注重反思性學(xué)習(xí)，提高解題能力

張紅

[摘? 要] 解題能力體現(xiàn)了學(xué)生對知識的掌握程度與思維的靈敏度. 反思性學(xué)習(xí)是提高學(xué)生解題能力的關(guān)鍵. 文章認(rèn)為注重反思性學(xué)習(xí)，提高學(xué)生解題能力的具體措施有：關(guān)注例題反思，優(yōu)化解題思維;注重探究反思，拓展解題思路;加強(qiáng)解題反思，獲得解題能力.

[關(guān)鍵詞] 反思性學(xué)習(xí);數(shù)學(xué);解題

構(gòu)建主義認(rèn)為：“學(xué)習(xí)是對學(xué)習(xí)活動過程不斷構(gòu)建、概括、反省和抽象的過程. ”其中，反省就是指反思性學(xué)習(xí)，主要是從不同的角度或?qū)哟蝸硭伎寂c解決問題的思維過程，它與生物體對食物的消化與吸收一樣重要且無可替代. 新課標(biāo)明確指出：“要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸形成反思意識，養(yǎng)成自主思考與大膽猜想的習(xí)慣.”據(jù)此，筆者借此文談?wù)勛约涸谧⒅胤此夹詫W(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生解題能力的教學(xué)實(shí)踐中的一些做法.

關(guān)注例題反思，優(yōu)化解題思維

例題教學(xué)的目的在于實(shí)現(xiàn)新知的運(yùn)用，使得學(xué)生達(dá)到“舉一反三、以一通百”的教學(xué)成效. 可見，例題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，想要達(dá)到融會貫通的目的，就需要學(xué)生有較強(qiáng)的解題思維，將所學(xué)知識靈活地運(yùn)用到問題中. 教師在例題教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生例題的反思情況，只有深刻理解例題的內(nèi)涵，才能優(yōu)化解題思維，達(dá)到一通百通的目的.

案例1：“選擇方案”的教學(xué).

原題：小王去超市買照明燈，在兩種燈面前不知道怎么選擇，第一種是功率為60 W（0.06 kW）的白熾燈，第二種是功率為10 W（0.01 kW）的節(jié)能燈，白熾燈與節(jié)能燈的售價分別為3元與60元，這兩種照明燈的壽命（>3000 h）與亮度沒有明顯差別，電費(fèi)單價為0.5元/（kW·h），小王選擇哪種燈更劃算？

這是一個常見的生活現(xiàn)象，不少學(xué)生也遇到過這種類似選擇的問題. 為了讓學(xué)生弄清問題的來龍去脈，筆者以小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行授課. 具體方法如下：

（1）從函數(shù)的角度去分析與解決問題，主要是幫助學(xué)生建立函數(shù)模型，使得學(xué)生能用這種方式思考同類問題.

設(shè)這兩種燈照明的時間為x h，白熾燈花費(fèi)的費(fèi)用為y =3+0.5×0.06x，節(jié)能燈花費(fèi)的費(fèi)用為y =60+0.5×0.01x，再比較y 與y 的大小，就能確定買哪種照明燈更劃算.

（2）利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，即分別列出這兩種照明燈所花費(fèi)的費(fèi)用的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像（見圖1），通過函數(shù)圖像來解決問題.

在學(xué)生得出結(jié)論后，筆者提出了幾個問題供學(xué)生對以上兩種解題過程進(jìn)行反思.

（1）剛剛分組學(xué)習(xí)獲得的結(jié)論運(yùn)用了哪些解題方法？

（2）這些解題方法遵循了哪些步驟？

（3）從本題的解題中，你得到了什么啟示？

學(xué)生經(jīng)過反思與總結(jié)后認(rèn)為利用一次函數(shù)來解決生活實(shí)際問題更便捷、易理解，一般此類問題的操作模式如圖2所示.

