離散時滯不確定性控制系統的穩定性分析

吳越 王紅運 劉旭遙

摘? 要：隨著Matlab LMI工具箱的問世，控制領域中的問題研究得到了改善。但是，完美的應用LMI方法解決離散時滯不確定性系統的魯棒控制理論問題，仍然需要不斷的思考與發現。針對離散時滯不確定性控制系統，為研究它時滯依賴的穩定性判據，通過構造新的Lyapunov泛函的方法以及新的線性矩陣不等式放大的技術，再通過具體定理和定理的證明過程，得出了新的時滯依賴情況下的穩定性判據。同時，也更清晰地說明了時滯依賴的穩定性判據。在實際工業系統中，時滯往往會影響系統的正常工作，使系統處于不穩定的狀態，因此研究時滯問題具有重要的現實意義。

關鍵詞：奇異攝動系統? 時滯系統? 離散系統? 穩定性? 線性矩陣不等式

中圖分類號：TP271? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-3791（2021）02（c）-0239-03

Stability Analysis of Discrete Time-Delay Uncertain Control Systems

WU Yue? WANG Hongyun? LIU Xuyao

（JiLin Normal University， Changchun Jilin Province， 130000 China）

Abstract：With the advent of the Matlab LMI toolbox， problem research in the field of control has improved， but the perfect application of the LMI method to solve the problem of robust control theory for discrete time-delay singularly perturbed systems still requires continuous thinking and discovery. For discrete time-delay uncertainty control system， this paper studies the delay-dependent stability criteria for discrete-time control systems with time-varying delays， by constructing a new Lyapunov functional method and a new linear matrix inequality amplification technique， through the specific theorem and the proof process of the theorem， a new stability criterion under the time-delay dependent situation is obtained. It more clearly illustrates the stability criterion of delay dependence more clearly. In actual industrial systems， time-delay often affects the normal operation of the system and makes the system in an unstable state. Therefore， the study of time-delay has important practical significance.

Key Words： Singular perturbation system;Time-delay system;Discrete system;Stability;Linear matrix inequality

自1958年，錢學森引進現代控制理論以來，控制理論得到了飛速的發展，在20世紀60年代的航天領域中有廣泛的應用。現代控制理論的結果是基于對象的一個數學模型，按照系統的性能要求，根據分析的被控對象的數學模型所設計的控制律，將其應用于被控對象使閉環系統達到所期望的性能。在系統分析中，任何一個物理系統都不可能用一個數學模型精確表示。由于建模時，對系統特性和環節了解不足，比如難以建模的部分、系統環境的變化、元器件的老化、物理參數的老化等變化因素所產生的系統行為的變化，都可能導致模型的不確定性的產生。關于離散系統在綜合與分析問題上的研究，從目前國內外學者所研究的結果來看，已經比較完善。但含有不確定性的離散系統穩定性問題的研究并不多見，更需要進一步的補充和改進。現有文獻中所解決的線性離散時滯系統的穩定性問題，采用的是Lyapunov泛函方法，但使用這種方法的同時往往需要引入較多的矩陣變量，使得計算量大推理過程繁瑣。不同于已經完成的研究，現在用新的Lyapunov函數方法，新的線性矩陣不等式放大技術，得到了對于時滯奇異不確定性控制系統在時滯依賴下的一個新的穩定性判據。

1? 系統的穩定性分析

考慮以下離散時滯不確定性控制系統

（1）

初始條件：，其中，，是狀態向量，d（t）是系統的滯后時間，A，B是適當維數的實矩陣，A漸近穩定，d（k）為時變時滯可微函數，且

d1≤d（k）≤d2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

其中，d1，d2為已知正整數，是系統初始條件。如果，為反應不確定結構的常數矩陣，是范數有界不確定模型的參數矩陣，滿足

≤I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中，表示系統參數不確定性矩陣，它們具有形式

（4）

離散時滯系統是指一切在時間或者空間上不連續的具有時特性的系統，時滯是時間的滯后的簡稱，指令發出后，一定時間后系統才做出回應。時滯是指當前狀態的變化率不僅依賴于當前的狀態，也依賴于過去某時刻或某時間段的狀態的特性。存在時滯，一方面使得系統的動態性能變差從而造成系統不穩定，另一方面也可以在某些系統中通過時滯來改善控制效果。離散控制系統在20世紀50年代就引起了注意，系統用數字計算機在模擬、分析、設計、計算時在時間上是離散的，把時間變量考慮成離散變量，研究的系統考慮成離散系統，目前離散系統的分析與控制成為控制理論里的一個重要部分。

引理1 對任意適當維數的向量a，b和矩陣X，N，P，R，其中N和R是對稱的，若

≥0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

則

（6）

證明

（7）

證得引理成立。

引理2 如果存在對稱陣，且，則有如下LMIs條件：

（1） Z1>0;

（2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;

（3）;

則，，其中

（8）

線性矩陣不等式自1992年以來被廣泛應用于系統與控制問題中的解決過程，隨著用于解決優化問題的線性矩陣不等式的內點法的提出，及MATLAB軟件中LMI工具箱的提出，應用線性矩陣不等式方法越來越受到重視。

2? 時滯依賴的穩定性判據

定理：若存在對稱正定陣Q>0，W>0，適當維數的矩陣P，對稱陣N和R，滿足≥0，對于矩陣有，對于滿足條件（2），（3）和（4）所具有的時變時滯可微函數d（k），不確定性F，給定正數，下列LMIs條件是可行的。

Z1>0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

（10）

（11）

（12）

（13）

其中，，，則系統（1）對是漸近穩定的。

證明 定義一個二次L-K泛函，其中

（14）

（15）

其中，Q，W為對稱正定矩陣，即，，由線性矩陣不等式條件，，有：

（16）

（17）

這樣V（k）就為正定的L-K泛函。

把V（k）沿系統（1）向前差分，有：

（18）

可知，存在適當維數的矩陣P，對稱陣N和R，得：

由以上不等式可得：

其中：，

因此，由LMIs條件得：

（19）

于是，，故，所以系統（1）是漸近穩定的。

3? 結語

在給定的時滯離散系統下，利用給出的LMIs條件，先定義一個二次L-K泛函，再進行構造，利用線性矩陣不等式，把定義的泛函沿著系統進行差分，通過詳細的證明過程，證明出該系統的時滯依賴的穩定性判據，從而確定該不確定性系統是穩定的，證得結論成立。

參考文獻

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