預應力結構的最小撓度拓撲優化

李嚴，蘇文政

(大連交通大學 土木工程學院，遼寧 大連 116028)*

大量工程實踐中的預應力結構設計，一般都是設計人員憑借自身經年累月的從業經驗進行分析設計或從已有的為數不多的設計方案中進行甄選.在預應力結構的眾多設計指標之中，高強度、高剛度、輕量化是結構設計的重要原則[1-3].然而依靠設計人員主觀選擇的設計方案，往往只是適用于“某一類”的最佳設計，針對具體的工程個案還存在繼續優化的空間.借助于拓撲優化方法，則可很好地解決這一難題，獲得更為理性的設計方案.拓撲優化方法能夠決定結構孔洞的有無，從而大幅度提高了優化設計效果，為實際工程提供更具參考價值的設計方案.

在預應力相關的常規拓撲結構設計中，設計者們通常先在不考慮預應力的情況下，通過拓撲設計得到實際工程所需的普通主體結構，然后通過現有的預應力施加方案，添加或替換預應力部件到主體結構中，以求用最輕、最省的結構實現最強、最剛的設計需求.這種做法，簡單直觀，然而得到的結構并不是真正的最優解.在已有結構中施加預應力，會導致結構出現內力重分布，因而存在繼續優化的空間.

如果能將預應力和結構的拓撲兩類不同類型的變量在拓撲設計階段進行耦合，在包含預應力的內力體系上進行拓撲設計，則必然能實現結構承載性能的進一步提升.本文以結構特定位置的撓度響應作為目標函數評價結構的承載性能，以結構單元的密度作為拓撲設計變量，以預應力值作為附加變量,在此基礎上建立優化模型，推導靈敏度計算方法，用移動漸近線法(MMA法)[4-5]對優化問題進行迭代求解.

1 優化模型

模型描述為，以給定用量的材料，通過設計材料的分布，以及合適的預應力大小，使指定節點的位移響應最小，以此獲得預應力結構的最大剛度.優化模型的設計變量為結構單元的密度，通過變密度法(SIMP)[6-7]插值模描述密度變量對單元剛度的影響.SIMP法的思想為通過假設存在密度連續變化的材料，建立起本不存在中間密度單元，從而實現將離散變量的優化問題轉化為連續變量的優化問題，并通過懲罰策略使連續優化問題的解逼近原始離散優化問題的解.由此，可將第i個單元剛度矩陣表示為

(1)

其中，xi為拓撲變量，表示第i個單元的密度(0

目標函數選為第m個自由度的位移(比如簡支梁的跨中撓度)，即f0=um；約束條件為材料重量V*，對于平面結構表現為所用材料面積.于是拓撲優化的數學模型可描述為：

(2)

其中，fp是所設計的預應力大小，X代表所有單元密度的集合，xmin是一個很小的非0正數，作用是避免結構總剛度矩陣奇異.該優化模型采用MMA算法求解，設計流程如圖1所示.

圖1 設計流程圖

2 預應力的設計

應用線彈性疊加原理，數學模型中的目標函數，第m個自由度的位移um，是外部荷載F0所引起的目標節點的位移um0和預應力荷載Fp引起的目標節點預位移ump的疊加.即：

um=um0+ump

(3)

改寫成向量形式為：

QTU=QT(U0+Up)

(4)

2.1 由預應力所引起的結構位移

關于預應力引起的位移的求解，我們采用文獻[8]提到的方法.以簡支梁為例，由于位移具有正負性，這里規定向下向右為正方向.

如圖2(a)所示簡支梁結構下部裝有預應力桿件(用黑粗線表示)，此時桿件內無預應力.若在預應力桿件兩端外部施加大小為1的單位壓力Fpp，則桿件內力為tPP，并且-1

KUPP=Fpp

(5)

(6)

這時若設定預應力桿件內的預應力為fp，則結構內預應力引起的形變位移為

(7)

2.2 最佳預應力值

目標函數對預應力值進行求導，可得

(8)

這里QTUpp表示2.1節中單位力引起的目標自由度的預位移.

預應力結構的基本原理是用預應力結構的預位移，來形成與結構工作狀態相反的內力分布，部分地抵消工作荷載產生的內力，以此提高結構的承載能力.因此，合理有效的預應力加載方式，必須保證QTUpp與工作荷載產生的位移響應方向相反.考慮到目標函數QTU與fp成線性單調關系，可知，若預應力加載方式有效，預應力設計值fp越大，目標函數值越小.本文假定，所研究的問題中結構的預應力加載方式均是有效的.

