單氣泡池沸騰傳熱中的重力效應數值模擬

趙建福，張 良，杜王芳，2，李會雄

(1. 中國科學院力學研究所 微重力重點實驗室，北京 100190；2. 中國科學院大學 工程科學學院，北京 100049；3. 中國科學院力學研究所 高溫氣體動力學國家重點實驗室，北京 100190；4. 西安交通大學 動力工程多相流國家重點實驗室，西安 710049)

0 引 言

液氣相變引起的潛熱傳遞導致沸騰現象具有高效傳熱性能，在地面常重力和空間不同重力環境都有著重要而廣泛的應用前景。氣、液兩相介質密度間的巨大差異，使得重力可以通過驅動運動、改變界面等強烈影響著沸騰現象。因此，掌握和預測不同的重力環境中沸騰傳熱特性是其空間應用所面臨的關鍵挑戰。然而，目前關于沸騰現象的知識往往充斥著大量的經驗關聯式和半經驗的機制模型，它們又往往強烈依賴著大量精心設計的地面實驗數據。盡管在諸多經驗關聯式和半經驗機制模型包含了重力參數，但在其經驗基礎之外應用時往往失敗，甚至連基本變化趨勢都可能預測錯誤。

一般來說，沸騰現象中，熱流密度q可以表示為加熱面過熱度ΔTw、重力g和加熱器特征長度Lh的指數函數的乘積形式，即

其中指數n、m和s是與過熱度、重力和加熱器特征長度相關的無量綱標度指數，比例常數a反映了其他材料和環境參數的影響[1]。核態池沸騰傳熱中廣為應用的Rohsenow模型[2]表明，在恒定過熱度下，重力標度指數m= 0.5。然而，目前文獻中關于重力標度指數的結果極為分散，一般在-0.35到0.5之間[3]，甚至高達1[4]。

基于失重飛機進出失重階段的短時（3～5 s）重力過渡狀態實驗數據，Raj等[5-8]提出了一個核態池沸騰傳熱重力標度模型，即Raj-Kim-McQuillen重力標度定律（簡稱為RKM模型）：存在浮力主導的沸騰區（BDB）和表面張力主導的沸騰區（SDB）2種模式，二者間的邊界重力gtrans與加熱器特征長度Lh有關，對應于基于Laplace長度Lc= {σ/[g(ρl-ρv)]}0.5（這里，σ、ρ分別代表表面張力系數和密度，下標l、v分別代表液相和氣相）的無量綱加熱器特征長度Lh/Lc= 2.1；在BDB區，熱流密度隨重力指數增加，重力標度指數mBDB與過熱度有關，其數值由核態沸騰起始時的0單調增加到臨界熱流（CHF）時的1/4；而在SDB區，重力對熱流密度沒有影響，即mSDB等于0。BDB和SDB間存在熱流跳變，其幅度隨過冷度減小而增大[9-10]。

杜王芳和趙建福[1]指出，RKM模型存在兩個缺乏理論和/或經驗依據的隱含假設，即不同重力條件下核態沸騰起始溫度和CHF溫度恒定。最近關于池沸騰傳熱的格子Boltzmann方法數值研究結果表明，CHF溫度隨著重力減弱而明顯減小[11-12]。此外，該模型關于沸騰起始點和CHF附近的漸近行為（mBDB分別趨于0和1/4）的假設，事實上混淆了過熱度恒定、熱流密度恒定和基于臨界熱流的無量綱熱流密度恒定等不同限制條件下的重力標度指數間的物理意義。

經驗數據的匱乏及局限性也是RKM模型缺陷存在的客觀原因之一。隨著計算機技術和計算科學的迅速發展，數值模擬已經被諸多研究者用來揭示沸騰過程細觀特征和內在機理。例如，Stephan和Hammer[13]、Son等[14]、Zhao等[15]和Yi等[16]在忽略加熱固壁熱容影響的情況下對單氣泡沸騰進行了數值研究。Fuchs等[17]、Aktinol和Dhir[18]、Zhang等[19、20]和Li等[21]對有限厚度加熱固壁上的單氣泡沸騰進行了數值研究，揭示了加熱固壁熱響應對局部溫度分布、氣泡行為及相應的傳熱性能均有顯著影響。Dhruv等[22]發展了一個計入多氣泡相互作用的池沸騰傳熱模擬方法，得到了與RKM模型預測相符的預測結果，但計算中未考慮加熱固壁熱響應的影響。

本文在Zhang等[19-20]和Li等[21]常重力單氣泡沸騰研究基礎上，對不同重力條件下飽和FC-72單泡池沸騰過程中的氣泡動力學和傳熱性能開展數值模擬研究，重點關注在不同重力條件下熱流密度的重力標度行為。

