基于MUSIC及其改進(jìn)算法的DOA估計(jì)研究*

姚昕彤，王玉文，劉 奇，金 碩

（電子科技大學(xué)，四川 成都 611731）

0 引言

根據(jù)無(wú)線電波的傳播特性，使用儀器對(duì)無(wú)線電波到達(dá)的方向進(jìn)行測(cè)量和確定的過(guò)程叫做無(wú)線電測(cè)向[1]。測(cè)向方法有多種，在這些算法中，基于空間譜估計(jì)的測(cè)向算法因具有高分辨力、高準(zhǔn)確度等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。多重信號(hào)分類[2]（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法是一種典型的空間譜估計(jì)技術(shù)。該技術(shù)的出現(xiàn)使得空間譜測(cè)向技術(shù)發(fā)展進(jìn)入了新的臺(tái)階。然而，該算法也存在一些不足。例如，在低信噪比、小快拍數(shù)條件下，MUSIC 算法的分辨力降低，估計(jì)性能顯著下降。在多徑環(huán)境中，由于信號(hào)之間高度相關(guān)，MUSIC 算法失效。針對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題，本文在傳統(tǒng)MUSIC 算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的測(cè)向算法。新算法解決了傳統(tǒng)MUSIC 算法低信噪比、小快拍數(shù)條件下分辨率低的問(wèn)題。通過(guò)將改進(jìn)后的MUSIC 算法與空間平滑技術(shù)結(jié)合，還可以用來(lái)解決相干信號(hào)的空間譜估計(jì)問(wèn)題。

1 經(jīng)典MUSIC 算法

MUSIC 算法被廣泛地用于空間譜測(cè)向技術(shù)，算法步驟及原理如下。假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，從不同的方向θ1,θ2,…,θk分別射入M個(gè)陣元的均勻線陣，如圖1 所示。該均勻線陣采用半波長(zhǎng)布陣，信號(hào)與線陣法線之間的夾角θk∈[-π/2,π/2]。在該環(huán)境中，噪聲服從均值為0、方差為σ2的高斯分布，與信號(hào)不相關(guān)。均勻線陣接收到的數(shù)據(jù)可以用式（1）描述為：

圖1 均勻線陣

式中：t=1,2,…,T為信號(hào)采樣的次數(shù)，也叫做快拍數(shù)；x(t)=[x1(t),x2(t),…,x M(t)]T是均勻線陣所接收的數(shù)據(jù)向量，每個(gè)向量中有M個(gè)元素，表示x(t)為M維向量；噪聲向量N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T同樣為M維；空間信號(hào)向量S(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T為K維；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]為導(dǎo)向矢量矩陣，是M×K維。在矩陣A(θ) 中，有K個(gè)導(dǎo)向矢量α(θ)。α(θ)包含角度信息，且在理想情況下，表達(dá)式為：

陣元接收到的信號(hào)的自相關(guān)矩陣為：

式中，參數(shù)δ2為噪聲的功率，參數(shù)I為單位矩陣，Rs為信號(hào)的協(xié)方差矩陣。

獲得自相關(guān)矩陣Rxx后，對(duì)其特征分解可以得到Rxx的特征值λ。若特征值λ有M個(gè)，則將M個(gè)特征值從大到小排序?yàn)椋?/p>

在M個(gè)特征值λ中，有i個(gè)特征值較大的信號(hào)特征值以及M-i個(gè)λ較小的噪聲特征值。由噪聲和信號(hào)的特征值，可以計(jì)算得到噪聲特征值和信號(hào)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即可得到互相正交信號(hào)子空間ES=[e1,…,ei]與噪聲子空間EN=[ei+1,…,eM]。記GN為所有噪聲的特征值所對(duì)應(yīng)特征向量組成的矩陣。由信號(hào)源之間相互獨(dú)立時(shí)，ES=[e1,…,ei]與EN=[ei+1,…,eM]正 交，且α(θ)也 與EN=[ei+1,…,eM]正 交，所以可以得到導(dǎo)向向量α(θ)與矩陣GN之間的關(guān) 系為：

由此得到MUSIC 算法的空間譜函數(shù)：

在得到空間譜函數(shù)PMUSIC(θ)后，掃描空間譜函數(shù)的譜峰，便可以得到波達(dá)方向的估計(jì)值。但是，在實(shí)際中，均勻線陣所接收的數(shù)據(jù)有限，可以使用相關(guān)矩陣的估計(jì)代替R進(jìn)行特征分解。在實(shí)際情況中，由于噪聲的干擾使得導(dǎo)向向量α(θi)與噪聲子空間并不嚴(yán)格的正交，所以式（5）并不嚴(yán)格等于0，而是一個(gè)極小值，故MUSIC 算法中空間譜函數(shù)的公式可以變?yōu)椋?/p>

