數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)解題模型

曾令發(fā)

【摘要】“模型就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題現(xiàn)象的分解，利用我們考慮得來(lái)的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創(chuàng)造出來(lái)的一副圖畫(huà)……”數(shù)學(xué)圖形模型是指利用圖形對(duì)變量間的關(guān)系作分析基礎(chǔ)，構(gòu)建圖形將問(wèn)題直觀(guān)地表達(dá)出來(lái)，或?qū)?shí)際問(wèn)題直接與幾何知識(shí)、代數(shù)知識(shí)結(jié)合，求解問(wèn)題。抽象邏輯思維的培養(yǎng)依托于幾何圖形，同時(shí)，也為學(xué)生提供具體、形象、直觀(guān)的解決問(wèn)題的方法，把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)方式變?yōu)閷W(xué)生所能掌握的形式，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，而且培養(yǎng)了濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】模型;數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)圖形

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)而不僅僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是一種以主體已有知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng)。數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特定目的而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策。例如，歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的答案就是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型。在此，筆者首先給學(xué)生講“植樹(shù)問(wèn)題”的過(guò)程。

題目：同學(xué)們張開(kāi)手，5個(gè)手指人人有，手指之間幾個(gè)空，請(qǐng)你仔細(xì)瞅一瞅。

筆者舉起手來(lái)，張開(kāi)五指，學(xué)生們模仿著筆者的動(dòng)作，大聲回答說(shuō)：“四個(gè)空?！惫P者告訴他們，“空”是俗話(huà)，數(shù)學(xué)上把“空”叫做“間隔”。然后，筆者接著問(wèn)：“5個(gè)手指之間有幾個(gè)間隔？”學(xué)生們齊聲答道：“4個(gè)間隔。”此舉叫做“配個(gè)原形”。“手”就是“手指”和“空”所代表的一類(lèi)事物的數(shù)量關(guān)系的原形：5-1=4，即“手指數(shù)-1=間隔數(shù)”。

筆者把這個(gè)式子板書(shū)出來(lái)，接著就又出了下面的題：

題目：（種樹(shù)）小朋友在一段路旁種了5棵樹(shù)，這5棵樹(shù)之間有幾個(gè)間隔？若每個(gè)間隔長(zhǎng)1米，這段路有多長(zhǎng)？

學(xué)生們一下就看出來(lái)了：5棵樹(shù)之間有4個(gè)間隔，4個(gè)間隔共長(zhǎng)4米。

筆者緊接著就引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出下式：5-1=4，即棵數(shù)-1=間隔數(shù)（兩頭都種樹(shù)）。

這實(shí)質(zhì)上就是建構(gòu)了空間一維直線(xiàn)上的點(diǎn)數(shù)和它們的間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系?？梢钥闯?，這個(gè)關(guān)系和手的情形是同樣的。這種共同數(shù)量關(guān)系及其表達(dá)式就可以作為一種數(shù)學(xué)模型看待。

然后，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)展考察的范圍：題目（鐘打點(diǎn)）——小明家的鐘會(huì)打點(diǎn)報(bào)時(shí)，5點(diǎn)鐘打5下，4秒鐘打完。按這樣，你知道10點(diǎn)鐘打10下需要幾秒鐘打完嗎？

筆者仍然引導(dǎo)學(xué)生先畫(huà)圖，打一下，畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，這就使學(xué)生在不知不覺(jué)中把時(shí)間觀(guān)念用圖形（線(xiàn)段和點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為空間形式來(lái)表達(dá)了。

由圖可見(jiàn)，5個(gè)點(diǎn)之間4個(gè)間隔，4個(gè)間隔是4秒，顯然每個(gè)（時(shí)間）間隔是1秒。“5-1=4”也符合：點(diǎn)數(shù)-1=間隔數(shù)。進(jìn)而得出：10-1=9（個(gè)間隔），從而得出打10下需要9秒鐘打完。此時(shí)，筆者借機(jī)告訴學(xué)生，與前面題目中的“空間間隔”不同，這道題中的間隔叫“時(shí)間間隔”。此外，還可以繼續(xù)擴(kuò)展這一模型應(yīng)用到其它的問(wèn)題上。

題目：1.（鋸木頭）把一根木頭鋸成5段要付鋸工費(fèi)用1元。如果把同樣的另一根木頭鋸成13段，應(yīng)付鋸工費(fèi)多少元？2.（上樓梯）小明家住五樓。他數(shù)了數(shù)兩個(gè)樓層之間的樓梯共有10個(gè)臺(tái)階。他想知道自己從一樓上到五樓要上多少個(gè)臺(tái)階，你能幫他算出來(lái)嗎？

把這兩題解答完后，師生一起回顧以上各題，找出它們的共同點(diǎn)，即抽象出這類(lèi)事物中共同的數(shù)量關(guān)系，仍以“植樹(shù)問(wèn)題”為代表，寫(xiě)成：棵數(shù)-1=間隔數(shù)（兩頭都有樹(shù)）。

按照習(xí)慣，我們就把這一類(lèi)問(wèn)題叫做“植樹(shù)問(wèn)題”。通過(guò)以上學(xué)習(xí)，隨著年級(jí)的升高，學(xué)生就可以運(yùn)用這一模型進(jìn)一步解決那些更為復(fù)雜的問(wèn)題。如，57輛軍車(chē)排成一列通過(guò)一座橋，前后兩輛車(chē)之間都保持2米的距離。橋長(zhǎng)200米，每輛軍車(chē)長(zhǎng)5米。從第一輛車(chē)頭到最末一輛車(chē)尾共長(zhǎng)多少米？

