“先分再數(shù)”由表象到內(nèi)涵建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義

王海峰

[摘? 要] 學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)已有的感性經(jīng)驗(yàn)大都是分?jǐn)?shù)跟“分東西”有關(guān)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)和起點(diǎn)。本節(jié)課從學(xué)生分?jǐn)?shù)的樸素認(rèn)知“分東西”這個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，揭示“分?jǐn)?shù)就是先分再數(shù)的數(shù)”，讓學(xué)生體會(huì)到“分?jǐn)?shù)”命名的合理性，通過(guò)談話交流提煉出分?jǐn)?shù)意義的三個(gè)核心問(wèn)題：分什么、怎么分、數(shù)什么，為研究分?jǐn)?shù)的意義打開(kāi)了一扇新的大門(mén)。

[關(guān)鍵詞] 先分再數(shù);表象;內(nèi)涵建構(gòu);分?jǐn)?shù)的意義

“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”這一內(nèi)容在蘇教版教材共分三個(gè)時(shí)段安排。第一次是三年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之幾，第二次是三年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之幾，這兩次主要是通過(guò)直觀圖幫助學(xué)生形成對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)。本學(xué)期是在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上由直觀到抽象，逐步概括和理解分?jǐn)?shù)的意義， 在此基礎(chǔ)上不斷豐富和完善對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

片段一：先分再數(shù)，喚醒樸素認(rèn)知

課件出示：

師：同學(xué)們，這是一個(gè)什么數(shù)？會(huì)讀嗎？知道為什么叫作分?jǐn)?shù)嗎？（一臉疑惑）

生：這是個(gè)分?jǐn)?shù)，讀作四分之一。

生：因?yàn)樗梢员硎景岩粋€(gè)蛋糕平均分成4份，分得其中的1份，所以叫作分?jǐn)?shù)。

師：有道理！一定是分蛋糕嗎？

生：不一定，還可以分其他的東西，比如圖形。

師：之所以叫分?jǐn)?shù)，同學(xué)們是不是認(rèn)為可能跟“分東西”有關(guān)？（紛紛點(diǎn)頭）同學(xué)們你們這種感覺(jué)是對(duì)的，但還不夠準(zhǔn)確！

師：有位數(shù)學(xué)家說(shuō)，分?jǐn)?shù)之所以叫作分?jǐn)?shù)，是因?yàn)樗窍确衷贁?shù)的數(shù)。（微笑，有點(diǎn)燒腦）有什么想說(shuō)的嗎？

生：我想知道分?jǐn)?shù)到底是分什么的？（剛才那個(gè)說(shuō)分蛋糕的孩子）

師：這個(gè)問(wèn)題提得好！還有誰(shuí)想說(shuō)？

生：我知道分?jǐn)?shù)一定要平均分！

師：鼓掌！這是分?jǐn)?shù)的一個(gè)重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)要平均分。看來(lái)，同學(xué)們對(duì)于分?jǐn)?shù)的“先分”至少有了2個(gè)基本認(rèn)知：一是分?jǐn)?shù)到底分什么？二是分?jǐn)?shù)要怎么分？（同步課件出示）

生：那么“再數(shù)”，是數(shù)什么呢？

師：是啊，分完了還要數(shù)，數(shù)什么呢？看來(lái)啊，要了解分?jǐn)?shù)的“先分再數(shù)”得搞清楚這三個(gè)問(wèn)題：分?jǐn)?shù)分什么？怎么分？數(shù)什么？

……

思考：上面的教學(xué)，從這類(lèi)數(shù)為什么被叫作“分?jǐn)?shù)”這個(gè)看似簡(jiǎn)單實(shí)則直指分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)談話在與學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的不斷碰撞中，喚醒學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的各種感性認(rèn)知，進(jìn)而讓學(xué)生感覺(jué)到分?jǐn)?shù)跟“分東西”有關(guān)，接著適時(shí)出示“分?jǐn)?shù)就是先分再數(shù)的數(shù)”這一論斷，既契合了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的樸素認(rèn)知，又為后面提煉出分?jǐn)?shù)的三個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題做了鋪墊。這樣的過(guò)程，讓學(xué)生既體會(huì)到“分?jǐn)?shù)”命名的合理性，又為研究分?jǐn)?shù)的意義打開(kāi)了一扇新的大門(mén)。

