初中數學“認識封閉”突破策略研究

周小峰

[摘? 要] 學習中，學生常會對某特定問題或知識產生固定的認識，形成認識封閉現象. 為了突破這種現象，文章從認識封閉的形成原因出發，提出突破認識封閉的策略有：學會思考，完善認知結構;變式教學，優化學生思維;關聯行為，培養學習習慣.

[關鍵詞] 認識封閉;思維;教學

認識封閉是指本可以用某些知識或方法解決當前問題，卻認為自己無法解決這個問題的現象，亦可理解為“將不會當做不能”的思想認識. 認識封閉現象普遍存在于初中數學教學中，很多時候我們沒有覺察到它對學習的影響，只是單純地認為所有解題障礙都是因為學習能力差. 為此，教師應全方位地認識學習中存在的問題，從不同的角度去審視與發現問題的根源，充分認識封閉的體系與突破方法.

認識封閉產生的原因

1. 認知結構不夠完善

認知結構的不完善，是致使認識封閉的前提. 新課標明確提出：“要幫助學生全方位地理解數學教材，構建完整的認知結構[1]. ”然而放眼當下，學生的數學認知結構并不完善. 究其主要原因還在于教師缺乏構建學生認知結構的意識，忽視學生數學認知水平提高的因素，使得學生無法從根本上理解知識的發生、發展與形成過程. 學生只是掌握了碎片化的知識，而無法將知識進行融會貫通，串聯成一個完整的知識體系.

2. 學生思維有待發展

思維的有待發展，是導致認識封閉的基本條件. 初中階段學生的身心特征決定了其思維以經驗型為主，對實際事物缺乏感性的認識. 學生往往對新穎、奇特或自己感興趣的材料有較強的接受能力，但對一些抽象的定理、公式、法則等不那么容易接受. 部分學生的思維仍停留于機械性的識記方面，無法深刻理解一些數學概念、定理或法則所蘊含的真正意義. 由此可見，初中階段學生思維的敏捷性、深刻性、理解性與創造性等方面均有待發展.

3. 學習習慣有所欠缺

學習習慣差，是認識封閉產生的關鍵因素. 學習習慣與學生的認知發展有著直接的聯系. 教師在課堂中一樣地授課，學生接收到的內容卻千差萬別. 經研究，這與學生的不良學習習慣有著直接關系. 同樣的課堂學習，有學生筆記工整、清晰，也有學生沒有筆記;有學生在課堂上積極發言、勇于質疑，也有學生從不舉手發言，也從不提出任何問題;有學生保質保量地完成課后作業，也有學生能拖則拖，作業永遠不能及時完成.

突破認識封閉的策略

學生因以上各種因素導致遇到實際問題時懶于思考，缺乏探究與鉆研精神，出現認識封閉的現象. 其實，認識封閉并不是真正的能力差，只是自認為難以解決當前問題，并非真的無法解決. 只要教師從思想上辯證地認識到認識封閉的存在，通過一定的方法必能突破這種障礙，使得問題順利解決.

1. 學會思考，完善認知結構

認知結構的不完善是導致認識封閉的前提因素. 為此，教師應引導學生學會思考，鼓勵學生在思考中完善認知結構，以突破認識封閉. 從數學認知學的研究范疇來看，所謂的思考是指用數學的思維方式對世間萬物進行分析與思考，要從想、做、說等角度出發，運用關聯、構建、內化與整合等方法完善學生的認知結構. 學會思考能幫助學生實現教學目標，并掌握數學抽象、推理與建模的能力，從而有效地突破認識封閉.

例1 如圖1所示，將Rt△ABC按照圖示方法進行折疊，折疊后使得點A重合于點C，DE為折痕. （1）求證：△ECB為一個等腰三角形;（2）如圖2所示，將△ECB沿著它的對稱軸EF進行折疊，此時原△ABC恰好被折疊成兩個完全重合的疊加矩形（包含一個△ABC的內接矩形和一個拼接而成的矩形），問圖3的正方形網格中△ABC可否得出類似的疊加矩形？若能，請在圖3中畫出折痕. （3）如圖4所示，以正方形網格中的BC為一邊，畫一個頂點在格點上的△ABC，使得該三角形依照以上方法折疊而成的疊加矩形為正方形. （4）思考：依照以上方法折疊而成的圖形為疊加正方形，需要哪些必備條件？

本題中的問題（1）和問題（2）涉及的是組塊問題，問題（3）則屬于自變行為，而問題（4）已經深入共變內容了. 這就要求學生要有一定的思考能力，通過前兩個原型定向問題逐漸深入思考，將問題的共性特征逐漸內化到自己的認知結構中，變成自己的認知. 此過程可將從無序的折紙到有定義組合的折紙視為思維的困境，從學習困境驅動論的角度來看，適當的思維困境能促進學習者深加工學習材料，進而完善認知.

