面向信息加密的有限域LDPC碼設計*

李 廣

（陸軍工程大學，江蘇 南京 210007）

0 引言

隨著通信系統的飛速發展，人們的生活發生了翻天覆地的變化。各式各樣的智能終端日益普及，基站、衛星星座等一系列通信設備的應用爆發式增長。從最初的短波電報通信到語音通話再到現在的高質量視頻通話以及未來可及的三維全息投影通話，人們對高速率、高質量、高可靠性的通信需求從未停止過。目前，4G 通信技術早已全面商用；5G 通信基站正鋪天蓋地地建設中，已有部分投入商用；未來的6G 時代與5G 相比無論是速率、時延以及覆蓋范圍都會有質的飛躍。6G 將是一個地面無線與衛星通信協作的全連接、低時延、高可靠的網絡。然而無論是星地信道，還是地面的異構網絡都具有開放和廣播的特性[1]，傳輸的信號中所承載的信息若不加防范，則很容易被人竊聽[2]、偽造和篡改。傳統的加密學通過增加密鑰熵對通信進行加密，通常在網絡層以上進行[3]，但是近年來隨著計算力的大幅度提升，對無線通信的質量和速率的要求變得更加嚴格，傳統的加密學已無法滿足需求，上層加密面臨著巨大的挑戰和威脅[4]。

傳統加密通信[5]如圖1 所示，將加密放在上層，浪費了較多資源。

圖1 傳統加密編碼

本文采用聯合加密思想，將物理層信道編碼與加密結合的方式對明文進行加密如圖2，采用私有[6]低密度奇偶校驗（Low Density Parity Check，LDPC）碼的校驗矩陣對明文加密，在不犧牲糾錯性能的前提下提升了信息傳輸的安全性[7-9]。

圖2 物理層聯合編碼加密

本文采用有限域兩類子群混合構造準循環LDPC（Quasi Cyslic-Low Density Parity Check，QCLDPC）的校驗矩陣[10]，并通過信源碼的原模圖外信息轉移（Protograph Extrinsic Information Transfer，PEXIT）算法對校驗矩陣進行掩模，使校驗矩陣具有更低的譯碼門限，對碼字信息位打孔后傳輸，提升了信息傳輸的安全性且譯碼性能不受影響。

1 面向信息加密的LDPC 碼的設計架構

采用有限域設計LDPC 碼，使得碼字具有較低的錯誤平層，再通過PEXIT 算法對校驗矩陣進行掩模，使得掩模后的矩陣具有較低的譯碼門限，瀑布區性能更好。編碼后，將信息位打孔，只發送校驗位。綜上，面向信息加密的LDPC 碼在保證通信系統可靠性的同時，增加了通信系統的安全性。

碼字的設計流程如圖3 所示，先根據有限域元素生成基矩陣B，再根據PEXIT 算法對基矩陣進行掩模確定基矩陣的連接關系，最后由掩模后的基矩陣散列成校驗矩陣H。明文編碼后，刪除信息位傳輸得到非系統碼的密文。

圖3 LDPC 碼設計流程圖

1.1 基于基模圖和有限域的QC-LDPC 跳碼

LDPC 碼是線性分組碼，在數據傳輸上可逼近香農極限。最早由Gallager 在1962 年提出，隨著計算機技術的發展，于1999 年MacKay 仿真出接近香農極限二進制對稱信道（Binary Symmetric Channel，BSC）和二進制輸入加性高斯白噪聲信道（Binary Input Additive White Gaussian Noise，BIAWGN）信道容量的LDPC 碼。但當時的碼字缺乏結構性，不利于編譯碼的硬件實現。一種降低復雜度的方法是在LDPC 碼校驗矩陣中引入一些額外的有助于編譯碼的結構。基模圖碼[11]目前是最主流的結構化碼字。它是采用小矩陣生成大矩陣，易于設計、實現和分析的LDPC 碼。

1.1.1 基模圖碼

基模圖碼是一種通過小矩陣生成大矩陣的LDPC 碼，基模圖是小矩陣對應的Tanner 圖。通過對圖中的邊進行復制-置換得到較大的圖，使其具有一定的結構性，更有利于編譯碼器的硬件設計。圖4 是小矩陣的基模圖，通過對圖中的邊進行置換可得圖5 的大矩陣，其中Pi,j代表置換矩陣。本文采用循環置換矩陣（Cyclic Permutation Matrix，CPM）來替代圖4 中的邊，即矩陣Pi,j為CPM，維度為q-1，循環右移pi,j，即循環移位因子為pi,j。

圖4 基模圖示例

圖5 基模圖擴展后得到的Tanner 圖示例

1.1.2 有限域簡介

有限域LDPC 碼[12]是基于代數理論構造的一類碼字。有限域GF(q)中含有q個元素，q為素數冪，設α為GF(q)的本原元，q個元素分別α-∞=0，α0=1,α1,…,αq-2。設有限域矩陣為B=[bi,j]，0 ≤i

2 面向信息加密的LDPC 碼構造算法

2.1 基于有限域兩類子群的QC-LDPC 跳碼構造算法

基于迭代譯碼的碼字的缺陷是存在錯誤平層，而文獻[12]通過數值分析證明了基于有限域所設計的碼字可以有效地降低錯誤平層。迭代譯碼的瀑布區性能與校驗矩陣Tanner 的圍長有關。圍長是指Tanner 圖中最小環長。環長定義為在由d個校驗節點和d個變量節點所構成的集合中存在一條經過所有節點且只經過一次的閉合路徑。根據外信息Turbo 原理可知，當迭代次數超過環長的1/2 時，外部信息的可靠度將會下降。增大圍長可有效地增加外部信息的可靠性。