1 數值模型

本文采用最初由Stephan和Hammer[13]提出的接觸線模型描述生長氣泡底部液-氣-固三相線附近的相互作用，采用虛擬流體方法（Ghost Fluid方法）刻畫液氣界面突變。沸騰過程中的單氣泡生長簡化為軸對稱流動與傳熱，計算域劃分為微觀區和宏觀區（圖1），其中，微觀區（即生長氣泡底部三相接觸線附近的超薄液膜區，也稱為微液層）采用Son等[14]的模型，宏觀區（包括微觀區之外的液、氣區域及生長氣泡底部加熱固壁）采用連續介質模型，數值求解描述其質量、動量和能量守恒規律的封閉方程組。

圖1 數值模擬中的計算區域Fig. 1 Computational domain used in numerical simulation

模型中采用了以下假設：1）液、氣兩相均為黏性不可壓牛頓流體；2）材料物性參數恒定，不受溫度和壓力的影響；3）流體運動是層流；4）表觀接觸角恒定，忽略動態接觸角效應；5）加熱固壁底面溫度恒定。

1.1 宏觀區

宏觀區速度u、壓力p、溫度T的演化由如下質量、動量和能量守恒方程予以描述：

式中，Ω表示連續域，下標s、sat分別代表固相和飽和狀態，μ、βT、Cp、k分別代表動力黏性系數、熱膨脹系數、定壓比熱和熱傳導系數。

相間界面?Ω處物理量間斷關系如下：

1.2 微觀區

假設微觀區液氣界面斜率恒定[23]，相應的微液層可視作軸對稱的錐臺側面，基于潤滑理論近似之下的質量、動量和能量方程，得到了如下顯式的微觀區熱流密度qmic和相變質量流率mmic：

式中，ΔAmic、h、R1分別微液區的面積、邊緣厚度與半徑，γ代表表觀接觸角。

1.3 Level-set方程

在宏觀區，采用Level-set方法跟蹤液-氣、流（液或氣）-固界面，后者將不同物質相態區分開來。

液-氣界面的Level-set函數φ被定義為到液氣界面的距離，其中液相為正，氣相為負，界面位置對應φ= 0。液氣界面的運動受下述方程控制：

其中，uint為界面速度，定義為：

另一個Level-set函數ψ用于處理流（液或氣）-固體界面，其定義為到固定的流-固界面（即加熱固壁頂面）的符號距離，負值表示固體區，正值表示流體區，界面固定不動。

利用Heaviside函數

可將不同區域物性參數表示為如下形式：

1.4 邊界條件和初始條件

為了避免有限的計算區域邊界對氣泡生長過程的影響，同時節省計算資源，流體所在的計算域尺寸選擇為（1Lc×2Lc），固壁厚度固定為5 mm。

邊界條件如下：

3）加熱固壁底部：T=Tw；

此外，還須考慮另外2個條件，描述加熱固壁頂面三相區附近的微液層相變與接觸線運動行為：

后者對應于表觀接觸角恒定假設。

流體初始靜止，即：

初始溫度設置如圖1所示，加熱固壁內部溫度均勻分布，近壁過熱液層厚度δT由下式給出[24]：

式中，ν、α分別代表運動黏性系數和熱擴散系數。

鑒于連續介質模型不能自動模擬核化的發生，在一個新的氣泡周期開始，須在核化點（即加熱固壁頂面對稱軸位置）設置一個初始半徑0.05Lc的截球狀小氣泡，隨后計算其生長、脫落與運動；氣泡脫落后，加熱固壁頂面溫度將持續恢復，一旦核化點溫度達到由Hsu核化模型[25]確定的、與1 μm空穴直徑對應的、恒定的核化過熱度，則開始后繼新的一個氣泡周期。有關數值方法的更多細節，請參見Zhang等[20]和Li等[21]。為了消除初始條件對物理真實的偏離的影響，需進行多個氣泡周期模擬才能得到準穩態的單氣泡沸騰。

1.5 離散方法與數值驗證

宏觀區流體空間離散化采用100×200標準MAC網格對進行，Navier-Stokes方程的數值求解采用投影法，動量方程和能量方程中對流項的離散采用二階ENO格式，擴散項則采用中心差分格式。在常重力條件下本文模型預測結果與Siegel和Keshock[24]實驗結果以及Son[26]、Son等[14]數值結果符合甚好，詳細的數值驗證情況可參考Zhao等[15]、Zhang等[19]和張良[23]，這里不再贅述。

