兩彈簧串并聯等效勁度系數的研究*
——基于多普勒效應綜合實驗儀

何香林 劉竹琴

(延安大學物理與電子信息學院 陜西 延安 716000)

在中學物理探究胡克定律的教學中，勁度系數僅被一帶而過，因此，很多學生對這一物理概念理解不夠[1].有學者利用焦利秤研究彈簧的勁度系數，其過程需要人工計時，且不能直觀顯示運動速度的波形圖[2].也有學者利用智能手機研究彈簧串并聯的規律，其操作簡單但誤差略大[3].而在實際測量中，需要更精密、直觀的儀器.

本文利用多普勒效應綜合實驗儀，研究兩彈簧串并聯的等效勁度系數.該方案能夠直觀顯示運動速度波形圖，精確測量運動速度與周期，避免人工計時、無需測量彈簧伸長量，從而減小測量誤差.且有助于拓展學生思維，進一步幫助學生在電容串并聯、電阻串并聯以及彈簧串并聯三者之間建立起區別與聯系.

1 實驗原理與實驗裝置

1.1 實驗原理

在彈性限度內，彈簧遵守胡克定律.彈簧彈力F大小與彈簧形變量x成正比，方向與形變方向相反，即：F=-κx，κ為彈簧勁度系數，是彈簧的一種屬性，單位為N/m，其大小通常與彈簧的形狀、材料、彈簧絲的粗細以及彈簧所處的溫度有關[4].則兩彈簧串并聯等效勁度系數必定與單彈簧勁度系數有一定的聯系.

1.1.1 周期測量

利用多普勒效應綜合實驗儀測量運動周期，需在其操作面板調節采樣步距與采樣次數，并在儀器記錄的數據中找出第a次與第b次速度最大且方向相同所對應的采樣次數.為減小誤差，a取1、第b次為最后一次.本次實驗將采樣步距設置為100 ms，則周期等于相鄰最大且方向相同的速度所對應的采樣次數之差乘以采樣步距.即

(1)

1.1.2 勁度系數測量

本文彈簧振子在豎直方向上做簡諧振動.實驗分為自身質量m1為10.8 g，m2為11.0 g的兩單彈簧，兩者并聯質量m3為21.8 g的組合彈簧，兩者串聯質量m4為21.8 g的組合彈簧.令勁度系數為κ，振子質量為M，彈簧等效質量為m.再根據周期公式[5]

(2)

由式(2)得

(3)

可知T2與M成正比，根據斜率可分別求出勁度系數κ1,κ2,κ3,κ4.

1.2 實驗裝置

實驗裝置包含多普勒效應綜合實驗儀、導軌、導軌底座及發生器組件、自由落體接收器保護盒、自由落體組件、紅外接收組件、電磁閥及擋塊、砝碼、兩原長相同的柱形彈簧以及電子天平，注意將發射器、接收器與電磁閥組件組裝在一條直線上.測量單個彈簧勁度系數的實驗裝置如圖1所示，測量串并聯彈簧等效勁度系數時，只需將單個彈簧調整為兩個彈簧并聯、串聯即可，實驗原理圖分別如圖2和圖3所示.

圖1 測量單個彈簧勁度系數實物圖

圖2 測量兩并聯彈簧勁度系數實驗原理圖

圖3 測量兩串聯彈簧勁度系數實驗原理圖

注意：由于導軌長度有限，兩彈簧串聯時接近底座，所以未放置保護盒，操作宜輕、宜慢，以防止振子落地受損.

2 實驗方法與測量舉例

2.1 實驗方法

(1) 測量單彈簧勁度系數時，其操作步驟如下.

1) 利用天平分別稱量彈簧與振子的質量為m1和M，將彈簧振子懸掛于電磁閥上方的掛鉤孔中.在多普勒效應綜合實驗儀器的液晶顯示屏上，利用?調整儀器所處實驗室的室溫，并按“確認”.

2) 用▼選中“變速運動測量實驗”，并按“確認”.用?調節“采樣點總數”為150，用▼切換到“采樣步距”，并用?調節“采樣步距”到100 ms，確認調整無誤.

