突破表象，凸顯本質

斯旦紅

[摘? 要] 從學生理解的模糊表象入手，通過更新表象、重組思維，引導學生自主反思基礎知識、解題過程與數學方法，這是促進深度學習，形成數學核心素養(yǎng)的有效途徑。

[關鍵詞] 低段數學;錯題;表象;本質;深度

“數學是思維的體操”。低段學生的數學思維以形象思維為主，但是只注重形象思維的訓練，或者僅僅只進行表象層次的教學，必然使學生對知識的學習限于膚淺。比如對于“角的大小”，有學生記住了教師講的：角的大小與所畫的兩條邊的長短無關，角的兩條邊都是射線，但無法理解“射線”（四年級內容），這樣學生的思維就停留在語言記憶表象的水平，這種表象層次的理解有時也會在解題中蒙混過關，但更多時候會露出馬腳。深度學習要求學習者積極地去探究、思考與創(chuàng)新，能夠有批判性地學習新知識，并把知識遷移到新的情境中去。以下結合低年級數學解題指導的教學實踐，與同行探討如下。

一、強化讀題，打好深度學習之根基

1. 整體感知，突破文字表象

例1? 爸爸帶我和妹妹去植物園游玩，植物園的成人票是20元，兒童票是12元，一共要花（? ? ）元。

①32②44③52

[錯誤分析] 列式：20+12，錯誤選擇答案①。

[教學對策]

（1）突破陳式，加以區(qū)別。

注意把當前題目區(qū)別于常規(guī)陳式題，常規(guī)陳式題比如：琪琪昨天看了一本書的20頁，今天又看了這本書的12頁，兩天一共看了多少頁？正確列式20+12=32（頁）。指導學生逐字逐句分析當前題目，完整理解題意。在本題中，“爸爸帶我和妹妹”意思是告訴我們“要購買1張成人票與2張兒童票”。

（2）重建實物，加強直觀感受。

建構新的表象，如圖1所示，它代表了本題的數量關系，這是表象形象性與概括性體現，可以使原有錯誤表象被突破。

2. 全面理解，突破程序表象

例2? 把這些數用大于符號連接起來：

11? ? 16? ? 5? ? 26? ? 19

（? ）○（? ）○（? ）○（? ）○（? ）

[錯誤分析] 有的教師規(guī)定：如果題目要求比較5與4的大小，學生只能寫5>4，如果寫4<5就算錯誤，據說這樣是為了防止考試出錯。急功近利的評價方式、機械的學習方法往往導致形成“跟著感覺走”的程序表象。在本題中，不少學生會錯誤地寫成11<16>5<26>19。

[教學對策]

（1）強化讀題，明確是否必須。劃出關鍵詞：“這些數”“大于符號”。分析：這里規(guī)定了什么？沒規(guī)定什么？（規(guī)定必須用這些數與大于符號;沒規(guī)定這些數的順序）

（2）探討步驟，明確解題順序。想一想：是先填數字還是大于號？為什么？

（3）觸類旁通，促進題型互通。思考：這道題相當于完成以前哪種練習？（從大到小排列數），這樣排需要遵循什么原則？（前邊的任何一個數都比后邊的數要大）

二、強化雙基，穩(wěn)固深度學習之主干

1. 合理區(qū)分，突破概念表象

例3? 判斷大小：1時○100分

[錯誤分析] 1時=100分。學生受諸如“1米=10分米=100厘米”“1元=10角=100分”等常規(guī)進率的概念表象所左右，對于“時和分”的進率作出錯誤判斷。

[教學對策]

（1）澄清概念。①1元=10角=100分;②1時=60分，前者是人民幣的單位，后者則是時間單位，教師要引導學生對此進行比較，強化概念界限。

（2）強調一些相鄰單位進率不是10的概念教學并不斷訓練，如：1周=7天;1天=24時;1雙=2只……

2. 靈活運用，突破動作表象

學生頭腦中對于數學操作過程產生的記憶形象是一種動作表象，可以逐步形成數學操作的技能，這要以相關概念認知及操作的正確性為前提。

例4? 如圖2（上）所示，這支鉛筆的長度是（? ）厘米。

[錯誤分析] 有不少學生填寫答案是8厘米，這中間的錯誤又分兩種情況：一是“瞻前不顧后”——忽視了對左邊起點的要求，屬于不細心;二是“丟了初心”——平時自己也有從1厘米開始量并從所量物體末端位置來讀數的錯誤情況。

[教學對策]

（1）規(guī)范基本操作。必須把鉛筆的一端與0位置對齊，讀出鉛筆另一端所在位置的讀數。

（2）發(fā)展基本操作。測量物體長度也不是非從尺子的0位置量起不可，但讀數要減去前邊多量的長度。

（3）區(qū)分相同數字的不同情況。如①小明看書從第1頁看到第8頁一共看了多少頁？②小明從刻度1厘米位置開始量發(fā)現鉛筆末端正好在刻度8厘米的位置，鉛筆長度是幾厘米？