無論是在生活中，還是在解題中遇到數(shù)學(xué)問題，首先應(yīng)嘗試運(yùn)用自己原有的認(rèn)知水平與生活經(jīng)驗(yàn)來研究問題，尋覓解決問題的突破口，在不斷地嘗試與總結(jié)中逐漸形成程序化的解題方案.

該例題教學(xué)運(yùn)用了以學(xué)生為主體的小組合作學(xué)習(xí)方式進(jìn)行探究，學(xué)生的解題結(jié)果相當(dāng)不錯. 教師若將課堂教學(xué)就在這個時候畫上句號，顯得過于生硬;而在學(xué)生將問題解決之后，再提出幾個問題供學(xué)生反思，能起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

學(xué)生在反思環(huán)節(jié)中針對幾個問題進(jìn)行思考與總結(jié)，從問題的縱深進(jìn)行了深思，而不是單純地完成解題任務(wù). 學(xué)生通過反思能更深刻地理解問題所蘊(yùn)含的知識與解題方法，并通過逐漸深入地探究、內(nèi)化知識，構(gòu)建出新的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，優(yōu)化解題思維，成效顯著.

注重探究反思，拓展解題思路

所有學(xué)科的教學(xué)都與探究活動的開展有著不可分割的聯(lián)系. 其中，數(shù)學(xué)探究活動的開展不僅是深化學(xué)生對知識掌握的需求，還是提高學(xué)生解題能力的重要措施之一. 探究過程中，教師可穿插這樣的問題：“說說你的想法.”“還有其他想法嗎？”“你覺得是你的方法好，還是其他的方法好？這些方法有什么聯(lián)系嗎？”……類似于這樣的問題能有效地引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)性反思，并在這些問題的誘導(dǎo)下，不斷開啟解題思維，拓展解題思路.

案例2：“梯形中位線”的教學(xué).

原題：如圖3所示，將梯形ABCD沿著中位線EF進(jìn)行第一次折疊，然后把包含∠B與∠C的部分分別沿著EG和FH進(jìn)行第二次折疊，使得B點(diǎn)與C點(diǎn)都落在線段GH上，沿著折疊過的痕跡GE和FH剪下△GEB與△HFC，并按圖中箭頭所示方向旋轉(zhuǎn)180°，可得出一個什么樣的四邊形？

師：根據(jù)以上條件，你們覺得線段EF與線段AD，BC之間是怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系呢？

生1：從圖上來看，我猜想這三條線段之間應(yīng)該是互相平行的關(guān)系.

生2：我認(rèn)同第一位同學(xué)的猜想，同時我覺得它們之間的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是EF= （AD+BC）.

師：哦？誰能說說這種猜想的理由？

生3：我記得梯形的中位線性質(zhì)就是一個梯形的中位線與這個梯形的兩個底平行，它的長度是上下底之和的 .

師：非常好！看來大家對梯形中位線的性質(zhì)已經(jīng)掌握了，現(xiàn)在我們就分組探究以上幾位同學(xué)提出的猜想，驗(yàn)證一下梯形中位線的這個性質(zhì).

（學(xué)生分組探究，并獲得以下結(jié)論）

組1：如圖4所示，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作EG⊥BC，F(xiàn)H⊥BC，且分別與線段AD的延長線交于點(diǎn)P，Q. 如此，很容易證明四邊形GHQP是一個矩形，最后證明△APE與△BGE是全等三角形，從而驗(yàn)證之前的猜想.

組2：如圖5所示，過點(diǎn)F作一條腰的平行線HG，且與線段AD的延長線、線段BC分別相交于點(diǎn)G，H. 由此，我們不難發(fā)現(xiàn)四邊形ABHG是一個平行四邊形，同時△GFD≌△HFC. 此時，線段EF和線段BC，AD的關(guān)系一目了然.

