開放設計，漸次展開，發展學生的多元思維

徐強

[摘? 要] 初中數學“一輪復習”承載著“梳理、鞏固、提升”的功能，其學材再建構應站在系統的高度、學力發展的角度，注重開放設計，橫向打通，漸次展開，幫助學生形成對知識的再認識，從而系統把握數學知識內在邏輯與關聯，促進學生基于整體理解之上的分析、評價、創造等多元思維的發展.

[關鍵詞] 數學一輪復習;開放設計;教學立意

中考一輪復習重要性毋庸置疑，其承載著“梳理、鞏固、提升”的功能.作為一線教師不僅認識到了這一點，而且在努力踐行著，但筆者在廣泛調研中發現了一個較為突出的問題，也是大多一線教師的困惑：“知識版塊網絡圖構建了，思想方法總結了，典型問題訓練了，但學生一遇到稍有變化的題目，又無從下手了.” 原因何在？筆者認為，復習時，知識前后貫穿性還不夠，相近知識的聯系與區別辨析還不透，訓練學生的多元思維還欠缺.這就需要我們進一步優化復習課的設計，演變為學生再學習、再發現、再創造的過程，真正轉化為學生再收獲的成果.下面以直角三角形復習為例，談談自己進行知識重構的思考歷程，提供研討.

教學設計

活動1：如圖1，△ABC中，若AB=10，能否添加一條件，使得點C在以AB為直徑的圓上運動？

預設思路：思路之一是從邊、角、邊角角度出發;思路之二是在平面直角坐標系下，知直線的“k”值（斜率）;思路之三從圓的定義出發，滿足AB中點到三個頂點的距離相等.

設計意圖 開放問題呈現，低起點，讓更多的學生參與其中，讓更多的學生有了多元思維的舞臺，從圓與直角的聯系，過渡到淺層次的從邊、角、邊角的角度添加條件，再深入坐標系背景下直線的“k”值（斜率）理解，漸次展開，為后續教學作鋪墊.

活動2：

（1）如果請你解活動1中的直角三角形，如圖2，能求出其他元素的值嗎？不行的話，請你添加條件.

（2）如圖3，如果△ABC是一般三角形，若請你求AC的長，可以嗎？不行的話，請你添加條件.

設計意圖 此活動主要關注三角形的確定性問題，從解三角形到解斜三角形，體會從哪些角度添加條件可以讓三角形確定，滲透化歸思想，強化邊角關系的溝通載體.

活動3：如果將活動1中的直角三角形置于圓中，如圖4，CD平分∠ACB， AB=10，BC=8，求AD，CD的長.

預設思路：

方法1：如圖5，過點D分別作DF⊥BC，DE⊥AC，垂足為F，E，可證△DFB≌△DEA，可得四邊形CEDF為正方形，BF=AE，所以AC+BC=2CF=14，則CD= CF=7 .

方法2：如圖6，因為AD=BD，把△ACD繞點D順時針旋轉90°，則F落在CB的延長線上，可得△CDF為等腰直角三角形，進而可求CD長.

方法3：如圖7，過點B作BF⊥CD，垂足為F，因為線段CB，BD長已知及∠BCD=45°，可通過解△CBD求CD長.

方法4：如圖8，分別過點A，B作CD垂線，垂足為E，F，借助面積法，可求CD的長.

方法5：如圖9，在方法4的基礎上，過O作OH⊥CD，連接CO，因為OH= （BF-AE），求出CH，CD=2CH.

設計意圖 此題為課本例題，圓的加入，讓角、邊之間的溝通更深入，課堂中通過學生的不同思路講解，師生共同歸納：對于求圓中弦的長度，常規輔助線的添加、處理工具的選擇，都是圍繞三角形而展開，進一步讓學生體會問題解決的思路與出路.

后續教學思考

第一課時我們以直角三角形構造為起點，穿插了解直角三角形及圓中相關計算復習，后續教學設計指向何方？筆者認為繼續圍繞直角而展開，如：①圓的切線與直角聯系;②由一個直角三角形過渡到兩個直角三角形，滲透基本的幾何模型的再認識（一線三等角模型、母子相似模型、十字架模型等）;③由基本模型再進行專題研究，如角的存在性問題、折疊問題等. 如圖10：

從思考圖中，可以發現，后期的教學重點主要是模型的提煉，從認識模型走向構造模型，為學生開通一條以數學模型服務解題教學的研究路徑，豐富并發展學生的模型思想，逐步完善學生的建模意識.

教學立意的進一步闡釋

1. 問題設置從封閉走向開放

我們發現傳統的復習課，教師常選擇一些所謂的典型題為載體形成教學設計，導致課堂的教學方式就是不斷地講題，學生聽得累且無味，收獲甚少.復習課怎么上？需要的是教師站得高看得遠的意識，通過復習課讓數學知識串珠成線，讓學生有一種感覺，看已知信息即能從大腦提取關聯知識、解決方法.基于以上認識，我們倡導“問題導向，整體構建”，教師如何操作？即從課堂問題的設置入手，借助問題的開放，促進更多的學生思維參與. 如本課例中，通過活動1，讓與直角相關聯知識得到相機呈現，面對這些知識，即面對研討空間，后續教學的內容自然生成;對于活動2，自主添加條件解三角形，學生間產生的思維碰撞，自然加深三角形確定性的理解;活動3的一題多法，促進更多學生思維參與，激發更多的學生自我挑戰，讓與其相關的技能與方法得到充分落實.當然，由解三角形過渡到圓中相關計算問題，可以發現解決問題的本質是一致的，而圓的加入，只是讓邊角關系的溝通路徑更豐富，真正促進學生從思維封閉走向思維開放，實現復習課的“有滋有味”.

2. 立足課本，選題改編，多法思考

縱觀各地的中考數學試題，總能在試題中找到課本習題、例題的影子. 復習過程中，若能對課本的典型的例題、習題進行鉆研與延伸，挖掘出例題、習題蘊含的多維度生長點，解法的多思路，從而避免復習中習題密集出現，也可達到舉一反三的效果. 如本課例中例題的選取為人教版九年級上冊P87例4的改編題，多法的研究打通了圓中相關計算的處理策略，凸顯問題解決的關鍵點就在于如何處理邊角之間的關系. 縱觀而知，初中階段相關計算問題，根在溝通邊角關系的工具選擇，一題多變、一題多法，一題一課是解決此類問題的一種較好的模式，值得我們在一輪復習中關注與實踐.

3. 后續教學設計漸次展開

一輪復習貴在厚積薄發，如果我們的課例設計都圍繞學生已學知識進行深加工而展開，那我們的復習課才更具有探究味、思考力，學生的多元思維訓練才會得到真正的落實. 設計的落腳點在哪里？教師修煉的四大方向：一是熟知初中三個年級相關知識的生長過程;二是同類知識的串聯與發展;三是知識引入的載體選擇;四是方法技能的歸納.如本專題的設計思路，把初中階段與直角有關的知識進行有效整合，把與之相關的計算問題進行策略歸納，把問題研究的基本套路進行多元呈現. 授之以魚不如授之以漁，教師的教學思考勢必會潛移默化地影響到每一個孩子，讓他們對于數學復習產生新的認識、新的理解.