電壓控制型Boost變換器的PID補償器分析與設計

沈方健，冉華軍，余 益，張展鵬

（1.湖北省微電網工程技術研究中心（三峽大學），湖北宜昌 443000；2.國網湖北省電力有限公司檢修公司，武漢 430050）

引言

隨著電力電子技術的日益發展，DC-DC變換器已經運用在了民用、軍用等領域。在許多實際運用中，需要有穩定的輸出電壓。這也給開關電源提出了更高的要求，以Boost變換器為主的開關電源已逐漸為大眾所熟知，Boost變換器電路拓撲成為人們研究穩壓的首要選擇，任何一個電路都離不開電源，因此研究Boost變換器的閉環控制設計具有十分深遠的意義和參考價值[1-3]。

開關變換器是帶有閉環控制的時變系統，需要小信號建模和設計良好的控制器以達到穩壓要求[4,5]。近幾十年來，開關變換器的建模和控制，一直是國內外學者研究的重點。基于Boost變換器在生活中的廣泛應用，設計Boost變換器的控制環路的補償網絡，以提高系統的穩定性和動態響應已成為迫切需要。不同的補償網絡使開關電源具有不同的性能，常見的補償器有PD補償器、PI補償器、PID補償器等。PID補償器結合了PD補償器和PI補償器的優點，已成為人們的普遍選擇，所以要對PID補償器進行深入探討。PID補償器因其結構簡單，在低頻時具有高的環路增益，能夠精確穩定輸出電壓的低頻部分；在高頻時，又能夠很好地提高相位裕度，這成為了變換器控制部分補償網絡的主要運用方法。

1 變換器特性分析及建模

圖1為Boost變換器的開環拓撲，設輸入電壓Uin=75 V，輸出電壓UO＝100 V，電感L＝100 μH，電容C＝500 μF，電阻R＝10 Ω，開關頻率fs=100 kHz，D=0.25。如圖1，根據開關狀態，變換器可分為兩種基本工作狀態，下面分別列出這兩種工作狀態的狀態方程。

圖1 Boost變換器開環設計

當開關管導通時，二極管截止，由電容向負載供電，狀態方程為：

當開關管截止，二極管導通時，由電源和電感向負載供電且為電容充電：

由變換器在一個周期的兩個工作狀態，電感電流iL(t)在開關周期平均后顯然滿足式：

由（1）（2）（3）可得變換器一個開關周期的平均值表達式為：

變換器等效的平均變量中含有小信號擾動，所以變換器的小信號擾動的狀態方程為：

根據小信號近似，略去直流分量和高階分量，可列變換器小信號擾動的線性等效方程：

由式（6）建立Boost變換器連續導通模式下的平均小信號交流模型如圖2。

圖2 Boost變換器小信號模型

通過小信號模型，可得控制對輸出傳遞函數[6,7]：

將圖1中設定參數值代入式（7）得控制對輸出傳遞函數值為：

2 補償網絡分析與設計

2.1 確定補償網絡傳遞函數

建立負反饋的期望是為了形成一個自動調節占空比的電路，無論uin，iload和元件參數變化，都能獲得所需的高精度輸出電壓[8,9]。圖3為變換器閉環小信號模型框圖。

圖3 變換器閉環小信號模型框圖

開環增益傳遞函數為：

式中，H(s)為電壓采樣的比例系數，Gc(s)為電壓環補償器傳遞函數，1/VM是PWM調制器的比例系數，Gud(s)是控制到輸出的傳遞函數。

假設當工作在連續導通模式，Boost變換器是一個單位補償系統[10-13]。各項參數可設定為：VM=5，Gc(s)=1，H(s)=0.05，將式（8）代入式（9）計算得：

可得未加補償參數環路增益幅頻特性和相頻特性的波特圖，如圖4所示。

分析圖4可知，該系統在補償前存在以下幾個方面問題[14]：

圖4 未加補償參數的環路增益波特圖

（1）未加補償的系統為0型系統，其直流及低頻增益不高（約為2.8 dB），因此，若要求補償后的單位階躍響應和低頻響應無靜態誤差（提高穩態控制精度），需要增加PI補償網絡以提高系統環路增益。