總結(jié)以上過(guò)程，可以得到MUSIC 算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的步驟：

步驟1：由式（3）得到陣元接收到的信號(hào)的自相關(guān)矩陣Rxx；

步驟2：將Rxx進(jìn)行特征分解，得到相應(yīng)的特征值λ，并將特征值從大到小排序；

步驟3：根據(jù)式（5）和式（6）得到空間譜函數(shù)，掃描空間譜函數(shù)的譜峰，得到波達(dá)方向的估計(jì)值。

2 改進(jìn)MUSIC 算法

在傳統(tǒng)的MUSIC 算法中，需要利用多個(gè)天線來(lái)接收數(shù)據(jù)陣列，使用大量數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的協(xié)方差矩陣。在大快拍數(shù)、高信噪比、天線陣元個(gè)數(shù)充足的條件下，MUSIC 算法能夠充分發(fā)揮作用，獲得較高的分辨率。但是，在實(shí)際的DOA 估計(jì)場(chǎng)景中，往往達(dá)不到上述快拍數(shù)大、信噪比高、天線陣元個(gè)數(shù)充足的理想情況，使得MUSIC 算法對(duì)陣列協(xié)方差矩陣的估計(jì)有較大的偏差，且會(huì)導(dǎo)致特征分解自相關(guān)矩陣得到的噪聲和信號(hào)特征值之間的差異減弱，從而使得算法的性能顯著下降。如果兩信號(hào)以較小的角度間隔入射均勻線陣，MUSIC 算法的分辨性能會(huì)明顯降低。針對(duì)以上問(wèn)題，在傳統(tǒng)MUSIC算法基礎(chǔ)上提出了一種新的空間譜函數(shù)估計(jì)算法。根據(jù)實(shí)際的DOA 估計(jì)場(chǎng)景，修正噪聲子空間的加權(quán)系數(shù)，得出新的噪聲子空間，再結(jié)合經(jīng)典MUSIC算法的空間譜函數(shù)步驟，得到改進(jìn)的偽譜函數(shù)。改進(jìn)噪聲特征值具體的計(jì)算方法如下：

式中，λi為初始噪聲的特征值，為新的噪聲特征值，α為校正值。

噪聲子空間中，每個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)空間譜函數(shù)的貢獻(xiàn)度有所不同[4]。在小快拍數(shù)、低信噪比的條件下，可以通過(guò)調(diào)節(jié)校正值α來(lái)影響發(fā)散信號(hào)的發(fā)散程度，且α不會(huì)影響信號(hào)方向矢量，從而可以確保有穩(wěn)定的信源數(shù)估計(jì)。校正值α的取值也會(huì)影響算法的性能。如果校正值α過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致特征分解自相關(guān)矩陣得到的噪聲特征值與信號(hào)特征值之間差距過(guò)小，分辨率不明顯，從而引起欠估計(jì)的問(wèn)題。校正值α太小，會(huì)造成抑制噪聲作用減弱。若α=0，則新算法與傳統(tǒng)的MUSIC 算法相同。所以，需要尋找合適的校正值α。

根據(jù)信息論準(zhǔn)則，在可以估計(jì)出信源數(shù)的條件下，從大量的實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出噪聲特征值的最大值與最小值之比應(yīng)小于2[5]，即：

改進(jìn)后的特征值求解步驟具體如下。

（1）將自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征分解，得到相應(yīng)的噪聲特征值，并對(duì)噪聲特征值按照從大到小順序排列。

（3）令α=0.1×p，得到最終校正值α。

（4）得出新的噪聲子空間形式：

3 相干信源空間譜估計(jì)

提出的基于MUSIC 算法的改進(jìn)型DOA 估計(jì)算法，解決了傳統(tǒng)MUSIC 算法在低信噪比、小快拍數(shù)條件下分辨力低的問(wèn)題，能應(yīng)用于更廣泛的測(cè)向場(chǎng)景。但是，算法假設(shè)信號(hào)源之間都是相互獨(dú)立的，而如果入射到線陣列的信號(hào)是相干信號(hào)時(shí)，改進(jìn)的測(cè)向算法也將同其他DOA 估計(jì)算法一樣，將由于無(wú)法分辨出相干信號(hào)而失效。因此，在改進(jìn)型MUSIC 算法基礎(chǔ)上，結(jié)合空間平滑技術(shù)，提出了相干信號(hào)的DOA 估計(jì)方法。相干信號(hào)的DOA 估計(jì)方法如下：假設(shè)K個(gè)來(lái)自θ1,θ2,…,θk方向的信號(hào)為相干信號(hào)，先使用空間平滑技術(shù)對(duì)均勻線陣接收的信號(hào)進(jìn)行去相干的處理，后使用提出的改進(jìn)型MUSIC算法對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和估計(jì)，最終得到相干信號(hào)來(lái)波方向的估計(jì)值。

