旋轉二次曲面透鏡基點研究

徐海斌 顧菊觀

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

1 引言

透鏡在光學教學和光路設計中的應用非常普遍[1,2].透鏡參數的選擇在很大程度上影響了其效果.因此，對透鏡特性的研究具有著重要的意義.

透鏡基點位置是描述透鏡特征的重要參數.現有光學教材往往只對球面透鏡進行闡述，給出傍軸近似下基點位置參數的公式.玻恩在《光學原理》一書中對旋轉二次曲面的幾何光學成像問題進行了初步探討，但是并沒有給出其具體形式[3].在實際光路設計中，非球面透鏡因為其較多的優勢，得到了廣泛的研究與應用[4～6].基于非球面透鏡應用的仿真研究也得到了廣泛的開展[7～11].基于幾何光學基本原理及二次曲面的數學描述[12]，一些研究者對二次曲面透鏡參數進行了理論研究，并在各種近似下給出其基點位置描述公式及成像特征[13～15].由于實際透鏡加工的限制和測量的不便，使得這些研究結論并沒有得到明確的實驗驗證.同時，現有研究很大程度僅僅考慮曲面頂點曲率半徑對基點參數的影響.而二次曲面conic系數是描述旋轉二次曲面特征的重要參數.因此，考慮二次曲面conic系數對透鏡基點參數究竟會產生怎么樣的影響就變得非常有必要.

作為虛擬仿真軟件，TracePro具有簡單便捷、容易入門、結果可靠直觀、能實現圖形顯示及可視化操作等優點.該軟件一個重要特點就是其利用幾何光學的基本原理，采用了光線追跡的方法，對每條光線在光學器件中的傳輸進行仿真演示.這種虛擬仿真所取得的效果，可以避免傍軸近似所帶來的偏差，同時也可以有效克服幾何光學實驗觀察條件限制的不足.以對稱旋轉二次曲面會聚透鏡為例，利用該軟件對其進行了虛擬仿真.仿真結果實現了對傍軸近似條件下透鏡基點位置描述公式的驗證，并對二次曲面conic系數和入射高度對基點位置、焦距及其變化率的影響進行了分析，為具有不同conic系數旋轉二次曲面透鏡成像的光線選擇提供一定的參考.該虛擬仿真方法同樣適用于自由曲面透鏡特性的研究[16].

2 旋轉二次曲面透鏡

2.1 基本結構

旋轉二次曲面包括最常見的球面、拋物面、橢球面和雙曲面，其中conic系數決定了二次曲面的面形.旋轉二次曲面的標準面面形公式可以表示為[12]

(1)

圖1 旋轉二次曲面透鏡結構示意圖

2.2 旋轉二次曲面透鏡的基點

對于任意一個旋轉二次曲面，假定其左右兩側介質折射率分別為n0和n，則其焦距可以表述為[13]

(2)

對于具有圖1的透鏡結構而言，可得A界面和B界面的焦距分別為

(3)

(4)

圖1中A和B兩個界面頂點之間的距離為d，則兩層界面之間的光學間隔為

Δ=d-f′A+fB

(5)

(6)

(7)

(8)

由上述透鏡基點位置公式并結合圖1可以看出，基點位置與二次曲面透鏡的conic系數并沒有關系.這是在推導上述關系時，進行了一些近似有關.因此，很有必要對不同conic系數下透鏡的基點位置進行觀察，尋找conic系數對透鏡基點位置變化的影響.

3 旋轉二次曲面透鏡建模及基點位置分析

利用TracePro軟件可自由建模二次曲面透鏡.對稱或非對稱旋轉二次曲面透鏡均可采用同樣的建模方法進行仿真研究.為簡單直觀，這里主要采用具有固定參數的對稱旋轉二次曲面透鏡結構進行仿真研究.

3.1 不同conic系數的曲面特征

現有理論研究結果并沒有考慮二次曲面的conic系數對透鏡的影響.圖2給出了在相同的頂點曲率半徑下不同conic系數所對應曲面在yOz平面上的截面圖.隨著conic系數從1逐漸變化到-1.5，可以發現旋轉二次曲面逐漸趨向平坦，因此，conic系數的不同必然會影響光線在曲面折射的效果.這一點尤其是在入射高度較大時，將會變得更加明顯.conic系數與典型的旋轉二次曲面有一定的對應關系.當k>0時，對應橫橢球面；k=0對應球面；0>k>-1對應豎橢球面；k=-1對應拋物面；k<-1對應雙曲面.