整個(gè)教學(xué)過(guò)程就是設(shè)法使學(xué)生建構(gòu)起現(xiàn)代模式論的數(shù)學(xué)觀(guān)，這也符合布魯納說(shuō)的“從本質(zhì)上說(shuō)，一開(kāi)始不是學(xué)習(xí)一種技能，而是學(xué)習(xí)一個(gè)一般觀(guān)念，然后這個(gè)一般觀(guān)念可以作認(rèn)識(shí)后繼問(wèn)題的基礎(chǔ)，這些后繼問(wèn)題是開(kāi)始所掌握的觀(guān)念的特例。這種類(lèi)型的遷移應(yīng)該是教育過(guò)程的核心——用基本的和一般的觀(guān)念來(lái)不斷擴(kuò)大和加深知識(shí)”。

出于同樣的考慮，當(dāng)學(xué)生學(xué)了長(zhǎng)方形的面積后，我們就可以把長(zhǎng)（下轉(zhuǎn)第23版）（上接第22版）方形作為數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)待，就是對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，用長(zhǎng)方形表示出其幾何意義或以某種方式可以與幾何圖形建立聯(lián)系，將題目中的條件及數(shù)量關(guān)系直接反映在幾何圖形中，然后在構(gòu)造中尋求原題的結(jié)論。

如，一輛汽車(chē)從城市開(kāi)往山區(qū)，往返共用20小時(shí)，去時(shí)的時(shí)間是回來(lái)的1.5倍，去時(shí)的速度比回來(lái)的速度慢12千米，汽車(chē)往返共行多少千米？

這里用長(zhǎng)來(lái)表示速度，寬表示時(shí)間，構(gòu)造一個(gè)“長(zhǎng)方形”，問(wèn)題就迎刃而解。

觸類(lèi)旁通，只要具有類(lèi)似計(jì)算長(zhǎng)方形面積的乘法應(yīng)用題都可以構(gòu)造“長(zhǎng)方形”模型來(lái)求解。在此略舉幾例，以示佐證。

一是解平均數(shù)問(wèn)題。例如，五（1）班數(shù)學(xué)期中考試平均分為78分，而男生平均分為75.5分，女生平均分為81分，求男女人數(shù)的比。

二是解行程問(wèn)題。例如，甲乙丙三人，甲每分走50米，乙每分走60米，丙每分走70米。甲乙從東村，丙從西村同時(shí)出發(fā)。丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，求東西兩村的距離。

根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=路程”的數(shù)量關(guān)系，可構(gòu)建下圖來(lái)求解。

三是解測(cè)量古井問(wèn)題。例如，用繩子測(cè)量井深，把繩子三折來(lái)量，井外余4尺;把繩子4折來(lái)量，井外余1尺。求井深和繩子的長(zhǎng)。

由于井深就是每折的長(zhǎng)度減去余在井外的長(zhǎng)度，通過(guò)構(gòu)建下圖，假設(shè)井深為x米，得：（x+1）×4=（x+4）×3.

四是解盈虧問(wèn)題。例如，一些人共同分擔(dān)購(gòu)買(mǎi)小船的錢(qián)，如果其中10人后來(lái)決定不參加，余下的人每人要多分擔(dān)1元。當(dāng)實(shí)際付款時(shí)，又有15人退出，最后余下的每人又要多分擔(dān)2元。求原先是多少人？

這題相對(duì)復(fù)雜些，但只要抓住所構(gòu)建圖中的“等積”關(guān)系列方程，答案就自然有了。

在數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽中，許多題目只要注意構(gòu)造模型，初看無(wú)從下手的題目會(huì)變得簡(jiǎn)單、明了。例如，通過(guò)構(gòu)造“極端”模型，從問(wèn)題的最簡(jiǎn)單狀態(tài)或最多的情況入手，探索解題方法。如（1）計(jì)算：

（2）某人上樓梯的本事有三種：一步一級(jí)、一步兩級(jí)、一步三級(jí)，他要從樓下上到10級(jí)臺(tái)階的樓上，有多少種不同的方法？這兩題都可以從最簡(jiǎn)單的“極端”去考慮。

另外從數(shù)點(diǎn)格求積得到啟示，可以構(gòu)造“網(wǎng)格”模型來(lái)解題。如，（1）正六邊形ABCDEF的面積為6平方厘米，M、N、P分別是所在邊的中點(diǎn)，求三角形MNP的面積。（2）長(zhǎng)途公共汽車(chē)有甲、乙兩個(gè)終點(diǎn)站，汽車(chē)要用4小時(shí)才能駛完全程。從上午6時(shí)開(kāi)始，每隔1小時(shí)從甲乙兩站同時(shí)發(fā)出一輛汽車(chē)，最后一輛車(chē)是在下午4時(shí)出發(fā)。從甲站出發(fā)的汽車(chē)司機(jī)最多能看到多少輛迎面駛來(lái)的從乙站開(kāi)出的車(chē)？最少呢？這兩題只要構(gòu)造下面的“網(wǎng)格”圖，題目就顯得非常容易了。

從這些鮮活的例證中，我們真正領(lǐng)略到了“數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建解題模型”的意義和價(jià)值，也應(yīng)證了布魯納說(shuō)的“智力的主要任務(wù)就在于為經(jīng)驗(yàn)的順序構(gòu)造易于解釋的模型，緊接著的命題就是把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)變?yōu)橛仔W(xué)童所能掌握的形式……學(xué)生一旦熟悉了那個(gè)適當(dāng)形式，便能繼續(xù)掌握更有效能、更精確的認(rèn)識(shí)和使用知識(shí)的形式?！毕嘈磐ㄟ^(guò)筆者以上的拋磚引玉，今后的教法在一定程度上實(shí)現(xiàn)布魯納的期待——“把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)方式變?yōu)橛仔W(xué)童所能掌握的形式”。

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