空間平滑（Spatial Smoothing，SS）[6]技術(shù)可以用于處理相干信號(hào)，先將均勻的線陣列劃分為多個(gè)疊合子陣列，每個(gè)疊合子陣列具有相同陣列流型。再計(jì)算各個(gè)子陣列的協(xié)方差矩陣，最后將各子陣列的協(xié)方差矩陣進(jìn)行平均處理，達(dá)到去相干的效果。

假設(shè)K個(gè)相干的信號(hào)Sk(t)以不同的方向角θi進(jìn)入到M元的均勻線陣上，陣元之間間距為d，聲速為c，波長(zhǎng)為λ。根據(jù)空間平滑算法處理相干信號(hào)的步驟，先將均勻線陣分為L(zhǎng)個(gè)疊合的子陣，其中每個(gè)子陣包含N個(gè)陣元。L和N滿足以下關(guān)系：

前向空間平滑和前向空間平滑原理，分別如 圖2 和圖3 所示。

圖2 前向空間平滑原理

圖3 后向空間平滑原理

如圖2 所示，前向空間平滑（Forward Spatial Smoothing，F(xiàn)OSS）是從陣列的第一陣元開(kāi)始劃分。第l個(gè)子陣的接收數(shù)據(jù)矢量可以表示為：

式中：AM為N×K維方向矩陣；AM列為N維的導(dǎo)向矢量aM(θi),i=1,2,…,k；第l個(gè)前向子陣的噪聲矢量定義為nl(t)，其陣列的協(xié)方差矩陣為：

使用前向空間平滑技術(shù)處理后的協(xié)方差矩陣為：

后向空間平滑是從直線陣列最后一個(gè)陣元向第一個(gè)陣元平滑，得到后向空間平滑的協(xié)方差矩 陣Rb：

由于各個(gè)平滑子陣的陣元是相同的均勻矩陣，因此矩陣Rb是矩陣Rf的共軛倒序陣，可以用表示前后向平滑協(xié)方差矩陣，則之間的關(guān)系式為：

前后向空間平滑技術(shù)利用了前向平滑和后向共軛倒序不變的性質(zhì)[7]，通過(guò)將各個(gè)子陣列協(xié)方差矩陣的總和求平均來(lái)替代原MUSIC 算法中的Rs。該算法可以檢測(cè)到2M/3 個(gè)相干信號(hào)，可以有效處理相干信源協(xié)方差矩陣的秩虧缺問(wèn)題，使得信號(hào)源個(gè)數(shù)同協(xié)方差矩陣的秩相等[7]。

將前后向空間平滑技術(shù)與改進(jìn)型MUSIC 算法相結(jié)合，得到相干信號(hào)的DOA 估計(jì)新方法。

新方法步驟如下。

步驟1：建立陣列數(shù)據(jù)的接收模型，將M陣元的天線陣分為L(zhǎng)個(gè)相互重疊的子陣。每個(gè)子陣的陣列流形保持一致，根據(jù)式（17）求出子陣列協(xié)方差矩陣。

步驟2：使用式（18）計(jì)算得到矩陣Rf；根據(jù)式（19），可以得到矩陣Rb；在獲得矩陣Rf和矩陣Rb后，可以由式（20）求出前后向平滑協(xié)方差矩陣。

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 實(shí)驗(yàn)1：MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像

假設(shè)信號(hào)源為兩個(gè)不相干且波長(zhǎng)為λ的窄帶信號(hào)，分別以2°和6°的方向入射到陣元數(shù)為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。信號(hào)與噪聲之間保持相互獨(dú)立，其中噪聲為高斯分布，信噪比為0 dB。快拍數(shù)為60。圖4 為MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像。

圖4 MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像

4.2 實(shí)驗(yàn)2：改進(jìn)MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像

與實(shí)驗(yàn)1 相同，同樣假設(shè)信號(hào)源為兩個(gè)不相干且波長(zhǎng)為λ的窄帶信號(hào)，入射到陣元數(shù)為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。其中，噪聲為高斯分布，信噪比設(shè)置為0 dB，快拍數(shù)設(shè)置為60。圖5 為改進(jìn)MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像。

從圖4 可以看出，在低信噪比、小快拍數(shù)的背景下，經(jīng)典MUSIC 算法無(wú)法分辨出兩個(gè)相鄰入射角，MUSIC 算法在該場(chǎng)景下失效。而在圖5 中，改進(jìn)型MUSIC 算法能夠明顯看出兩個(gè)相鄰入射方向信號(hào)的譜函數(shù)峰值，便可以估計(jì)兩個(gè)入射信號(hào)的波達(dá)方向，估計(jì)結(jié)果也較為準(zhǔn)確。

