用GeoGebra軟件工具繪制三維連續(xù)變化電場(chǎng)的等勢(shì)面*

喬永海

(惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 廣東 惠州 516008)

1 等勢(shì)面的繪制方法

2 等勢(shì)面的二維圖

等勢(shì)面在空間上是三維曲面或者平面，我們平時(shí)經(jīng)常繪制的是其截面圖，顯示的是等勢(shì)線.我們可以繪制出從等量異種電荷到等量同種電荷等勢(shì)面連續(xù)變化的圖像，建立不同電場(chǎng)的等勢(shì)面的聯(lián)系.再改變繪圖參數(shù)，獲得不同精細(xì)程度的等勢(shì)面，便于做半定量的分析.

2.1 連續(xù)變化的等勢(shì)面

我們首先繪制等量異種電荷的等勢(shì)面，電荷量比設(shè)置為q1∶q2=5∶(-5)，然后用“滑動(dòng)桿”工具連續(xù)改變q2的值，使其從-5變化到5，這樣就能夠得到不等量異種電荷、正點(diǎn)電荷、不等量同種電荷、等量同種電荷的等勢(shì)面圖，圖形的連續(xù)變化，顯示出這些圖形的關(guān)聯(lián)性，如圖1所示.

(a)

(b)

我們可以看到，當(dāng)右邊電荷的電荷量連續(xù)變化時(shí)，兩個(gè)電荷所在平面的等勢(shì)面隨之變化，變化具有一定的規(guī)律性，其動(dòng)畫圖景能夠把兩個(gè)點(diǎn)電荷、孤立點(diǎn)電荷的電場(chǎng)統(tǒng)一起來.

2.2 等勢(shì)面精細(xì)圖的繪制和應(yīng)用

在圖1(電荷量比為5∶5)的基礎(chǔ)上，通過改變等勢(shì)面取值參數(shù)可以繪制出多個(gè)電荷所在空間的等勢(shì)面，還可以繪制更加精細(xì)的等勢(shì)面圖形.圖2是等量同種電荷的等勢(shì)面圖，這是經(jīng)過科學(xué)計(jì)算獲得的圖形，可以用于半定量問題的分析.

圖2 等量同種電荷等勢(shì)面的精細(xì)圖

從圖2可以看出，等量同種電荷的等勢(shì)面有如下特點(diǎn):從外圈向內(nèi)圈看，外側(cè)的等勢(shì)面是一條近似“橢圓”的曲線，再往里，“橢圓”下部開始變平，再往里，平坦部分的中間開始往上突起，直到上下等勢(shì)面銜接，最后等勢(shì)面分離.

【例1】正三角形AD1D2，B1為線段AD1的中點(diǎn)，B2為線段AD2的中點(diǎn)，C1為線段B1D1的中點(diǎn)，C2為線段B2D2的中點(diǎn).在B1和B2兩點(diǎn)所在位置分別放置兩個(gè)等量的正電荷，問線段C1C2和線段D1D2上的電勢(shì)是如何變化的.

圖3 例1題圖

我們?cè)倮L制B1B2D2D1區(qū)域內(nèi)的等勢(shì)面局部圖形，如圖4所示，可以看到，圖4中的等勢(shì)面1顯示出“W”形狀，中間有一個(gè)突起.往下的等勢(shì)面中間的突起逐漸消退，等勢(shì)面6顯示出“平底鍋”形.再往下的圖線，平底開始往下凹陷，圖線8顯示出“V”形狀.例1中，C1C2跨越“W”型曲線區(qū)，D1D2跨越“V” 型曲線區(qū).各條等勢(shì)面的電勢(shì)大小關(guān)系是φ1>φ2>…>φ8，因此，線段C1C2上從左到右電勢(shì)的變化是，從C1到C2電勢(shì)先升高，再降低，最后又升高，線段D1D2上從左到右的電勢(shì)變化是，從D1到D2電勢(shì)先升高，后降低.

圖4 等量同種電荷電場(chǎng)的局部等勢(shì)面

3 等勢(shì)面的三維圖

兩個(gè)電荷位于平面上，在平面上建立xOy坐標(biāo)系，x軸為兩個(gè)電荷的連線，y軸為兩個(gè)電荷連線的中垂線.平面上的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)表示為(x,y)，該點(diǎn)有其電勢(shì)值.我們用縱坐標(biāo)z表示該點(diǎn)的電勢(shì)值，在三維坐標(biāo)中獲得點(diǎn)P(x,y,z)，所有點(diǎn)P構(gòu)成一個(gè)曲面，該曲面表征了兩個(gè)電荷所在的平面上各點(diǎn)電勢(shì)的分布.

