基于平行互質虛擬陣列的低復雜度二維DOA聯合估計算法

李 林 余玉龍 韓 慧

①(電子信息系統復雜電磁環境效應國家重點實驗室 洛陽 471003)

②(西安電子科技大學電子工程學院 西安 710071)

1 引言

波達角(Direction Of Arrival， DOA)估計是陣列信號處理中的一個重要研究課題，在無線通信、雷達和醫學成像等許多領域中有廣泛的應用。在陣列結構方面，平面陣的應用最為廣泛。在過去的幾十年中，國內外學者已經提出了許多基于平面陣列結構的DOA估計算法，包括面陣[1，2]、L型陣列[3]和平行線陣[4]等。平面陣列通常由幾個均勻間隔的線性子陣列構成，具有有限的自由度，例如含 M個陣元的L型均勻線陣陣列，最多可以估計M -1個入射信號角度。

近年來，稀疏陣列由于能夠有效提高陣列的自由度而受到廣泛關注，例如最小冗余陣列[5]、嵌套陣列[6]和互質陣列[7]等。與傳統陣列相比，稀疏陣列可以在保證性能的前提下充分地減少陣元數，或在陣元數相同的情況下，擁有更大的陣列孔徑、更低的旁瓣級，通過對陣元位置和加權的解算改善測向算法的精度、分辨率和自由度。在稀疏嵌套陣列方面，文獻[8]和文獻[9]將嵌套陣列從1維DOA估計推廣到2維DOA估計，提出了一種包含兩個均勻間隔線性子陣的2維嵌套陣列。在L型互質陣列方面，有基于迭代最小化和離網格稀疏學習[10，11]。在平行互質陣列方面，文獻[12]首次提出了利用平行互質陣列的互協方差矩陣構造1維向量，通過稀疏重構和最小二乘法得到相互匹配的DOA估計，提升了陣列的自由度，但是在小快拍情況下精度較差，且算法復雜度較高。文獻[13]和文獻[14]針對復雜度較高問題，將2維DOA估計問題轉化為1維表示，利用互協方差矩陣和壓縮感知方法進行角度估計，一定程度上提高了估計精度。上述算法主要利用了平行互質陣列的互協方差矩陣，文獻[15]和文獻[16]使用平行互質陣列的協方差矩陣，采用1維DOA估計結合功率進行匹配實現俯仰角和方位角估計，但是容易出現失配現象。

可以看出，現有平行互質陣列DOA估計算法只利用了陣列的協方差矩陣或互協方差矩陣，需要網格搜索和匹配，存在著計算復雜度較高、算法精度不足、容易出現失配等問題。針對現有算法的不足，本文提出了一種新的基于平行互質線陣2維DOA估計算法，利用兩個線陣的協方差矩陣和互協方差矩陣構造新的DOA估計矩陣。在此基礎上，利用SVD和ESPRIT算法，根據特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。與現有算法相比，本文算法充分地利用了自相關和互相關矩陣信息，可以估計更多的信源數，精度更高。同時由于陣元孔徑的擴展，算法的分辨能力較高，計算復雜度較低，且在低信噪比和小快拍的情況下性能較好。

文中符號說明：(·)T， (·)*， (·)H， (·)-1和(·)+分別表示矩陣轉置、共軛、共軛轉置、求逆和求偽逆；diag(v)表示以v 為主對角線元素的對角矩陣；vec(·)表示矩陣拉伸；? 表示Khatri-Rao積； I表示單位矩陣；arg(·)表示取相位角。

2 信號模型

圖1 平行互質陣列幾何模型

3 基于平行互質虛擬陣列的低復雜度2維DOA估計算法

前文已指出，現有的2維DOA估計算法存在著計算復雜度較高、算法精度不足、容易出現失配等問題。針對這一問題，本文重點研究了2維虛擬陣列，提出了一種適用于平行互質虛擬陣列的2維DOA估計算法。

3.1 擴展矩陣構造

可見，矩陣 V1的尺寸為(MN +M)×(MN +M)?？梢詫1表示為

其中，W 為對角矩陣，和信號的功率相關。 D中包含了入射信號與X軸的夾角信息。

同樣，可以通過接收的信號，定義子陣1和子陣2的互協方差矩陣為

同理，剔除v2中的重復元素，并取其中連續的虛擬陣元，可以得到

與式(7)類似，構造互協方差矩陣，即對 vˉ2中的元素重新排列，可得

由式(8)和式(12)，構造DOA估計的擴展矩陣

3.2 2維DOA估計

在3.1節中，通過子陣1的協方差矩陣及其與子陣2的互協方差矩陣，構造出DOA估計矩陣Rm。接下來，本文利用SVD和ESPRIT算法，由特征值和特征向量得到相匹配的方位角和俯仰角。

