結構化：讓數學理解走向更深入

趙紅婷

[摘? 要] 理解對學習而言意義深遠。理解有利于知識的同化和順應，能不斷完善學習者的認知結構。理解的程度由結構內部聯系的數目和強度來定，隨著知識網絡的變大、組織結構的完善，理解就會變得更深入。數學理解是一種基于結構化的學習能力。數學理解以知識的結構化、網絡化為本質，以生成性和發展性為特征，以重新組織為形成機制，以自主活動為形成條件，在教學中具有重要意義。數學理解兼具過程和結果的特性，既存在于學習過程中，又體現為學習結果。各類表征的網絡結構、互換互譯，促進了學生的數學理解和意義建構，實現了學生數學素養的整體提升和拔節生長。

[關鍵詞] 結構化;數學理解;結構關聯;結構突變;結構融通

理解的重要性毋庸置疑。知識一旦被理解，便易于同化和順應，并有助于不斷完善學習者的認知結構。王瑞霖老師說：“數學理解是一種結構化的學習能力，是在學習過程中表現出的認識數學的個性特征。” [1]的確，數學理解以知識的結構化、網絡化為本質，基于理解的數學學習是知識結構不斷精細化、豐富化的過程。理解的程度由結構內部聯系的數目和強度來定，隨著知識網絡的變大、組織結構的完善，理解就變得更深入了。

一、理解的觸發：學習思維的結構關聯

如果任由數學知識呈點狀排列，凌亂而不成系統，就會給學習者造成困擾。學習者要具備一種關系思維，將零散的知識串聯起來，形成知識網絡，凸顯知識體系。在解決問題時，可在同中求異、在異中求同，抓住事物的本質特征，加深對事物的理解或認識。

（1）同中求異。相同事物中尋找相異之處，這是構建關系的常用思維方式。例如，教完蘇教版六年級下冊“正比例和反比例”之后，學生認識到：此二者均指兩種相關聯量的有規律變化趨勢。教師追問：“正比例和反比例有什么不同點？”學生通過思考得出不同之處：成正比例的兩個量比值一定，它們是同向變化;成反比例的兩個量乘積一定，它們是反向變化。這時，一學生質問：“正比例、反比例跟比例有什么關系？”討論后，有學生說：“任取正比例的兩組量，他們的比值都相等，都能組成比例;再根據比例的基本性質將比例變形為乘積的形式，從反比例中任取兩組量，它們的乘積相等，這不也能組成變形的比例嗎？”由此，打通了比例和正反比例之間的關系。同中求異的思維方式，拓展了思路，使課堂生成了更多精彩。

（2）異中求同。相異事物間尋找的相同之處，這是構建關系的另一種思維方式。例如，圖形知識具有很多子系統，如果進行橫向比較，就會發現子系統之間的某些對應關系。整理圖形知識時，于不同處尋找相同處，能尋找到圖形之間的一些同構關系。其一，研究方式具有相同的邏輯線索。三角形與各種多邊形的研究方式基本類似，一般是先學習概念，再研究圖形特性和周長、面積、體積等圖形計算，進而再研究圖形之間的關系。其二，計算公式推導具有相同點。在推導一些圖形的面積或體積公式時，往往將新知轉化為舊知，體現了簡約化思想。這類例子不勝枚舉。異中求同的思維，有助于建構模型，凸顯知識的特征及其聯系。

二、理解的增長：知識網絡的結構突變

皮亞杰在《發生認識論原理》中指出：“全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的……這種結構或者正在形成‘更強的結構，或者在由‘更強的結構來予以結構化。” [2]把已有的知識網絡聯系上新信息，或在之前無聯系的信息之間建立新聯系，這樣就產生了理解。如果概念、方法或事實能納入內部表征網絡，并成為它的一部分，那么，這些數學知識被理解了。理解的增長，往往伴隨著知識網絡的變大或組織得更加完善。

量的增加：知識網絡的擴大。知識網絡的擴大是指知識在數量上的增加，即把新的數學概念、方法和事實等納入現有網絡。例如，教學蘇教版六年級下冊“圖形知識的總復習”一課時，教師要清楚地認識到：平面圖形和立體圖形之間的聯系非常緊密，它們是并列關系，如果進行恰當地變化和聯想，就能打通它們之間的關系，實現二維和三維視角的轉換。立體圖形表面存在平面圖形，而平面圖形通過運動或疊加會形成立體圖形。教師可引導學生思考：“在立體圖形上能找到哪些平面圖形？”學生畫出平面圖形后，再鼓勵學生發現立體圖形和平面圖形的關系：“面在體上”“面圍成體”。還可由平面圖形聯想到立體圖形。教師設問：“請你展開想象，這些平面圖形經過運動變化能成為哪些立體圖形？”經過交流互動，學生形成共識：圓與球或圓柱，三角形與圓錐或三棱錐，六邊形與六棱柱等關系都非常緊密。溝通聯想，能建構知識之間的多樣聯系，使知識網絡實現量的增加。