學會思考是數學學習的基本素養. 從認知心理學來說，知識的獲得與遷移都是從外部認知逐漸轉化為內部思維的，而內部思維的形成主要體現在完整的認知結構與動作映像[2]，即實現“外部輸入—思維內化—映像輸出”的過程. 學生在學會思考中日趨完善自己的認知結構，并逐漸突破認識封閉，更好地解決相關問題.

2. 變式教學，優化學生思維

數學教學不僅要關注學生對知識與技能的掌握程度，更重要的是要關注學生思維的優化過程. 為了激發學生思維的活躍性，教師應給學生創造更多探索與體驗數學的機會，以激發學生的潛能，促使學生形成高階的思維品質. 變式教學、一題多解、多解一題等均能有效地優化學生的思維，讓學生在良好的思維品質中突破認識封閉，實現數學能力的成長.

例2 如圖5所示，折疊銳角三角形ABC紙片，使得點A落在BC邊上的點D處，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，且BC∥EF，連接DE，DF，AD. （1）求證：線段EF是△ABC的中位線;（2）試證線段BC與AD之間的關系;（3）若AB=AC，請判斷四邊形AFDE的形狀，并證明.

變式1：如圖6所示，△ABC為一個鈍角三角形紙片，折疊該三角形，使得點A落于BC延長線上的點D處，折痕與線段AB相交于點E，與線段AC相交于點F，且BC∥EF，連接DE，CE與DF，已知CB=2CD. （1）本圖中一共有幾個等腰三角形？（2）假設AC=BC，請判斷四邊形ECDF的形狀，并證明.

變式2：如圖7所示，△ABC為一個等邊三角形，折疊這個三角形，使得點A落在BC邊上的點D處，已知BD∶DC=m∶n，若折痕為MN，試求AM∶AN的值.

本題對原題進行有條理、有層次的變式，讓學生通過試題的變化來發現解決此類問題的本質，達到觸類旁通、融會貫通的教學成效. 這種方式使得每個學生都能找到解題的突破口，即有利于不同水平層次學生的認知發展，又能有效地優化學生的思維，促使學生數學思維的成長與學力的提升，為突破認識封閉奠定了堅實的基礎.

3. 關聯行為，培養學習習慣

關聯是指將碎片式的零散知識或一些不具確定性的經驗聯系到一起，抽象出具體的特征[3]. 數學學習中的關聯行為是培養數學學習習慣的基礎，良好的習慣從諸多關聯中逐漸產生. 關聯數學知識，可通過同化、順應與重組來實現. 良好的習慣一旦形成，對學生的學習與可持續發展將產生深遠的影響，同時對認識封閉的突破具有舉足輕重的作用.

例3 因式分解：x4-4=（x2+2）（x2-2）.

本題在有理數范圍內，大家都知道無法再繼續分解. 但是，當后期遇到算術平方根的內容之后，會涉及無理數的相關知識，只要變化數的研究范圍，會發現x4-4=（x2+2）·（x+ ）（x- ），這是學習中形成的順應性思考習慣. 當然，本題還會在未來的高中階段碰到新的知識關聯.

學生將學習過程中遇到的一些知識點進行關聯、整合，串聯后形成自己認知的行為是促進學習的基本手段，亦是突破認識封閉的必經之路. 通過關聯行為，形成良好的學習習慣使得學生終身受益.

總之，當學生在學習中遇到難以解決的問題時，我們不要單純地認為他們沒有解決這個問題的能力，而應變化教學手段，引導學生通過自主思考、激活思維、關聯相關知識，以突破認識封閉帶來的解題障礙. 教師只有從主觀上察覺到認識封閉的存在，才能有效突破這層障礙，提升數學核心素養.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 楊翠蓉，周成軍. 布魯納的“認知發現說”與建構主義學習理論的比較研究[J]. 蘇州教育學院學報，2004（2）.

[3] 宋萬言，粟小妮. “實數的概念”：折紙、拼圖中發現，計算、比較中構建[J]. 初中數學教與學，2017（12）.