片段二：分層推進(jìn)，揭示“單位1”

師：這個(gè)數(shù)認(rèn)識(shí)嗎？（板書(shū)：1）

生：1啊！誰(shuí)不認(rèn)識(shí)！

師：想想數(shù)字1可以表示什么？

生：一支鉛筆、一把椅子、一塊橡皮……只要物體個(gè)數(shù)是1的都可以用1來(lái)表示。

師：同學(xué)們，1除了能表示物體的個(gè)數(shù)是1外，還能表示什么？誰(shuí)能腦洞大開(kāi)！（大家一臉茫然）

生：（略有遲疑）一個(gè)班級(jí)也能用1來(lái)表示吧。

生：當(dāng)我們把所有的學(xué)生看成一個(gè)班集體時(shí)，不就可以用1來(lái)表示！

師：說(shuō)得真好！看作一個(gè)整體，就可以用1來(lái)表示。還有誰(shuí)想說(shuō)？

…

師：既然這樣，（出示2個(gè)桃子）這兒有2個(gè)桃子，能看作“1”嗎？

師：但是我怎么看，怎么覺(jué)得是2，能讓人一眼就看出來(lái)表示1嗎？

生：直接畫(huà)個(gè)圈把2個(gè)桃子圈起來(lái)。

師：這樣一圈，2個(gè)桃子就可以看成一個(gè)整體。

師：2個(gè)桃子可以看作“1”，4個(gè)桃子可以看作“1”嗎？

師：但是，如果已經(jīng)把2個(gè)桃子看作“1”了，同學(xué)們思考一下，4個(gè)桃子也看作“1”，合理嗎？（不合理）那這4個(gè)桃子又該用什么數(shù)表示合理呢？

生：用2表示才合理。

師：為什么？

生：2個(gè)桃子看作“1”，4個(gè)桃子就可以看作2個(gè)這樣的“1”，所以用2表示合理。

師：如果有3個(gè)這樣的“1”呢？5個(gè)呢？10個(gè)呢？有n個(gè) “1”——

生：就可以用n來(lái)表示。

師：同學(xué)們，我們回顧一下剛才的過(guò)程：我們把2個(gè)桃子看成一個(gè)整體“1”，有幾個(gè)這樣的“1”，就可以用幾來(lái)表示，因此在這里2個(gè)桃子所看作的“1”，就變成了計(jì)量的單位！數(shù)學(xué)上，我們就把這樣的“1”又叫單位“1”。

思考：分?jǐn)?shù)分什么？也就是單位“1”的教學(xué)一直是分?jǐn)?shù)意義教學(xué)中的重難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)于這一問(wèn)題最多的感性經(jīng)驗(yàn)就是“分東西”，這個(gè)“東西”學(xué)生接觸最多的是蛋糕、圖形等單個(gè)物體，而對(duì)于分許多物體組成的一個(gè)整體，學(xué)生是一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)沒(méi)有，也是非常難理解的一個(gè)點(diǎn)，十分考驗(yàn)教者的功力。在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教者安排了三個(gè)層次的內(nèi)容，從學(xué)生熟知的1出發(fā)，拓展提升到內(nèi)涵豐富的“1”，再到有幾個(gè)這樣的“1”就可有用幾來(lái)表示的“單位1”，逐層推進(jìn)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“單位1”的形成過(guò)程。幫助學(xué)生明晰“單位1”的認(rèn)識(shí)，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義掃清障礙。

片段三：對(duì)比提煉，建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義

師：（課件出示4幅圖）請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖意完成填空，想想用什么數(shù)表示？