質的重組：知識網絡的完善。知識網絡進行質的重組，是指舊結構被改造或放棄，新結構呈現更完善樣態。例如，教學蘇教版六年級下冊“圓柱和圓錐整理與練習”一課時，課前先引導學生借助表格或思維導圖等，自主梳理有關圓柱、圓錐的知識，初步構建圓柱、圓錐的結構體系。課上，在交流匯報過程中，師生互相補充，不斷完善知識體系。教師根據學生的匯報，選擇最主要的知識點。板書見表1。

高質量的數學理解意味著對知識的深度把握。學習者透視知識的表層結構，深入認識其內在深層結構，才能更好地揭示具體知識內部的數學原理和本質。鼓勵學生用不同方式梳理知識，經過修正和完善，能幫助學生將知識結構深刻印在腦海中。

三、理解的深化：表征互譯的結構融通

數學學習心理的研究表明，理解概念的關鍵在于將數學概念的抽象含義轉換成易于學生理解和運用的心理表象。抓住數學表征的內在聯系，實現表征之間的靈活轉換或互譯，有利于數學知識的整體建構，能促進學生理解的深化，實現靈活提取和應用數學知識，繼而做到轉識成智。

表征轉化，實現意義學習。杭州師范大學鞏子坤教授指出：“‘理解的表征轉化說與奧蘇貝爾的意義學習理論是一致的。”[3]顯然，意義學習的本質是建立新知與原認知結構的實質性聯系。例如，在教學蘇教版三年級下冊“認識分數”一課時，教師呈現三組桃子圖，第一組共3個桃，涂色桃有2個;第二組共6個桃，涂色桃有4個;第三組共12個桃，涂色桃有8個。以上三種情況，雖然桃子的總個數不同，涂色桃子的個數也不同，但異中有同，涂色桃子個數與桃子總數的關系不變，涂色桃子個數都是桃子總數的 。三種圖形表征自由進行轉換，突出了 的本質，即把桃子總數看作單位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子總數的 。此過程包含將圖形表征轉譯成言語符號表征 的過程。推進各種表征進行自由轉換，有利于增強學生對數學的深度理解，提升他們的數學素養。

表征互譯，溝通知識聯系。為了深化理解，不僅要建立知識的多元表征，還要根據需要，將不同表征做出靈活互譯。將新知與已有經驗建立有層次的聯系，能使學生經歷意義理解與數學化的過程。例如，在蘇教版三年級上冊“倍的認識”教學中，教師將語言表征、圖形表征、算式表征進行互譯，溝通了知識間的聯系。在初步理解階段，為促進對“倍”概念的理解，引導學生實現圖形表征向語言表征的轉換。在深入理解階段，又引導學生將語言表征向圖形表征轉化，用圈一圈等方法表征倍數關系，促使學生建立起“一個量中包含幾個另一個量”的圖形，加深對“倍”概念的理解。在解決問題階段，將圖示表征和算式表征進行互譯，既凸顯了兩種方法的聯系，又使學生感到兩種方法的優勢。表征互譯，溝通了知識間的聯系，使學生能靈活進行遷移和應用。

總之，理解就是建立聯系，它應該成為學習者追求的自然旨趣。數學理解是一種基于結構化的學習能力。數學理解以知識的結構化、網絡化為本質，以生成性和發展性為特征，以重新組織為形成機制，以自主活動為形成條件，在教學中具有重要意義。數學理解兼具過程和結果的特性，既存在于學習過程中，又體現為學習結果。各類表征的網絡結構、互換互譯，促進了學生的數學理解和意義建構，實現了學生數學素養的整體提升和拔節生長。

參考文獻：

[1]? 王瑞霖. 數學理解的五層遞進及教學策略[J]. 中國教育學刊，2014（12）

[2]? [瑞士]皮亞杰. 發生認識論原理[M]. 北京：商務印書館，1981.

[3]? 鞏子坤. 數學理解說及其理論與課程意義[J]. 比較教育研究，2009（07）.