（2）該系統的相位裕量PM=-2°，系統不穩定，需要增加PD補償網絡提高系統相位裕量。為了保證一定的相位裕量，一般選擇補償后的系統相位裕量為PM≥45°，因此，選擇PD補償網絡的相角θ=76°，使補償后的相位裕量PM≥45°，確保系統的穩定性。

（3）該系統的穿越頻率fc≈0.82 kHz偏低，系統響應速度較慢。因此，要提高系統穿越頻率，但同時要考慮高頻開關頻率及其諧波噪聲，不能將穿越頻率設置過高。一般將補償后的環路增益穿越頻率設置在開關頻率的1/20～1/5處，同時設置自然振蕩頻率（fo≈534 Hz）的3倍以上，選擇補償后的增益穿越頻率fc=5 kHz。

綜上所述，選擇PID補償器作為變換器的補償網絡部分，PID補償網絡傳遞函數常用形式為[15,16]：

（1）確定PD補償網絡的零極點頻率。

PD補償網絡用于提高補償后系統的相位裕量，根據以下公式可求解得：

補償后的穿越頻率fc=5 kHz在fZ2與fp1之間，滿足要求。

（2）確定PI補償網絡的零極點頻率。

PID補償網絡傳遞函數的ωZ1處的零點與位于原點的極點組成PI補償網絡。一般可將該零點設在原系統自然振蕩頻率的1/5～1/2處，因此，將第一個零點頻率設為:

（3）確定PID補償網絡的增益K。

將式（12）、（13）、（14）代入PID補償網絡傳遞函數式（11）中，并假設PID補償網絡的增益K=1得：

在K=1時，由式（10），（15）求補償后的系統環路增益為：

可得在K=1補償時系統環路增益波特圖如圖5所示。

圖5 K=1補償時的環路增益波特圖

從圖5中的K=1補償時的環路增益波特圖知，當f=5 kHz時，環路增益對應的相角為226°；故當設定一個所需K值時，其補償后的環路增益相位裕量為PM=46°（穿越頻率fc=5 kHz），滿足相位裕量≥45°要求。當f=5 kHz時，PID補償網絡環路增益的幅值為-76.3dB。要使設定所需K值補償后的環路增益穿越頻率為5kHz，則K的值需滿足：

將K值代入式（11），（15）得補償器傳遞函數為：

由式（10），（18）得最終PID補償器補償后所得到的環路增益波特圖，如圖6所示。由圖6中的PID補償后的環路增益波特圖知，補償后的環路穿越頻率為5 kHz，相位裕量為46°，滿足要求。

圖6 PID補償器補償后環路增益波特圖

2.2 PID補償網絡的設計

通過以上分析，可采用如圖7所示的零－極點補償網絡，來確定相關參數：

圖7 PID補償網絡原理圖

3 仿真驗證

仿真參數設定正常輸入電壓為Uin=75 V，且輸入加入擾動正弦波Uin=10sin(100t)V，或者輸入電壓從60 V跳變到100 V時，輸出電壓需穩定在Uo=100 V。圖8為輸入加入擾動時，輸出電壓的波形，圖9為輸入電壓變化階躍跳變時，輸出電壓波形圖。

圖8 輸入電壓正弦擾動時輸出電壓的波形

圖9 輸入電壓從60 V跳變至100 V時輸出電壓波形

由圖8可知，當正常輸入電壓75 V，且輸入電壓加入正弦擾動時，通過引入PID補償器的閉環控制后，輸出電壓波形在100 V附近波動，且電壓紋波約為5.1 V，電壓紋波波動較小（注意到加入PID補償后的系統相位裕量PM=46°，相位裕度較小，輸出波形不是特別穩定）。當輸入電壓從60 V跳變到100 V變化時，加入PID補償器閉環調節后，變換器輸出電壓大致穩定在100 V附近，輸出電壓紋波小于輸出電壓的5%，滿足設計要求。因此仿真結果證明了設計PID補償器閉環控制的穩壓可靠性。

4 結論

以應用廣泛的Boost變換器為基礎，建立了變換器在連續工作模式下的小信號模型，通過分析控制系統的相頻特性和幅頻特性，考慮穿越頻率和相位裕度，設計了所需的PID補償器的控制網絡，優化了變換器在輸入電壓變化時的系統動態響應和穩定性，并通過仿真驗證了該方法的可靠性。