圖5 改進(jìn)型MUSIC 算法的譜函數(shù)圖像

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的改進(jìn)型MUSIC 算法在小信噪比和小快拍數(shù)的條件下，性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC 算法。新算法具有更廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。

4.3 實(shí)驗(yàn)3：兩種算法隨信噪比和快拍數(shù)變化的分辨率對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)假設(shè)采用陣元數(shù)為10、陣元間距為入射信號(hào)波長(zhǎng)的一半的均勻線陣，噪聲為高斯分布。隨著每次仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境變化，計(jì)算出的校正值α也有差別。大量仿真結(jié)果表明，α值基本在1.0 處上下浮動(dòng)。

圖6 為在相同快拍數(shù)下，兩種算法隨信噪比變化而分辨力發(fā)生變化的分辨概率折線圖。該實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置固定快拍數(shù)為80，信噪比間隔為2 dB，從-6～6 dB均勻變化。對(duì)兩種算法進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真試驗(yàn)。

圖6 兩種算法在不同信噪比下的分辨率

圖7 為相同信噪比、不同快拍數(shù)條件下，傳統(tǒng)MUSIC 算法與改進(jìn)型MUSIC 算法的成功分辨概率折線圖。信噪比為8 dB。快拍數(shù)間隔為16，從16～112均勻變化，同樣進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真試驗(yàn)。

圖7 兩種算法在不同快拍數(shù)下的分辨率

從圖6 能夠看出，隨著信噪比逐漸增加，傳統(tǒng)MUSIC 算法和改進(jìn)的MUSIC 算法成功分辨率也逐漸升高，但改進(jìn)的MUSIC 算法成功分辨率明顯高于傳統(tǒng)的MUSIC 算法。從圖7 中可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，兩種算法分辨率逐漸升高，改進(jìn)的MUSIC 算法同樣明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MUSIC 算法，進(jìn)一步說(shuō)明改進(jìn)的MUSIC 算法有更好的分辨性能。

4.4 實(shí)驗(yàn)4：信號(hào)相干時(shí)傳統(tǒng)MUSIC 算法與改進(jìn)的空間平滑MUSIC 算法對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)分別使用經(jīng)典MUSIC 算法和改進(jìn)的空間平滑MUSIC 算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。假設(shè)信號(hào)源使用3 個(gè)波長(zhǎng)為λ的相干窄帶信號(hào)，分別從20°、40°和60°的方向入射到陣元數(shù)為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。信噪比為20 dB，快拍數(shù)為200，仿真結(jié)果如圖8 所示。

圖8 傳統(tǒng)MUSIC 算法的DOA 估計(jì)譜

在圖8 中，傳統(tǒng)MUSIC 算法無(wú)法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行有效的DOA 估計(jì)。從圖9 中可以看出，將前向后向平滑技術(shù)與改進(jìn)MUSIC 算法相結(jié)合的新技術(shù)能夠得到正確的譜峰，估計(jì)出的波達(dá)方向也十分準(zhǔn)確。所以，新技術(shù)可以用于相干信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)。

圖9 改進(jìn)算法的DOA 估計(jì)譜

5 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了一種經(jīng)典的DOA 估計(jì)技術(shù)，即MUSIC 算法。針對(duì)傳統(tǒng)MUSIC 算法在低信噪比、小快拍數(shù)下分辨力低的缺陷，提出了一種基于噪聲子空間投影的新型MUSIC 算法，然后進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。在不同信噪比、不同快拍數(shù)條件下，測(cè)試傳統(tǒng)MUSIC 算法和改進(jìn)型MUSIC 算法的測(cè)向性能，并將兩種算法的性能進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法在低信噪比、小快拍數(shù)下依舊具有較高的分辨力以及較好的測(cè)向效果。新算法比傳統(tǒng)MUSIC算法具有更廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。最后，針對(duì)傳統(tǒng)MUSIC 算法對(duì)相干信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)失效的缺陷，研究了經(jīng)典的空間平滑算法原理，提出在使用改進(jìn)MUSIC 算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)前，先利用空間平滑算法處理相干信號(hào)，再對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)向估計(jì)。論文同樣對(duì)相干信號(hào)測(cè)向估計(jì)新技術(shù)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)MUSIC 算法與新技術(shù)在處理相干信號(hào)時(shí)的算法性能，說(shuō)明了將空間平滑技術(shù)與改進(jìn)MUSIC 算法相結(jié)合的新技術(shù)能夠很好地估計(jì)相干信號(hào)的波達(dá)方向。