存在可逆陣U∈Mmn使得對任意的k=1,…,m，有

φ(Ak?B)=U(Ekk?B)Ut, ?B∈Sn

證明因為

rank(Ak?In)=n,k=1,…,m

和

所以

rank(φ(Ak?In))=n,k=1,…,m

及

由引理3知, 存在可逆矩陣U,V∈Mmn，使得

φ(Ak?In)=U(Ekk?In)V,k=1,…,m

記VU-t=[Fij],Fij∈Mn，并注意到φ(Ak?In)∈Smn，有

φ(Ak?In)=U(Ekk?In)(VU-t)Ut

因為

所以當j≠k時Fjk=0, 于是U(Ekk?In)(VU-t)Ut=U(Ekk?Fkk)Ut。 由于

rankFkk=rankφ(Ak?In)=n

將φ與映射X復合, 復合后的映射仍然滿足式(2), 因此不妨設

φ(Ak?In)=Ekk?In,k=1,…,m

(5)

對k=1,…,m，定義Lk:Mn→Mmn,

Xφ(Ak?X)

由于rankAk=1，所以對任意的B∈Sn,有

rank(B)=rankLk(B)

這說明Lk是從Mn到Mmn的保對稱矩陣秩的線性映射, 對Lk應用引理1知, 存在可逆矩陣Rk∈Mmn使得對任意的X∈Sn，有

(6)

由式(5)和式(6)可得

(7)

令

即

將上式代入式(6)得到

令

則對任意的X∈Sn,有

φ(Ak?X)=U(Ekk?X)Ut

這就證明了命題6。

對Ak=Ekk,k=1,…,m，應用命題1, 不妨設

φ(Ekk?B)=Ekk?B,k=1,…,m, ?B∈Sn

(8)

命題7對任意的1≤i

φ((Eij+Eji)?B)=((λijEij+λjiEji)?B), ?B∈Sn

(9)

證明為了方便, 僅對i=1,j=2時給出證明, 其他情況的證明是類似的。

令

由命題6, 存在可逆陣Q∈Mmn使得對任意的X∈Sn，有

φ(Ak?X)=Q(Ekk?X)Qt,k=1,…,m

(10)

由式(8)和式(10)可得

Ekk?X=Q(Ekk?X)Qt,k=3,…,m

(11)

記Q=[Qij]m×m, 式中Qij∈Mn。 取X=In, 由式(11)得

(Ekk?In)Q-t=Q(Ekk?In),k=3,…,m

因此

(12)

記

式中T11,T12,T21,T22∈Mn, 由式(8)、式(10)和式(12)可知，對任意的X∈Sn，有

(13)

及

(14)

另一方面, 注意到, 對任意可逆的B∈Sn和任意的λ∈C, 有

rank(cos2θ(E11?B)+sin2θ(E22?B)+sinθcosθ((E12+E21)?B))=n

由式(8)得

rank(cos2θ(E11?B)+sin2θ(E22?B)+sinθcosθφ((E12+E21)?B))=n

應用引理4得

式中YB∈Mn， 再由B∈Sn的任意性, 可知

(15)

式中Y(X)∈Mn。

取X=In, 由式(13)、式(14)和式(15)可得

2Q11T11=2Q22T22=2Q21T21=2Q12T12=In

這表明T11,T21和Q22是可逆陣， 再由式(13)、式 (14)和式(15)可得

由引理2得，(T11)-1T21=λ12In。 由式(13)和式(15)可得

如果m≥3, 則對1≤i

rank((Eii+Ejj+Ekk+(Eij+Eji)+(Eik+Eki)+(Ejk+Ekj))?In)=n

及φ的性質、式(2)和式(8)，結合命題2所得的結果可知

于是有

(16)

由式(16)得

λijλjk=λik

(17)

令

因為對任意的i=1,…,m,

及任意的1≤i

再由φ是線性映射, 結合式(8)和式(9), 對任意的A∈Sm,B∈Sn有

φ(A?B)=∑aiiφ(Eii?B)+∑aijφ((Eij+Eji)?B)

=∑aiiEii?B+∑aij(λijEij+λjiEji)?B

=∑aiiPEiiP?B+∑aij(P(Eij+Eji)P)?B

=(P(∑aiiEii+∑aij(Eij+Eji))P)?B

=(PAP)?B=(P?I)(A?B)(P?I)

這證明了定理5的必要性。