由基矩陣散列所得到的校驗矩陣的環長與基矩陣中的循環移位矩陣的循環移位因子有關，文獻[12]給出了圍長為6 或8 的基矩陣的充要條件。

定理1 2×2SM（SM，Submatrices）約束（Tanner圖圍長為6 及以上原理）：基矩陣B中每個2×2的子矩陣中包含至少一個0 項或為非奇異矩陣。

定理2 3×3SM約束（Tanner 圖圍長為8 及以上原理）：在基矩陣B中在每個2×2 和3×3 的矩陣中不存在相同非0 的行列式展開項。

采用有限域的乘法群和加法群可以很容易的構造出滿足上述定理的基矩陣。

設有限域為GF(q)，其本原元為α，則基矩陣B(S1,S2)所散列矩陣的Tanner 圖圍長至少為6，B(S1,S2)定義如下：

式中：η為GF(q)中的非0 元素；數組S1、S2分別為，其中1 ≤m，n

通過計算機搜索可以找出滿足3×3SM約束的基矩陣B(S1,S2)，這樣其散列的校驗矩陣圍長至少 為8，增加了迭代譯碼的可靠性。

由于系統碼在高信噪比區很容易暴露明文，因此本文擬采用非系統碼傳輸信息，通過對系統碼信息比特打孔的方式來生成非系統碼。例如將1/3 碼率系統碼的信息位全部打孔，只傳輸校驗比特，即打孔后的碼字碼率為1/2。

碼字打孔會影響譯碼的性能，本文采用PEXIT掩模算法來計算打孔后的譯碼門限，同時通過該算法對校驗矩陣進行掩模，使得校驗矩陣更加稀疏，連接性更好，譯碼性能更優。

2.2 PEXIT 掩模算法

作為密度進化的另一種形式，不規則外信息轉移（External Information Transfer，EXIT）圖[13]是用以估計譯碼門限的一種圖形方式，但是這種方式只考慮了矩陣的變量節點和校驗節點度分布，并未考慮矩陣的連接性，因此文獻[14-15]提出了基于基矩陣的多維EXIT 算法即PEXIT 算法。PEXIT 算法不僅考慮了矩陣的鏈接性，還可以用以分析打孔和收斂失敗的節點類型，如度為1 或2 的變量節點。該算法一般用以估計基矩陣的譯碼門限，在碼率設計上具有較大的優勢。因此本文采用該算法來對有限域LDPC 碼的基矩陣掩模。設掩模矩陣Z為：

式中，當zi,j=1 時代表“類型i”校驗節點和“類型j”的變量節點之間存在一條邊，當zi,j=0 時代表“類型i”校驗節點和“類型j”的變量節點之間不存在邊。

因為J(σ)的近似表達式為σ的單調函數，所以其反函數J-1(*)的閉式表達式一定存在，如下：

采用這種近似計算方式與密度進化計算的門限差距在0.05 dB 之內。其中，式（5）和式（6）中的參數分別如表1 和表2 所示。

表1 J(σ)中參數

表2 J -1(I)中參數

根據式（5）和式（6），可得PEXIT 算法如下。

（1）初始化“類型j”變量節點的對數似然信 息，0 ≤i

（4）計算累積變量節點的后驗信息：

2.3 基于PEXIT 算法掩模的有限域QC-LDPC 碼

根據碼率、碼長以及打孔的要求選取有限域的大小和基矩陣的維度，例如需要設計碼率為1/2，碼長約2 000 的LDPC 碼，可以通過設計碼率為1/3，碼長為3 000 的LDPC 碼，將信息位全部打孔只傳輸校驗位。因此可選取有限域的大小為255，基矩陣的維度為8×12。采用2.1 節中的設計方式來確定基矩陣中的循環移位因子，再通過2.2 節中PEXIT 算法設計具有良好譯碼門限的掩模矩陣對基矩陣進行掩模。

信息位打孔比例和安全性有關，信息位打孔比例越高，通信系統更安全但是掩模矩陣越難設計，譯碼收斂速度越慢。

3 仿真與分析

本節將給出一個示例去解釋上述構造的LDPC碼的有效性和可靠性。令α為有限域GF(256)的本原元，隨機生成集合S1和S2為：

根據式（1）可得基矩陣B(S1,S2)，其維度為8×12。通過PEXIT 算法設計維度為8×12 的掩模矩陣Z，對基矩陣B(S1,S2)進行掩模，散列后得維度為2 040×3 060 的校驗矩陣H，生成碼率為1/3、碼長為3 060 的碼字cunmp，再對cunmp的信息位進行打孔可得碼率為1/2，碼長為2 040 的碼字cunmp。

通過Tanner 圖環的深度優先搜索算法可知矩陣中不存在6 環，8 環的數目為2 050。在如表3 所示的仿真條件下，碼字的性能如圖6 所示。圖中還包含兩種較為常用的LDPC 碼：cAR4JA[16]表示國際空間數據系統咨詢委員會（Consultative Committee for Space Data Systems，CCSDS）標準中由AR4JA方式所構造的LDPC；cIRA為IEEE 802.16e 標準中由QC-IRA 所構造的LDPC 碼[17]。

表3 仿真參數

從圖6 中可以看出其中碼字cAR4JA比碼字cmp的性能略優0.5 dB，碼字cmp與碼字cIRA的性能幾乎一致。但是由于碼字cmp是非系統碼，所以無論是在低信噪比區還是高信噪比被竊聽的概率接近于0。

圖6 跳碼性能曲線

4 結語

本文將加密與信道編碼結合，利用物理層的信號處理技術提升了通信系統的安全性。當竊聽信道的信道質量比合法通信信道質量差時，通過提升保密容量來完成安全通信；當竊聽信道質量優于合法通信信道時，采用非系統編碼來對明文進行加密，提升了通信系統的安全性。