基于“問題+追問”教學法的教學案例及思考

陳旭旋

2019年12月，廣東教育學會中學數學教學專業委員會發出《關于征集第二屆廣東省中考數學疑難問題教學設計的通知》，筆者有幸參加了此次的教學設計評選。在經過對中考數學疑難問題的認真分析研究下，筆者選擇了壓軸題高頻考點：由動點產生的特殊三角形的存在性問題之等腰三角形存在性問題作為課例，采用“問題+追問”的啟發引導教學法進行教學設計，經過中數會組織的專家評審中獲得特等獎。現將其教學設計過程和反思整理出來，以拋磚引玉，歡迎各位同行和專家批評指正。

一、教學案例--以等腰三角形的存在性問題為例

1.問題引入

問題：如圖1，已知點A、B和直線l，請問在直線l上是否有一點P，使得存在以A為頂點的等腰三角形ABP？

追問1：若把問題中“以A為頂點”改為“以點B為頂點”呢？

追問2：去掉“以A或B為頂點”的條件呢？

設計意圖：通過問題引入和追問1，滲透分類討論思想，分散難點，為探究活動做鋪墊;追問2的設計是為了引出探究活動，層層遞進。

2.探究活動

問題：如圖2，已知點A、B和直線l，請問在直線l上是否存在一點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，有幾個符合條件的點P？

追問1：你是如何找到這些點P的位置的？

追問2：如何做到不重不漏？有什么好的技巧與方法？

追問3：若以點A為原點建立平面直角坐標系，點B的坐標為（4，3），你能否在x軸上找到一點P，使得△ABP是等腰三角形？

設計意圖：通過等腰三角形存在性問題的基本模型圖的探究，并通過兩個追問明確分類討論的標準，找點的存在性的方法——兩圓一線法，形成一定的解題策略，培養學生嚴謹的思維和解題習慣，追問3為引出例題教學，自然過渡。

3.例題教學

問題：如圖3，在平面直角坐標系中x O y中，點B的坐標是（4，3），你能否在x軸上找到一點P，使得△OBP是等腰三角形？

追問1：你能求出這些符合條件的點P的坐標嗎？

追問2：你能說說你解這道題的思路或步驟嗎？

設計意圖：例題的設計讓學生學以致用，及時鞏固解決等腰三角形存在性問題的幾何方法——兩圓一線法，通過師生互動完成計算示范，分散難點;通過追問讓學生學會“回頭看”，養成題后反思的習慣，做到心中有思辨，才能獲得技能的遷移學習。

追問3：剛剛在巡視的過程中，有同學疑問畫圖麻煩，可不可以不畫圖就能解決這個問題？請同學們思考還有沒別的方法，可以避免繁瑣地畫圖，又能不重不漏地找到動點P嗎？

追問4：能否讓方程顯得更加簡潔？你能說說這種解法的步驟和原理嗎？

設計意圖：利用追問引導學生尋找解決等腰三角形存在性問題的代數法，用三步法實現盲解盲算，掌握解決存在性問題的通法并規范解題格式。

追問5：請同學們觀察這兩種解法過程，你更喜歡哪種？

設計意圖：讓學生通過兩種解法過程的對比感知：從幾何角度入手，利用“兩圓一線法”精準定位，計算簡捷，但畫圖不易，容易漏解;從代數角度入手，思路自然，盲解盲算，但計算不易。兩者各具優勢，若結合使用可以以數解形，以形助數，數形結合。

4.小試牛刀

變式1（單動點）：如圖4，已知拋物線y=x2+bx與直線OB：y=x相交于O、B（4，3）兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使得△OBG是等腰三角形？若存在，請直接寫出點G的坐標;若不存在，請說明理由。

變式2（雙動點）：如圖5，已知拋物線y=x2+bx與直線OB：y=x相交于O、B（4，3）兩點，P為直線OB下方的拋物線上的一動點，過P作x軸的垂線，垂足為D，且交直線OB于點G，請問是否存在點P，使得△OPG是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由。

設計意圖：通過對例題添加二次函數背景進行變式綜合應用，從單動點過渡到雙動點，鞏固幾何法和代數法解決等腰三角形存在性問題的基本策略，形成解題技能，同時根據動點的個數靈活選擇方法，體驗兩者結合更有助于快速解題。

5.真題實戰

（2019年湖北省十堰市中考）25.已知拋物線y=a（x-2）2+c經過點A（2，0）和C（0，），與x軸交于另一點B，頂點為D。

（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標;

（2）如圖，點E，F分別在線段AB，BD上（E點不與A，B重合），且∠DEF=∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長;若不能，請說明理由。

設計意圖：中考真題實戰，熟練鞏固分類討論思想解決等腰三角形存在性的解題策略并讓學生再次感受學有所用，體驗數學的價值。

6.總結經驗

問題：總結我們是如何研究等腰三角形存在性問題的？

追問1：等腰三角形的存在性是按照怎樣的思路研究的？

追問2：我們是怎么想到等腰三角形存在性問題是按照這樣的思路研究呢？

追問3：有哪些方法可以解決等腰三角形的存在性問題？

追問4：這些方法的基本解題策略是什么？

追問5：在解決具體存在性問題中，應如何靈活選用方法？

設計意圖：用問題串的形式引導學生回憶總結本節課的全部過程，再次進行整體構建，既達到了總結知識點的目的，又形成體系，形成問題研究的“基本套路”，為后續的學習提供路徑和方法。

7.遷移探究

問題：由動點產生的特殊三角形，除了等腰三角形外，還有直角三角形、等腰直角三角形等， 你能類比等腰三角形存在性的研究經驗獨立探究直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題嗎？

設計意圖：用相同的方法解決不同的問題可以讓人更加的聰明。以直角三角形、等腰直角三角形的存在性研究作為作業，讓學生獨立探究直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題會產生第二次“整體構建”，即學生在對所學知識內化的基礎上，通過順應或同化構成新的認知結構，實現知識與方法的第二次整體建構，培養學生的遷移學習能力。