3. 整體入手，突破規(guī)律表象

例5? 在下列數字后按規(guī)律添加一個數：2? ? 4? ? 8? ? 14? ? （? ）

[錯誤分析] 只從局部考慮問題，認為這一列數從2到4增加了2個，所以就在14后邊填入了16。

[教學對策]

（1）加大訓練，重組表象。通過寫一寫、畫一畫等比較直觀的手段讓學生重組規(guī)律表象。

（2）整體入手，整體出手。整體入手，就是要全面分析整列數的前后關系，防止“一葉障目，不見森林”。整體出手，就是發(fā)現的規(guī)律要經得起檢驗。

2? ?4? ?8? ? 14? （? ）

+2? +4? +6? +（? ）

4. 華麗轉身，突破法則表象

例6? 比較大小：17+45+9〇49+5+17

[錯誤分析] 學生牢記“先計算后比較”，不越雷池半步，這樣一不留神就會出現錯誤的結果。

[教學對策]

（1）學會觀察，特事特辦。本題可以把兩個17都圈出來放一邊不考慮，再比較45+9與49+5的大小，發(fā)現兩邊的十位上有一個4，即40，兩道算式的個位都是5和9相加，所以兩道算式得數一樣。

（2）自我建構，舉一反三。這種由學生自我建構的法則不再是一種表象，而是對于數學算理深度理解的結果，實現了深度學習。

三、突破生活表象，催生深度學習之枝葉

1. 打破機械性，提煉習慣表象

例7? 一個長方形剪一刀去掉一塊，余下的圖形有幾個角？以下情況不可能的是：①5只角②4只角? ③3只角? ④2只角

[錯誤分析]習慣性認為4只角中剪去1只就是3只。

[教學對策]

（1）實際操作。實際操作保留長方形原來的三只角剪去一只角可能發(fā)現增加了兩只新角，這樣5只角就是可能的。

（2）分類探討。題目中并沒有表明剪一刀的位置，所以不能只停留在結果是5只角這一種可能性上。

2. 防止局限性，修正觀察表象

例8? 如圖4所示由多個小立方體拼成的物體，如果每個小立方體的重量是9克，那么整個物體的重量至少有（? ）克。

[錯誤分析] 局限于圖畫看問題，認為圖中只有4個立方體。

[教學對策]

（1）實際操作，防止紙上談兵，理解生活中不存在空中樓閣。

（2）深化理解，進一步探討如圖所示是否必定是5個立方體呢？由于遮擋的原因，視線看不到的還有可能存在更多小方塊，這也是題目中出現“至少”兩字的原因。

四、突破方法表象，綻開深度學習之花朵

1. 出奇制勝，突破順序表象

例9? 已知□+▽=17，〇+▽=14，〇+〇=16，那么〇+▽+□+▽+〇+〇=（? ）。

[錯誤分析]從第一個算式入手去猜測□與▽各是多少，然后代入后邊的算式中再進行分析求解，錯誤率非常高。

[教學對策]

（1）中間突破。從已經條件中的〇+〇=16可以發(fā)現〇=8，然后再往前突破，自然可以得到答案。

（2）逆向思考。由結論出發(fā)，運用整體思考的方法，可以發(fā)現所求六個數之和中第1、第2兩數之和正好是14，后邊第3與第4兩數則是17，最后兩數是16，這樣可以更快得到答案。

2. 另辟蹊徑，突破視野表象

例10? 杰克買了30個橘子，第一天吃了一些，第二天又吃了一些，還剩下14個橘子，杰克兩天一共吃了幾個橘子？

[錯誤分析] 受“第一天、第二天、一共”這些文字影響，學生會去搜尋第一天、第二天各吃了多少個橘子，可是從題目中無從得知，這樣解題思路就中斷了。

[教學對策]

數學中存在“整—分、內—外、分—合、順—逆”等視野關系，從低年級起要有意識地向學生滲透問題解決視野的訓練，逐步達到“一覽眾山小”的佳境。

（1）借助線段圖明確數量關系，為發(fā)現新思路提供支撐。

（2）調整視野。如果把兩天吃的個數當作整體看成一個加數，還剩下的個數14又是另一個加數，和是30，那么求其中一個加數理應用減法來計算。

由上可見，從學生理解的模糊表象入手，是充分尊重學生學習主體性的表現。通過不同的數學策略與數學思想去引導學生更新表象，重組思維，則是對學生學習最近發(fā)展區(qū)的積極觸碰;在更新表象的基礎上讓學生反思基礎知識、解題過程與數學方法則可以幫助學生促進對可持續(xù)發(fā)展局面的全面構建。唯有如此，數學深度學習之花才能純香宜人，歷久彌新。