2 結果與討論

本文關注于不同重力條件下的單氣泡沸騰現象，具體研究了飽和FC-72在1g0（即地面常重力狀態）、0.3g0、0.1g0、0.03g0和0.01g0等重力條件下單氣泡池沸騰過程中的氣泡動力學和傳熱性能（表1）。加熱固壁材質為石英玻璃，底面過熱度固定為10 K。考慮到蒸氣反沖效應，沸騰現象中生長氣泡的表觀接觸角往往遠大于其靜態接觸角，計算中表觀接觸角取為γ= 42°。

表1 不同重力條件下的主要結果Table 1 Main results at different gravity levels

表1中列出了5個算例的主要結果，其中，由于加熱固壁內部熱容影響，與工質直接接觸的加熱固壁頂面上的時空平均熱流密度和過熱度，將不再是預先給定的，而成為計算的輸出結果。顯然，氣泡生長周期tc和脫落直徑Db隨著重力的降低而增大，傳熱性能則明顯惡化：加熱固壁表面的時空平均的熱流密度qave隨著重力的降低而顯著下降，而相應的時空平均的壁面過熱度ΔTw,ave略有增加。這里所謂的“時空平均”，是指在一個準穩態的氣泡周期（相鄰2個核化時刻之間的時段）內整個加熱面上相應物理量的時間和空間雙重平均結果。表中，ΔTw,ave、qave為原始輸出結果，基于1Lc×2Lc計算域對應的半徑為1Lc的加熱器表面面積平均得到的。鑒于Laplace長度與重力的平方根成反比，加熱器的物理尺寸將隨著重力的減小而增大，從而導致不同重力條件下加熱器的物理尺寸不同，傳熱性能原始輸出結果間的直接比較顯然不盡合理。考慮到計算域外側邊界條件隱含的外側流動和計算域內氣泡生長過程間無影響假設，本文采用“加熱固壁表面人為擴展”的辦法，將不同重力條件下加熱器均擴大為最小重力（即0.01g0）條件下1Lc所對應的數值，擴展的加熱表面上的局部溫度和熱流密度與相應重力條件下計算域外側加熱表面相應數值相等，基于擴展的加熱器表面面積計算得到修正的傳熱性能時空平均結果ΔT*w,ave、q*ave，保證了不同重力條件下加熱器物理尺寸的一致，使得傳熱性能間的比較合理性增強。

圖2～圖4顯示了不同重力條件下標稱過熱度10 K時單氣泡沸騰多周期生長過程模擬結果，包括氣泡直徑D隨時間的變化和每個氣泡生長周期內的生長時間tg、等待時間tw、脫落直徑Dd以及時空平均的熱流密度qw,ave和壁面過熱度ΔTw,ave，其中，氣泡生長時間tg和等待時間tw之和即氣泡周期tc。

圖2 1g0（常重力）時多氣泡周期的氣泡生長過程Fig. 2 Multi-cycle process of bubble growth at 1g0

圖3 0.1g0時多氣泡周期的生長過程Fig. 3 Multi-cycle process of bubble growth at 0.1g0

圖4 0.01g0時多氣泡周期的生長過程Fig. 4 Multi-cycle process of bubble growth at 0.01g0

圖中可以清楚地觀察到，氣泡生長過程隨周期不同有明顯差異，特別是在計算的初期。其主要原因在于理想化的初始條件。因此，為了消除初始條件對氣泡生長過程及相應傳熱特性的影響，多周期模擬是必須的，甚至數十個氣泡周期的計算依然只是達到某種準穩定狀態（也許這正反映了相鄰脫落氣泡間的某種非穩態的相互影響）。

圖5和6顯示了工況2和4最后一個氣泡周期內若干典型時刻加熱固壁表面局部溫度和熱流分布的演變，與之相對應的氣泡形態和溫度場演變如圖7所示。為了便于比較，溫度場的描述采用無量綱溫度，即0對應飽和溫度，1對應標稱過熱度ΔTw= 10 K。

圖5 0.3g0時典型氣泡生長周期內加熱表面局部溫度和熱流密度的分布Fig. 5 The distribution of temperature and heat flux on the heater surface at different time in a typical bubble circle at 0.3g0

圖6 0.03g0時典型氣泡生長周期內加熱表面局部溫度和熱流密度的分布Fig. 6 The distribution of temperature and heat flux on the heater surface at different time in a typical abubble circle at 0.03g0