實際工程中，受限于預應力材料的極限抗拉強度σ*，使得預應力桿件存在最大安全工作拉力

fpmax=σ·Aη

(9)

式中，系數η滿足，且0<η<1.應用滿應力準則設計理念，對于合理有效的預應力加載方式，最佳的預應力值需要滿足在工作狀態下的桿件達到許用最大拉力fmax.結構在極限荷載作用時預應力桿件內的預拉力達到fpmax，有

(10)

一般的，如果令t0表示只有工作載荷作用時的桿件拉力，最佳的預應力設計值為

fp=fpmax-t0

(11)

3 靈敏度分析

3.1 靈敏度推導

(12)

可以看出，上式靈敏度分為荷載和預應力兩個部分，使用伴隨法，引入伴隨向量[9]，則第一部分求解如下：

(13)

同理可得：

(14)

對于式(12)中第二部分的靈敏度，同時應用式(13)、(14)

(15)

綜合式(13)、(15)可知目標函數靈敏度為：

(16)

3.2 靈敏度驗證

采用差分法對靈敏度進行正確性驗證，設d表示差分法步長，易知：

(17)

利用對稱性，取結構的右半部分為研究對象，將驗證結構設為20×10的簡支梁半結構，尺寸單位為cm，目標自由度定為結構左上角節點縱向位移，泊松比υ=0.3，矩形結構和預應力桿件的彈性模量均為E=200 GPa，作用位置見圖3(a)，限制體分比為0.4，懲罰系數p=3，在左上角受到F1=2 kN的豎直向下的集中荷載，預應力桿件截面積A=1cm2，桿件的最大預應力容許值fmax=5 kN.差分法步長取0.000 1，取樣設計變量位置如圖3(b)所示：

(a)荷載作用位置

表1為取樣點解析法與差分法計算的數據對比，表明解析法準確可靠.

表1 靈敏度誤差

4 算例

本節針對上文中的計算方法，通過具體算例與傳統的“先設計拓撲后預應力強化”法進行對比分析，來說明本文方法的優化效果.算例均為100×30網格結構，材料屬性與3.2節相同.由于結構的預應力桿件始終存在，為非設計域，在拓撲圖形中并未畫出.

4.1 簡支結構

圖4為簡支矩形半結構受到F=6 kN的集中荷載.所有荷載作用位置如圖4(a)所示.預應力桿件布置在結構最下端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目標自由度定為結構跨中上側節點的縱向位移，即總體結構跨中撓度.

(a)整體結構示意圖

使用本文方法，在耦合預應力的前提下進行拓撲求解，得到骨架圖形見圖5，優化過程中目標函數的變化曲線見圖6.圖7為優化過程中預應力設計值的變化曲線.此時最佳預應力設計值為3.26 kN，最優的目標函數值為2.92 cm.

圖5 簡支預應力結構的1/2結構拓撲結果

圖6 簡支預應力結構目標函數位移變化

圖7 簡支結構預應力設計值的變化

傳統的做法是先在無預應力狀態下進行拓撲設計.此時的目標函數僅為QTU0，其他部分均與上文相同，容易求出目標函數為4.91 cm.若將fp=3.26 kN以預應力的形式添加到結構中，對結構進行加強.經有限元計算后，可以得到修正后的目標函數為3.45 cm.相比之下，使用本文方法優化比例達到15.36%，效果理想.

4.2 懸臂結構

圖8所示懸臂結構，受到荷載F=3 kN的集中荷載.預應力桿件布置在結構最上端，可承受的最大安全拉力fmax=5 kN.目標自由度定為結構右上角節點的縱向位移，即結構自由端撓度，荷載作用位置如圖8所示.

圖8 預應力懸臂結構

使用本文方法，進行拓撲求解，拓撲結果見圖9，優化過程中目標函數的變化曲線見圖10.圖11為優化過程中預應力設計值的變化曲線.此時最佳預應力設計值為3.35 kN，最優的目標函數值為2.85cm.

圖9 預應力懸臂結構拓撲結果

圖10 目標函數位移變化

圖11 預應力設計值的變化

同簡支結構一樣，若采用傳統的做法，即先在無預應力狀態下進行拓撲設計，得到骨架圖形，以及目標撓度為4.82cm，然后再添加3.35kN的預應力對桿件對結構進行加強、修正得到3.55 cm.相比之下，本文方法優化比例達19.71%，效果顯著.

5 結論

本文充分考慮了預應力和結構拓撲的耦合影響，研究了預應力結構的拓撲優化設計方法.預應力值的確定參與到拓撲設計的每個循環計算之中，使結構材料的分布更加合理，更加有效.算例結果表明：本文方法與傳統方法相比，在相同材料用量的前提下，實現了對目標結構的進一步優化，得到了令人滿意的優化結果.