“有關直角三角形的旋轉習題課”案例分析

王丹

2019年我參加了課題為“有關直角三角形的旋轉習題課”的公開課展示。課始，學生振奮精神，躍躍欲試。“同學們，教材第66頁的第7題是研究兩個直角三角形旋轉到一些特殊位置基本型，本節課我們就來探索這類問題可以找到哪些結論。”于是我帶領學生開啟了習題探究課的旅程，以達到拓展學生思維能力的目的。

問題1：如圖1，△ABC經過旋轉得到△DCE，請問△ABC繞著點 ? ? ，按 ? ? ?時針旋轉 ? ? ?度得到△DCE，從而得到△ABC △DCE.

學生思考片刻，在導學案上馬上寫出了答案，因為利用旋轉性質產生全等三角形;△ABC 繞著點 A ?，按 ?順 ?時針旋轉 ?90 ?度得到△DCE，從而得到△ABC ≌△DCE.

變式1：如圖2，連接AD，BE，我們可以找到哪些特殊的三角形？

學生通過觀察兩個旋轉直角三角形的特殊位置，發現△BEC與△ACD是等腰直角三角形。在這個環節中讓學生親身體驗如何“做數學”，從中感受到由已知圖形得到新圖形的過程。

變式2：如圖3延長DE，交AB于點F，DF和AB的位置關系是什么？

利用旋轉得到全等，學生知道對應角∠1=∠2，又由對頂角相等，所以∠3=∠4，

由三角形內角和為180？紫，等量代換得到∠AFE=90？紫，即DF⊥AB.

根據邊之間的關系求邊比，這類問題，學生就會有一定的思維阻力，引導學生考慮相似。學生們找到△AFE∽△DCE， △ACD∽△BCE.推導出

變式3：如圖4，如果∠DEC=60？紫，求∠ABE=

利用等腰直角三角形這個特殊的∠EBC=45？紫，學生們很快得出了15？紫的結論。

變式4：如圖5，∠A=35？紫，此時，點E在AB上，DE交AC于點F，∠EFC=

學生分析得出初步結論是：∠CBA=90？紫-∠A=55？紫，∠CED=∠CBA，利用點E的特殊位置在AB上，產生了CE=CB，得到∠CEB=∠CBA，推出∠CEB=∠CBD，利用外角性質，∠EFA=2∠DEC-∠A=55？紫×2-35？紫=75？紫，∠EFC=180？紫-75？紫=105？紫.

變式5：如圖6，點D是等腰直角△ABC內一點，BC是斜邊，如果將△ABD繞點A逆時針旋轉到△ACD'位置，則∠ADD'=

這個問題是換了已知條件，實際上仍然考查旋轉性質產生全等三角形，從而引出等腰直角三角形的結論。學生很快識別了這個結論得到了∠ADD'=45？紫.

變式6：如圖7，在△ABC 中，∠CBA=70？紫，將△ABC 繞點A逆時針方向旋轉一個銳角α到△AB'C' ，連接CC'，若CC'∥AB，則旋轉角α的度數為

本題還是旋轉出全等，由于添加了平行這個條件，產生等腰三角形。由CC'∥AB ，得∠CBA=ACC'=70？紫，由AC=AC'，得AC'C= ACC'=70？紫，由三角形內角和180？紫，我們可以得到∠CAC'=40？紫.

變式7：如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90？紫，

如圖9，點P在AB上，且CA=CP=6，AB=18，將△ABC繞點A順時針旋轉得Rt△AB'C'，且C'落在CP的延長線上，連接BB'交CP的延長線于點F，求線段BF的長.

本題目條件多，當堂課沒有解決完全，我帶領學生初步分析了條件和討論思路。本題主要是處理等角的挖掘和相似。

解析：

由全等知∠BAC=B'AC'，

得∠CAC'=∠BAB'，

由于邊等CA=C'A，BA=B'A，

得△CAC'與△BAB'，都是相似的等腰三角形，

所以，∠ACP=∠ABF，

由于∠ACP=∠BPF （對頂角相等）△BPF∽△CPA

由CP=CA，得△BPF 與△CPA都是相似的等腰三角形.

過C點作AB的垂線CK，垂足為K.

通過等角的發現，Rt△ABC ∽Rt△ACK，

所以BF=BP=14.

我們探究的課題不僅僅是給予學生解題的思路和步驟，更重要的是教會學生挖掘已知條件和圖形中隱含的邊角關系，從而解決問題。此課的學習打開了學生的思路，讓學生能夠從多個角度來認識同一類型的問題，這為以后學習更有深度的內容打下了良好的基礎。

（此作者為援藏教師，派出單位為哈爾濱市征儀路學校）

編輯/李 ? ?莉