氣泡生長過程中，在接觸線附近可以觀察到因劇烈蒸發引起的明顯溫度下降與熱流密度的尖峰，這有助于熱量向流體的傳遞。溫降區域受接觸線運動的推動而往復移動，導致生長氣泡下方加熱器表面（特別是在移動接觸線來回掃掠的區域）局部溫度和熱流密度的劇烈波動。遠離核化點處相變影響較弱，傳熱僅依賴自然對流，熱流密度很小，而壁溫往往會高于核化起始溫度。重力越低，壁溫與核化起始溫度的差值越大，對應于低重力時液相自然對流的減弱。

氣泡脫落后，回流的新鮮液體抑制了液氣相變，氣泡底部加熱面溫度隨之開始上升，直到核化點溫度再次達到核化起始溫度，新的氣泡周期再次啟動。在氣泡附近液體中也可以清楚地觀察到過熱液層的周期性變化，以及固壁內的瞬時熱吸收和釋放。這些局部對流在沸騰傳熱中起著重要的作用。

圖8顯示了不同重力條件下準穩態氣泡生長周期內核化點處壁溫的演變特征，并標明了氣泡底部接觸線無量綱回退時間（即τr=tr/tc）和脫落時間（即τd=td/tc）。為清楚起見，圖中略去了工況3。核化點活化（這里表現為截球狀小氣泡的人工置入）后，氣泡先是浸沒在過熱液層內，液體在氣泡表面蒸發相變使得氣泡尺寸及其與加熱表面接觸的底部在早期迅速向外膨脹，相變所需熱量不僅來自過熱液層的顯熱，也包括加熱固壁存儲的熱量，后者導致核化點處壁溫的快速下降。該溫降過程持續的相對時間與重力關聯較弱，但溫降幅度隨著重力的降低先減后增，臨界重力約為0.03g0。隨著氣泡長大，氣泡底部擴張使得接觸線遠離核化點，核化點附近為氣體覆蓋，局部傳熱惡化使得其溫度持續回升，甚至超過核化起始溫度；同時，氣泡體積的增大，也使得作用在氣泡上的浮力作用逐漸增強，抬升氣泡質心，當抬升效應超過擴張效應時，氣泡底部轉而向核化點方向收縮（即接觸線回退），直至脫離壁面。接觸線相對回退時間隨重力的變化是非單調的，即先增后減，臨界重力同樣約為0.03g0。

而鄰近氣泡脫落時，接觸線附近的微對流和強蒸發使壁溫再次快速下降，其幅度往往超過核化起始時，尤其是常重力條件下。氣泡脫落后，加熱面附近過熱液層逐漸恢復，直至核化點溫度達到相應核化起始條件，開始后續新的一個氣泡周期。氣泡脫落后的等待時間隨重力下降快速減小，超過0.03g0后幾乎完全消失。

圖7 0.3g0和0.03g0時氣泡形態及其周圍溫度場的演化Fig. 7 The evolutions of bubble topology and temperature field isotherm at 0.3g0 and at 0.03g0

圖8 不同重力條件下典型氣泡生長周期內核化點溫度的演化情況Fig. 8 The evolution of wall temperature at the nucleation site in a bubble cycle at different gravity levels

圖9顯示了氣泡脫落直徑和生長周期隨重力的變化。可以發現，氣泡脫落直徑與Fritz模型（即Db=0.020 8γLc）[27]預測相符，反比于重力的1/2次方；而氣泡脫生長周期反比于重力。這樣，不同重力條件下Dbf1/2= 常數，其中氣泡脫落頻率f= 1/tc。

圖9 氣泡生長周期和氣泡脫落直徑隨重力的變化Fig. 9 The variations of bubble growth period and bubble departure diameter with the gravity

圖10顯示了熱流密度相對于重力的標度行為。鑒于本文計算中加熱固壁表面溫度并非預先給定，而是最后輸出結果，不同工況下時空平均的壁面過熱度隨重力有微弱變化，這里采用5個工況壁面過熱度的平均值7.6 K（最大偏差不超過1 K）來表征壁面熱狀態。可以看到，無論是否對輸出結果進行面積校正，0.01g0時傳熱特性均明顯偏離了較高重力條件下熱流密度與重力呈指數函數關系的變化趨勢，反映出2個區域內有著明顯不同的沸騰機制。較高重力區傳熱特性變化趨勢與RKM模型[5-8]中浮力主導沸騰區（BDB）相似，熱流密度與重力相關。較小重力時，RKM模型稱之為表面張力主導區（SDB），傳熱特性與重力無關。這樣，通過兩條趨勢線的交點可以得到重力相關區和重力無關區的分界位置，確定過渡（或臨界）重力的數值，或者對應的無量綱加熱器尺寸Lh/Lc的臨界值：對未校正結果Lh/Lc= 2.9，而對校正結果Lh/Lc= 3.2，均接近RKM模型建議的數值Lh/Lc=2.1。此外，加熱面積校正使得重力相關區傳熱性能的重力標度指數從未校正時的0.475到校正后的0.425，變化不大。但在重力無關區，加熱面積校正會引起無量綱熱流密度的明顯提升，這實際上源于常重力沸騰時加熱面積校正引入的擴展加熱面上較低的單相傳熱，導致校正后的熱流密度大幅減小。