圖2 不同conic系數旋轉二次曲面在yOz平面上的截面圖

3.2 旋轉二次曲面透鏡的基點位置

TracePro軟件是追跡光線在各種材料及光學器件內傳輸的幾何演示.根據基點的定義，可以找出各種入射高度下基點的幾何位置，并給出其變化規律.一方面可以驗證理論公式計算的可靠性，另一方面，由于理論公式的推導是基于傍軸近似下的結果，通過利用軟件虛擬仿真，可以進一步考查實際基點位置的修正.

圖3展示了在虛擬仿真中尋找透鏡像方基點位置的示意圖.

圖3 像方基點位置示意圖

3.3 旋轉二次曲面透鏡基點位置虛擬仿真

為便于比較，仿真實驗僅僅對具有相同頂點曲率半徑，不同入射高度和不同conic系數下基點位置進行分析.當透鏡其他相關參數發生變化時，可以使用同樣的虛擬仿真方法進行分析.

當conic系數和光線入射高度發生變化時，透鏡的主點位置及其變化率隨之發生了變化.從圖4(a)可以看出，主點位置隨光線入射高度發生較為明顯的變化，而對conic系數并不是非常敏感.當光線入射高度越來越小時，像方主點位置趨于理論計算值.圖4(b)給出了主點位置變化率隨conic系數及光線入射高度的變化特性.當入射高度低于10 mm時，不同conic系數的旋轉二次曲面透鏡主點位置變化率均小于1%.隨著入射高度的增加，其主點位置變化率迅速變大，與conic系數的大小關系不大.圖4顯示了主點位置及其變化率主要與光線入射高度有關.

(a) conic系數發生變化時主點位置iH變化率隨入射高度的變化

(b) conic系數發生變化時主點位置iH變化率隨入射高度的變化

透鏡焦點位置及其變化率隨conic系數和光線入射高度的變化如圖5所示.圖5(a)中透鏡焦點位置隨conic系數和光線入射高度變化明顯.隨著光線入射高度逐漸增加，焦點位置逐漸向透鏡靠攏.conic系數越大，這種變化就越明顯.當入射高度逐漸減小，不同conic系數的透鏡焦點都逐漸趨于理論計算值.圖5(b)給出了焦點位置變化率隨conic系數及入射高度的變化關系.當入射高度較大時，conic系數越大，焦點位置變化率越大.隨著入射高度的減小，焦點位置變化率逐漸趨向于零.圖5顯示了焦點位置及其變化率與光線入射高度及conic系數有關，并且入射高度越高，conic系數越大，這種變化就越明顯.

(a) conic系數發生變化時焦距位置iy隨入射高度的變化

(b) conic系數發生變化時焦距位置iy變化率隨入射高度的變化

透鏡焦距及其變化率隨conic系數和光線入射高度的變化如圖6所示.

圖6(a)顯示隨著入射高度和conic系數的變大，焦距逐漸減小.當入射高度減小時，焦距逐漸趨向理論值，與conic系數無關.

圖6(b)顯示了焦距變化率隨入射高度及conic系數的變化規律.焦距變化率隨著入射高度及conic系數逐漸變小，直至趨向于0.圖6顯示了焦距及其變化率與入射高度及conic系數有關.

通過對圖4、圖5和圖6的分析可知，對于頂點曲率半徑相同，不同旋轉二次曲面conic系數的透鏡在光線入射高度較低時，基點參數與理論計算值基本一致，并且其變化率也較小.當入射高度逐漸增加時，透鏡主點位置及其變化率與conic系數關系不大；透鏡焦點、焦距及其變化率受conic系數影響較大，conic系數越大，這種變化越明顯.

(a)不同conic系數下焦距隨入射高度的變化

(b)不同conic系數下焦距變化率隨入射高度的變化

4 結論

通過對旋轉二次曲面透鏡的分析，給出了旋轉二次曲面透鏡基點位置的計算公式.提出了一種驗證透鏡基點位置及其變化率的虛擬仿真方案.基于TracePro軟件的虛擬仿真結果顯示，對于光線入射高度較低的情況下，透鏡基點位置的計算公式符合較好.對于光線入射高度逐漸增加時，透鏡的主點位置及其變化率主要由入射高度決定，與conic系數關系不大；焦點位置、焦距及其變化率不但與光線入射高度有關，而且與conic系數有關.論文研究結果為透鏡成像過程中的光線選擇，尤其針對大口徑，conic系數不同的二次曲面透鏡的光闌選擇，提供了定性的參考.該實驗方案也可為各種自由曲面的理論參數分析提供一種有效的驗證方法.

該虛擬仿真分析方法為不便于實際測量參數的透鏡等光學器件測試和光路設計提供一條有益的思路，可拓展大學物理光學教學中球面透鏡的教學內容，使得學生對非球面透鏡的特征具有更加形象具體的認識.