師：觀察四幅圖，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)，這4幅圖的物體是不一樣，也就是看作單位“1”的物體是不一樣的，滿幾個(gè)這樣的單位“1”，就表示幾，不足1個(gè)單位“1”的，就要用分?jǐn)?shù)表示。

生：還有每幅圖的最后都是 。

師：確實(shí)是這樣！看來(lái)啊，是否用 表示，與把什么看作單位“1”好像關(guān)系不大？

師：你能舉一個(gè)表示 ，但是單位“1”跟這4個(gè)不一樣的例子嗎？

生：把12個(gè)小圓片看作單位“1”，平均分成4份，其中3份涂色，涂色部分就可以表示成 。

師：這樣的例子舉得完嗎？你有什么想說(shuō)的？

生：我覺(jué)得，其實(shí)單位“1”是什么并不重要，只要是把單位“1”平均分成4份，表示其中的3份，就可以用 表示。

師：是這樣嗎？請(qǐng)同學(xué)們接著看這3幅圖。

（課件呈現(xiàn)，生作答。）

師：什么相同？（都表示 ）什么不同（涂色個(gè)數(shù)不同）？為什么？

生：雖然這3幅圖都表示 ，但是每幅圖中單位“1”的圖形個(gè)數(shù)不一樣（4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)），所以平均分成2份，表示這樣1份的個(gè)數(shù)是不同的。

師：說(shuō)得真棒，看來(lái)單位“1”是什么，是多少也是要考慮的。

（課件繼續(xù)呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生作答。）

師：繼續(xù)看這3幅圖，什么相同？（單位“1”相同，涂色的個(gè)數(shù)也相同）什么不同？（表示的分?jǐn)?shù)卻不同）為什么會(huì)這樣呢？

生：我覺(jué)得，原因在于這3幅圖平均分的份數(shù)不同。第一個(gè)圖平均分成2份，第二個(gè)圖平均分成了4份，最后一個(gè)圖平均分成了8份。

生：我想補(bǔ)充一下，這3幅圖除了平均分的份數(shù)不一樣，每幅圖涂色的份數(shù)也不一樣。

師：同學(xué)們，回顧一下剛才的學(xué)習(xí)，你們覺(jué)得要準(zhǔn)確地表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們除了要關(guān)注單位“1”是什么，還要看什么？

生：還要看單位“1”被平均分成了幾份，以及表示了這樣的幾份。

師：對(duì)！這就是分?jǐn)?shù)的意義！

……

思考：建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義，最終還是需要讓學(xué)生搞清楚分?jǐn)?shù)的三個(gè)核心問(wèn)題即分?jǐn)?shù)分什么？怎么分？數(shù)什么？本節(jié)教學(xué)中，教者設(shè)計(jì)了三組看圖寫(xiě)分?jǐn)?shù)的對(duì)比題，每組題所聚焦的問(wèn)題是不同的。第一組圖聚焦于讓學(xué)生體會(huì)到滿幾個(gè)“單位1”就用幾來(lái)表示，不滿1個(gè)“單位1”時(shí)就可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示，同時(shí)通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管把什么看作單位“1”，只要是把單位“1”平均分成4份，表示這樣的3份，就可以用 表示。第二組圖聚焦于為什么同樣都是 ，為什么涂色的五角星個(gè)數(shù)不一樣，也就是每個(gè)圖表示 的個(gè)數(shù)為什么不一樣？通過(guò)對(duì)比學(xué)生發(fā)現(xiàn)是因?yàn)?個(gè)圖單位“1”的圖形的個(gè)數(shù)是不一樣的，所以表示 的個(gè)數(shù)也就不一樣了，讓學(xué)生明白單位“1”也是重要的。第三組圖聚焦于3幅圖單位“1”和涂色的個(gè)數(shù)都一樣，為什么表示的分?jǐn)?shù)卻不一樣？讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)原來(lái)每幅圖平均分的份數(shù)不一樣，表示的份數(shù)也不一樣。通過(guò)這3個(gè)層次的練習(xí)，讓學(xué)生在不斷地對(duì)比提煉中，逐步建構(gòu)出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。