圖10 單氣泡沸騰傳熱中的重力標度行為Fig. 10 Gravity scaling of heat transfer in single bubble boiling

Zhao等[15]不考慮加熱固壁熱效應的數值模擬結果及加熱面積校正結果同樣示于圖10，明顯存在與本文模擬結果相同的特征。重力相關區和重力無關區分界位置所對應的無量綱加熱器尺寸Lh/Lc的臨界值與壁面過熱度存在微弱的相關：5 K過熱度時約2.3，10 K過熱度約2.6，15 K過熱度約2.8，均與RKM模型建議的2.1值相近。而重力相關區傳熱性能的重力標度指數則隨過熱度增加而有明顯的單調增大的趨勢：5 K過熱度時約0.36，10 K過熱度時約0.44，15 K過熱度時約0.5（與經典的Rohsenow關聯式預測值相同）。這種單調的增長趨勢與RKM模型定性一致，只是具體數值增大約2倍。此外，與本文模擬結果相比可以發現，重力相關區加熱固壁熱響應對熱流密度的重力標度指數影響不大，但在重力無關區則有著明顯的影響。因此，加熱器熱響應對微重力沸騰傳熱的影響尤其值得重視。

3 結 論

本文研究了不同重力條件下飽和FC-72單氣泡池沸騰過程中的氣泡動力學和傳熱特性，其中考慮了5 mm厚SiO2加熱固壁的瞬態熱響應。計算中對加熱固壁底面給定恒定、均勻的10 K過熱度，這樣，與流體工質相接觸的加熱表面上的時空平均熱流密度和過熱度都不再是預先給定的變量，而是模擬的結果。為了消除初始條件對氣泡生長過程及相應傳熱特性的影響，需要進行多氣泡周期模擬，來實現準穩態的沸騰過程。

氣泡生長周期內，氣泡底部加熱面會經歷局部干斑的擴展、回退和表面再潤濕等過程。雖然氣泡周期隨重力的減小而增大，但相對回退時間卻非單調變化，最大值約發生在0.03g0，兩側的不同表現預示著沸騰機制的改變。生長氣泡底部加熱表面溫度在接觸線附近存在明顯溫降和相應的熱流峰值，其位置隨接觸線運動而變。在接觸線來回掃掠區域內，壁溫和熱流密度均有劇烈的波動，而遠離核化點處屬于單相液體傳熱，傳遞給工質的熱流密度較小且近似恒定。當氣泡從加熱面上脫落時，液體對氣泡底部干斑的再潤濕會抑制核化點處的局部高溫，形成等待期；等待期內壁溫回升，當再次達到核化起始條件后，新的氣泡出現，開始下一個氣泡周期。在氣泡附近可以清楚地觀察到過熱液層的周期性變化，以及固壁內熱的瞬態吸收和釋放。這些局部對流換熱在沸騰現象中起著重要的作用。此外，本文模擬結果表明，氣泡脫落直徑與重力的1/2次方成反比，且與Fritz[27]模型預測一致；而氣泡頻率則與重力成正比。

本文提出了一個熱流密度的面積校正方法，以便在相同的加熱器物理尺寸下比較不同重力條件下的沸騰傳熱性能。觀察到與RKM模型[5-8]相似的熱流密度在不同重力區間的標度行為差異：當重力不小于0.03g0時，熱流密度與重力呈指數函數關系，表現出明顯的重力相關性；當重力等于0.03g0時，熱流密度明顯偏離相應趨勢。參照RKM模型[5-8]，假設低重力下沸騰傳熱與重力無關，可以確定重力相關區與重力無關區邊界對應的臨界重力范圍為（0.01～0.03）g0，或臨界加熱器尺寸約（2～3）Lc，接近RKM模型建議值2.1Lc[5-8]。重力相關區沸騰傳熱的重力標度指數從低過熱度時的0.36單調增加到高過熱度時的0.5，其單調增長趨勢與RKM模型[5-8]定性相符，但具體數值約增大了1倍。加熱固壁熱響應對重力標度指數沒有明顯影響，但明顯影響到對重力無關區傳熱性能的刻畫。微重力條件下，加熱固壁熱響應對傳熱性能的影響值得重視。