3.1 兩電荷所在平面內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)的三維圖

我們?cè)趦呻姾伤谄矫娓鼽c(diǎn)電勢(shì)的分布圖上繪制等勢(shì)面，如圖5所示.等勢(shì)面變化的特點(diǎn)是，從外側(cè)電勢(shì)低的等勢(shì)面開始，越靠近電荷電勢(shì)越高，其形狀像大水滴分離成小水滴的過程.該圖形和地理上的等高線具有某些相似的特點(diǎn)，學(xué)生可以把地理上的地形知識(shí)遷移到這里，幫助理解等勢(shì)面，降低理解的門檻.

圖5 兩電荷所在平面各點(diǎn)電勢(shì)曲面及其等勢(shì)面

3.2 兩電荷連線上各點(diǎn)電勢(shì)的圖像

我們把圖5的曲面視圖轉(zhuǎn)化為xOz平面視圖，此時(shí)呈現(xiàn)的是三維曲面截面圖，其邊線和兩個(gè)電荷連線的電勢(shì)圖線是吻合的，如圖6所示.

圖6 電勢(shì)曲面的邊線和電荷連線的電勢(shì)圖線吻合

連續(xù)改變右邊電荷的電荷量，可以觀察到圖線變化的一些規(guī)律.如圖7所示，可以看出，正電荷的圖形好像一座直插云霄的山峰，越往上越陡；負(fù)電荷的圖形像一口礦井，正電荷附近電勢(shì)圖線趨近于無窮大，負(fù)電荷附近電勢(shì)圖線趨近于無窮小.當(dāng)右邊電荷電荷量由正變?yōu)榱愕倪^程中，原來的“高山”逐漸變?yōu)槠教箙^(qū)域，如圖7(b)所示，這是孤立正電荷的電勢(shì)圖.當(dāng)右邊電荷電荷量變?yōu)樨?fù)值時(shí)，“高山”變平坦的區(qū)域下陷為“礦井”， 如圖7(c)和(d)所示.這樣連續(xù)變化的圖景可以把等量同種電荷、不等量同種電荷、孤立正電荷、不等量異種電荷和等量異種電荷的電勢(shì)線統(tǒng)一起來.

圖7 不同電荷量比的電勢(shì)圖線的變化

【例2】?jī)蓚€(gè)等量異種點(diǎn)電荷位于x軸上，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱分布，能夠正確描述電勢(shì)隨位置變化規(guī)律的是那幅圖？( )

圖8 例2題圖

答案:A.

學(xué)生有了上述對(duì)電勢(shì)的認(rèn)識(shí)，首先就會(huì)排除選項(xiàng)B和D，因?yàn)樘摼€兩側(cè)的電勢(shì)圖像，一條線趨于無窮大，另一條線趨于無窮小，這是不存在的.選項(xiàng)A是等量異種電荷的圖線，選項(xiàng)B是等量同種電荷的圖線，因此選項(xiàng)A滿足題意.這類題是傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)問題，有了以上直觀的演示，很容易突破該教學(xué)難點(diǎn).

4 總結(jié)

教學(xué)手段現(xiàn)代化是教學(xué)改革的一個(gè)重要方面.隨著信息技術(shù)的發(fā)展，新的軟件工具不斷涌現(xiàn).有一些軟件工具能幫助我們解決過去教學(xué)中難以解決的實(shí)際問題.比如，為什么一定質(zhì)量理想氣體的等溫線在不同的坐標(biāo)系中有時(shí)是直線、有時(shí)是曲線？用GeoGebra 能夠繪制出理想氣體狀態(tài)變化的PVT三維坐標(biāo)曲線，在不同透視圖中曲線有時(shí)顯示為直線，有時(shí)顯示為曲線，很好地回答了上述問題[1,2].教師要學(xué)習(xí)與教學(xué)有關(guān)的工具軟件，在解決實(shí)際問題時(shí)，知道借助合適的工具，幫助我們解決問題，甚至開發(fā)出新的教學(xué)資源來，為物理教學(xué)方式的變革和教學(xué)效率的提高帶來幫助.