3) 將彈簧振子下拉合適位置，使其做簡諧運動，當其運動穩定后，用▼切換到“開始測試”，按下“確認”.

4) 液晶屏上會顯示出v-t的函數圖像，如圖4所示，觀察圖像是否有效(即圖像是否為一個漂亮的三角函數圖像).若無效，重復上述操作內容，直至得出有效圖像；若有效，用?選中“數據”，找出第1次與第b次最大且方向相同的速度所對應的采樣次數，利用公式(1)算出周期并填入表中.

圖4 多普勒實驗儀顯示v-t的圖像

5) 振子質量M變化，重復上述操作步驟，算出與M對應的周期平方并填入表中，直到測量完所有振子.注意：若出現失鎖警告，及時給自由落體組件充電.

6) 在Excel中作出T2-M曲線圖像.根據其曲線斜率求出彈簧勁度系數.

(2)測量兩彈簧并聯等效勁度系數時，其操作步驟同上.

(3)測量兩彈簧串聯等效勁度系數時，其操作步驟同上.

2.2 測量舉例

2.2.1 數據記錄

1)單彈簧1，質量m1為10.8 g，振子質量M分別為101.3 g,109.9 g,121.7 g,133.6 g,145.6 g,157.7 g進行實驗測量，b取11.為確保實驗數據更精確，周期以及周期平方取小數點后4位，測得數據如表1所示.

表1 單彈簧1的測量數據記錄表

單彈簧2，質量m2為11.0 g進行實驗測量，振子質量同上，b取11，測得數據如表2所示.

表2 單彈簧2的測量數據記錄表

2)兩彈簧并聯質量m3為21.8 g，振子質量M分別為101.3 g，120.1 g，130.4 g，140.6 g，150.9 g，156.6 g進行實驗測量，b取11，測得數據如表3所示.

表3 兩彈簧并聯的測量數據記錄表

3)兩彈簧串聯質量m4為21.8 g，振子質量M分別為101.5 g，109.9 g，115.6 g，120.2 g，126.0 g，136.2 g進行實驗測量，周期偏大，b不能都取11，測得數據如表4所示.

表4 兩彈簧串聯的測量數據記錄表

2.2.2 數據處理

1)所測兩單彈簧實驗數據在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖5和圖6所示.其相關系數R2分別為0.999 7和0.998 4趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖5 單彈簧1的T2-M曲線圖

圖6 單彈簧2的T2-M曲線圖

圖5和圖6所對應的線性回歸方程分別為

T2=10.33M+0.035 6

(4)

T2=8.621 3M+0.048 5

(5)

分別聯立方程(3)解得

κ1=3.821 7

κ2=4.579 2

2)所測兩彈簧并聯實驗數據在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖7所示.其相關系數R2為0.999趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖7 兩彈簧并聯的T2-M函數曲線

圖7所對應的線性回歸方程為

T2=4.698 7M+0.043 5

(6)

聯立方程(3)解得

κ3=8.402 0

3)所測兩彈簧串聯實驗數據在Excel中作出的線性回歸曲線，如圖8所示.其相關系數R2為0.996 9趨近于1，趨勢線可靠性很高.

圖8 兩彈簧串聯的T2-M函數曲線

圖8所對應的線性回歸方程為

T2=18.724M+0.182 2

(7)

聯立方程(3)解得

κ4=2.108 4

由以上測量數據得

(1)κ1+κ2=8.400 9，則κ1+κ2≈κ3,其百分誤差為0.01%.

其百分誤差為1.21%.

綜上，兩并聯彈簧等效勁度系數為兩單彈簧勁度系數之和，兩串聯彈簧等效勁度系數為兩單彈簧勁度系數倒數和的倒數，此結論與文獻相符[6].

3 結束語

本文利用多普勒效應綜合實驗儀，分別測得κ1，κ2，κ3，κ4的值，得出兩并聯彈簧的等效勁度系數為兩單彈簧勁度系數之和，兩串聯彈簧等效勁度系數為兩單彈簧勁度系數倒數和的倒數.該方案精確度較高，對研究更加復雜的組合彈簧的等效勁度系數與解答相關中學物理題目以及研究彈簧自身質量對簡諧振動的影響具有一定的參考價值[7].