首先，對DOA估計矩陣Rm進行奇異值分解可得

其中，U1為信號子空間，U2為噪聲子空間，則

其中，U11和U12的維度均為(MN +M)×K。

通過U11和U12的關系，構造矩陣 F，使得

通過對式(20)進行特征值分解，其對應的特征向量構成的矩陣為 T，通過(18)式有

通過聯立式(21)和式(25)，可得到相互匹配的方位角和俯仰角，即

3.3 算法步驟

基于以上理論分析，這里給出本文算法的具體步驟。

步驟 1 根據實際應用，通過有限的快拍數對協方差矩陣和互協方差矩陣進行估計，即

本文所提出的算法，利用互質虛擬陣列的思想，對于2維平行陣列進行擴展，能利用有限的陣元估計更多的入射角度，同時由于陣元孔徑的擴展，對入射角度的分辨能力更好，并且在低信噪比和小快拍的情況下精確度相對較高，且算法復雜度更低。

4 實驗仿真

在本節實驗中，令 M=3， N=5，則子陣1的真實陣元數為2M -1+N，即L=10，陣元位置為{0 3 5 6 9 10 12 15 20 25}。考慮多個入射信號的情況，假設信號源個數K=11，即入射信號大于實際陣元數。此時，傳統平行線陣算法均已失效，而本文算法仍然可以有效地估計出入射角度，如圖2所示。本文提出算法能很好地擴展陣列孔徑，提高陣元利用率，最多可估計MN +M -1個入射角度，遠高于傳統算法。

為了進一步驗證提出算法的高分辨性能，我們假設入射信號個數為2，入射角為(10°，11°)和(11°，12°)。此時，傳統算法失效。本文算法的實驗結果如圖3所示，可以看出，雖然存在一定誤差，但依然可以分辨出兩個非常接近的入射角度。需要注意的是，由于角度較為接近，實驗中需要較高的信噪比和快拍數。

為了衡量算法的估計精度，本文采用均方根誤差(RMSE)準則，定義為

圖4為快拍數對本文算法性能的影響，并與已有算法進行比較。其中，文獻[4]基于平行線陣2維PM算法，文獻[12]基于基于平行互質陣列算法?？紤]現有算法的適用范圍，這里對4個信源進行估計，入射角分別為(10°，10°) ， (20°，20°)，(30°，30°)和(40°，40°)?？梢钥闯觯疚乃惴ㄔ谏倭靠炫南乱灿休^好的估計性能。特別當快拍數P=10時候，本文算法依然可以實現有效DOA估計，可適用于小快拍場景下工作。

接下來，分析信噪比變化對圖4中各種算法性能的影響。為了減小快拍數對不同算法的影響，實驗中采用較大的快拍數，即P=1000。實驗中入射信號情況與圖4相同，實驗結果如圖5所示?？梢钥闯?，本文算法在低信噪比情況下依然具有較高的估計精度。

圖2 K=11時算法估計結果(SNR=10 dB， P=500)

圖3 高分辨率實驗(K=2， SNR=20 dB， P=500)

最后，為了對不同DOA估計算法的復雜度進行比較分析，在相同硬件和軟件條件下，進行1000次蒙特卡羅實驗，統計各種算法的運行時間。實驗中計算機的CPU為I7-8550U，內存為8 G。實驗中入射信號情況與圖3和圖4相同，采樣快拍數P =500，信噪比SNR=20 dB。實驗統計結果如表1所示，可以看出，本文算法的計算復雜度優于文獻[12]中的平行互質陣列算法，但略高于平行線陣PM算法。

5 結論

本文提出一種基于平行互質虛擬陣列的低復雜度2維DOA估計算法，將傳統平行線陣與互質虛擬陣列相結合。本文采用擴展的DOA矩陣，在進行DOA估計時，通過奇異值分解并提取旋轉不變因子，避免了傳統算法的譜峰搜索，降低了算法復雜度，獲得了自動匹配的DOA估計。同時，采用虛擬陣列擴展了陣元孔徑，解決了傳統DOA估計算法入射信源數小于真實物理陣元數問題。仿真實驗結果表明，本文所提算法具有更高的分辨能力，可以分辨更多的輻射源信號，而且在低信噪比和小快拍情況下也優于傳統DOA估計算法。

圖4 不同快拍數算法性能對比(K=4， SNR=10 dB)

圖5 不同信噪比下的性能分析(K=4， P=1000)

表1 不同2維DOA估計算法運行時間(s)