用GeoGebra軟件工具繪制三維連續變化電場的等勢面*

喬永海

(惠州市實驗中學 廣東 惠州 516008)

1 等勢面的繪制方法

2 等勢面的二維圖

等勢面在空間上是三維曲面或者平面，我們平時經常繪制的是其截面圖，顯示的是等勢線.我們可以繪制出從等量異種電荷到等量同種電荷等勢面連續變化的圖像，建立不同電場的等勢面的聯系.再改變繪圖參數，獲得不同精細程度的等勢面，便于做半定量的分析.

2.1 連續變化的等勢面

我們首先繪制等量異種電荷的等勢面，電荷量比設置為q1∶q2=5∶(-5)，然后用“滑動桿”工具連續改變q2的值，使其從-5變化到5，這樣就能夠得到不等量異種電荷、正點電荷、不等量同種電荷、等量同種電荷的等勢面圖，圖形的連續變化，顯示出這些圖形的關聯性，如圖1所示.

(a)

(b)

我們可以看到，當右邊電荷的電荷量連續變化時，兩個電荷所在平面的等勢面隨之變化，變化具有一定的規律性，其動畫圖景能夠把兩個點電荷、孤立點電荷的電場統一起來.

2.2 等勢面精細圖的繪制和應用

在圖1(電荷量比為5∶5)的基礎上，通過改變等勢面取值參數可以繪制出多個電荷所在空間的等勢面，還可以繪制更加精細的等勢面圖形.圖2是等量同種電荷的等勢面圖，這是經過科學計算獲得的圖形，可以用于半定量問題的分析.

圖2 等量同種電荷等勢面的精細圖

從圖2可以看出，等量同種電荷的等勢面有如下特點:從外圈向內圈看，外側的等勢面是一條近似“橢圓”的曲線，再往里，“橢圓”下部開始變平，再往里，平坦部分的中間開始往上突起，直到上下等勢面銜接，最后等勢面分離.

【例1】正三角形AD1D2，B1為線段AD1的中點，B2為線段AD2的中點，C1為線段B1D1的中點，C2為線段B2D2的中點.在B1和B2兩點所在位置分別放置兩個等量的正電荷，問線段C1C2和線段D1D2上的電勢是如何變化的.

圖3 例1題圖

我們再繪制B1B2D2D1區域內的等勢面局部圖形，如圖4所示，可以看到，圖4中的等勢面1顯示出“W”形狀，中間有一個突起.往下的等勢面中間的突起逐漸消退，等勢面6顯示出“平底鍋”形.再往下的圖線，平底開始往下凹陷，圖線8顯示出“V”形狀.例1中，C1C2跨越“W”型曲線區，D1D2跨越“V” 型曲線區.各條等勢面的電勢大小關系是φ1>φ2>…>φ8，因此，線段C1C2上從左到右電勢的變化是，從C1到C2電勢先升高，再降低，最后又升高，線段D1D2上從左到右的電勢變化是，從D1到D2電勢先升高，后降低.

圖4 等量同種電荷電場的局部等勢面

3 等勢面的三維圖

兩個電荷位于平面上，在平面上建立xOy坐標系，x軸為兩個電荷的連線，y軸為兩個電荷連線的中垂線.平面上的一個點坐標表示為(x,y)，該點有其電勢值.我們用縱坐標z表示該點的電勢值，在三維坐標中獲得點P(x,y,z)，所有點P構成一個曲面，該曲面表征了兩個電荷所在的平面上各點電勢的分布.

3.1 兩電荷所在平面內各點電勢的三維圖

我們在兩電荷所在平面各點電勢的分布圖上繪制等勢面，如圖5所示.等勢面變化的特點是，從外側電勢低的等勢面開始，越靠近電荷電勢越高，其形狀像大水滴分離成小水滴的過程.該圖形和地理上的等高線具有某些相似的特點，學生可以把地理上的地形知識遷移到這里，幫助理解等勢面，降低理解的門檻.

圖5 兩電荷所在平面各點電勢曲面及其等勢面

3.2 兩電荷連線上各點電勢的圖像

我們把圖5的曲面視圖轉化為xOz平面視圖，此時呈現的是三維曲面截面圖，其邊線和兩個電荷連線的電勢圖線是吻合的，如圖6所示.

圖6 電勢曲面的邊線和電荷連線的電勢圖線吻合

連續改變右邊電荷的電荷量，可以觀察到圖線變化的一些規律.如圖7所示，可以看出，正電荷的圖形好像一座直插云霄的山峰，越往上越陡；負電荷的圖形像一口礦井，正電荷附近電勢圖線趨近于無窮大，負電荷附近電勢圖線趨近于無窮小.當右邊電荷電荷量由正變為零的過程中，原來的“高山”逐漸變為平坦區域，如圖7(b)所示，這是孤立正電荷的電勢圖.當右邊電荷電荷量變為負值時，“高山”變平坦的區域下陷為“礦井”， 如圖7(c)和(d)所示.這樣連續變化的圖景可以把等量同種電荷、不等量同種電荷、孤立正電荷、不等量異種電荷和等量異種電荷的電勢線統一起來.

圖7 不同電荷量比的電勢圖線的變化

【例2】兩個等量異種點電荷位于x軸上，它們關于原點對稱分布，能夠正確描述電勢隨位置變化規律的是那幅圖？( )

圖8 例2題圖

答案:A.

學生有了上述對電勢的認識，首先就會排除選項B和D，因為虛線兩側的電勢圖像，一條線趨于無窮大，另一條線趨于無窮小，這是不存在的.選項A是等量異種電荷的圖線，選項B是等量同種電荷的圖線，因此選項A滿足題意.這類題是傳統教學的難點問題，有了以上直觀的演示，很容易突破該教學難點.

4 總結

教學手段現代化是教學改革的一個重要方面.隨著信息技術的發展，新的軟件工具不斷涌現.有一些軟件工具能幫助我們解決過去教學中難以解決的實際問題.比如，為什么一定質量理想氣體的等溫線在不同的坐標系中有時是直線、有時是曲線？用GeoGebra 能夠繪制出理想氣體狀態變化的PVT三維坐標曲線，在不同透視圖中曲線有時顯示為直線，有時顯示為曲線，很好地回答了上述問題[1,2].教師要學習與教學有關的工具軟件，在解決實際問題時，知道借助合適的工具，幫助我們解決問題，甚至開發出新的教學資源來，為物理教學方式的變革和教學效率的提高帶來幫助.