組3：在前兩組所作輔助線的基礎(chǔ)上，我們換一種思維考慮問題，即將圖4與圖5所作的輔助線理解為將三角形旋轉(zhuǎn)了180°而得到的，我們可將四邊形ADFE繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°（見圖6），在此基礎(chǔ)上只要能證明四邊形MFCN是一個平行四邊形，那么以上的猜想也是可以得到驗(yàn)證的.

組4：我們組比其他幾組的方法都要簡單，只要將A，F(xiàn)連接起來，延長后與BC的延長線交于G點(diǎn)，據(jù)此易證得△DFA≌△CFG，由AF=GF可推導(dǎo)出線段EF為△BGA的中位線，所以EF不僅與線段BG平行，還等于它的一半，根據(jù)以上內(nèi)容可知AD∥EF∥BC，且EF= （AD+BC）.

組5：我們組也是通過作輔助線的方式將梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決的.

師：根據(jù)以上各個組呈現(xiàn)出來的意見，我們來一起反思這幾種證明方法的異同處，并嘗試歸納總結(jié).

學(xué)生在教師的提醒下進(jìn)行反思，最終獲得如下結(jié)論：各個小組的證明方法都是將待求的未知結(jié)論轉(zhuǎn)化為已知條件來思考的，分別是將梯形的問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的平行四邊形、三角形與矩形等，本題大部分學(xué)生找到的突破口就是將梯形的中位線轉(zhuǎn)化為三角形的中位線，因而獲得相應(yīng)的結(jié)論.

學(xué)生經(jīng)歷梯形中位線性質(zhì)的探究與反思過程，不僅進(jìn)行了大膽質(zhì)疑與猜想，更重要的是學(xué)生在分組合作學(xué)習(xí)中勇于探索，探究出多種驗(yàn)證猜想的方法，通過不同角度與層次提出解題的措施. 不僅有效地拓展了學(xué)生的解題思路，還讓學(xué)生獲得了良好的探究能力、反思能力與邏輯推理能力.

加強(qiáng)解題反思，獲得解題能力

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，講究的是系統(tǒng)性與結(jié)構(gòu)完整性. 當(dāng)課堂教學(xué)容量比較大時，教師就進(jìn)入兩難的狀態(tài)，留有充足的時間和空間給學(xué)生反思，可能會影響教學(xué)的進(jìn)度;不留充足的時間與空間給學(xué)生及時反思，又怕達(dá)不到預(yù)設(shè)的教學(xué)成效. 為了突破這個難點(diǎn)，筆者認(rèn)為只有精心設(shè)計與編選課堂的每道例題，見縫插針地設(shè)計好每個反思的問題，以保證教學(xué)進(jìn)度與效度的平衡.

案例3：“圓”的教學(xué).

原題：如圖7所示，兩個半圓O與O 的大小不相等，它們相切于C點(diǎn)，AB是半圓O的弦，與小半圓O 在F點(diǎn)相切，若AB∥CD，且AB=4，陰影部分的面積是多少？

不少學(xué)生看到本題就感到畏懼，感到無從下手. 經(jīng)教師的引導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)，解決本題可分為以下三步：①先設(shè)大圓、小圓的半徑;②運(yùn)用垂徑定理尋找出大圓、小圓的半徑與線段AB之間存在的關(guān)系;③將大半圓、小半圓的面行相減，即可解決問題.

教師在教學(xué)設(shè)計時，可在解題的每個環(huán)節(jié)設(shè)疑，讓學(xué)生及時反思，在一環(huán)扣一環(huán)的解題過程中，通過不斷的思考與反思逐漸強(qiáng)化解題方法的運(yùn)用. 學(xué)生在反復(fù)的反思訓(xùn)練中，逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思想，獲得相應(yīng)的解題能力.

總之，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，反思又是獲得良好解題能力的保障. 教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計好每個環(huán)節(jié)的解題教學(xué)，及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極反思，鼓勵學(xué)生在反思中實(shí)現(xiàn)透過現(xiàn)象看本質(zhì)的目的.